常微分方程的一般概念 (2)PPT讲稿.ppt

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1、常微分方程的一般概念第1页，共36页，编辑于2022年，星期六常微分方程常微分方程Ordinary(1)概念、建模概念、建模Differential Equations第2页，共36页，编辑于2022年，星期六方程方程 代数方程代数方程 其解为特定常值，如其解为特定常值，如 二次方程、三角方程等；二次方程、三角方程等；函数方程函数方程 其解为其解为“函数函数”，如，如 微分方程、积分方程等。微分方程、积分方程等。第3页，共36页，编辑于2022年，星期六5.常微分方程的一般概念常微分方程的一般概念 一一.两个简单的例子两个简单的例子例例1 1求以原点为中心的一切圆所满足的求以原点为中心的一切圆

2、所满足的微分方程。微分方程。解解 圆心在原点的一切圆的直角坐标方程圆心在原点的一切圆的直角坐标方程(1)第4页，共36页，编辑于2022年，星期六由于满足这个方程的由于满足这个方程的解解(函数函数(1)有无穷有无穷(2)多个多个(解族解族、解集解集),两边同时对两边同时对x求导求导 到通解到通解 中有一个中有一个任意常数任意常数：又称为又称为通解通解,应注意应注意第5页，共36页，编辑于2022年，星期六如求出过如求出过(1,0)点的圆点的圆,通解通解 的图像是一族充满全平的图像是一族充满全平满足所给条件的一个满足所给条件的一个特解特解:只要给定条件只要给定条件:面的同心圆面的同心圆也叫也叫“

3、积分曲线族积分曲线族”；则立即可定出则立即可定出 r=1,于是就得到方程于是就得到方程(1)第6页，共36页，编辑于2022年，星期六例例2 2质量为质量为m的质点的质点,自某高度下落自某高度下落,设初设初速度为速度为 ,介质阻力与速度的平方成正比介质阻力与速度的平方成正比,建立速度所满足的微分方程建立速度所满足的微分方程;建立落程所满足的微分方程建立落程所满足的微分方程;解解 第7页，共36页，编辑于2022年，星期六在给定的在给定的初始条件初始条件从从定解条件定解条件一般就可得一般就可得此微分方程的一个特解此微分方程的一个特解:在不记阻力条件下在不记阻力条件下,因因 第8页，共36页，编辑

4、于2022年，星期六先后积分两次，得先后积分两次，得其图象是一族其图象是一族积分曲线族积分曲线族,也叫方程也叫方程通解通解,(注意含注意含两个任意常数两个任意常数)。若给了如下若给了如下定解条件定解条件:(也叫也叫初始条件初始条件)第9页，共36页，编辑于2022年，星期六即可方便地确定出即可方便地确定出于是便得到原方程对应于是便得到原方程对应初条件初条件的一个的一个特解特解:第10页，共36页，编辑于2022年，星期六二二.有关微分方程的系列概念有关微分方程的系列概念 微分方程微分方程(Differential Equations)含有未知函数的导数或微分的方程。含有未知函数的导数或微分的方

5、程。其中只含一个自变量的方程为其中只含一个自变量的方程为常微分常微分方程方程(ordinary differential equations),自变量多余一个的方程为自变量多余一个的方程为偏微分方程偏微分方程(partial differential equations)。第11页，共36页，编辑于2022年，星期六 微分方程的微分方程的阶阶方程所含未知函数方程所含未知函数的导数的导数(或微分或微分)的最高阶数的最高阶数.请见以下各种微分方程：请见以下各种微分方程：第12页，共36页，编辑于2022年，星期六第13页，共36页，编辑于2022年，星期六一般形式一般形式正规形式正规形式第14页，

6、共36页，编辑于2022年，星期六含有含有 n 个独立的任意个独立的任意常数的解的一常数的解的一般表达式：般表达式：微分方程的微分方程的解解 微分方程的微分方程的通解通解n 阶微分方程阶微分方程(10)的的第15页，共36页，编辑于2022年，星期六微分方程的微分方程的特解特解n 阶微分方程阶微分方程(10)的的不含有任何常数的一个确定的不含有任何常数的一个确定的 线性线性微分方程微分方程方程的含方程的含“未知函数未知函数及其各阶导数及其各阶导数”的各项的各项(整体整体)皆以皆以一次项的形式出现一次项的形式出现;否则为否则为非线性非线性微分方程。微分方程。第16页，共36页，编辑于2022年，

7、星期六 齐次齐次微分方程微分方程的不含的不含“未知函数及其各阶导数未知函数及其各阶导数”对于正规方程对于正规方程(11)的项的和为零；否则称为的项的和为零；否则称为非齐次非齐次 微分方程微分方程定解条件定解条件微分方程。微分方程。为确定方程的为确定方程的定条件如定条件如:初始条件初始条件或或边值条件边值条件。一个特解而设定或附加的某些特一个特解而设定或附加的某些特第17页，共36页，编辑于2022年，星期六(1)由实际问题出发由实际问题出发,建立未知函数所满建立未知函数所满 足的微分方程足的微分方程,并根据需要附加定解并根据需要附加定解 条件；条件；(数学建模数学建模)关于微分方程要研究的问题

8、主要有：关于微分方程要研究的问题主要有：(2)研究解的存在性、唯一性；研究解的存在性、唯一性；(3)求微分方程的通解；求微分方程的通解；(4)求满足定解条件的求满足定解条件的 微分方程的特解。微分方程的特解。几何法几何法分析法分析法代数法代数法数值法数值法方法方法第18页，共36页，编辑于2022年，星期六第19页，共36页，编辑于2022年，星期六2.微微分分方方程程数数学学建建模模举举例例 1.指数模型指数模型(Malthus 模型模型)十八世纪晚期，人类首次关注人口十八世纪晚期，人类首次关注人口规划问题规划问题.指数模型及指数模型及Logistic模型在人模型在人口、经济、医学、口、经济

9、、医学、生态环境领域都生态环境领域都有很好的应用。有很好的应用。第20页，共36页，编辑于2022年，星期六美国科学家发现，在美国科学家发现，在17901860年年期间美国人口的期间美国人口的相对增长率相对增长率 k 接近一接近一个常数：个常数：根据这一点建立的微分方程及定解根据这一点建立的微分方程及定解条件为：条件为：第21页，共36页，编辑于2022年，星期六从而得出人口按指数规律增加：从而得出人口按指数规律增加：评价评价 l相对增长率等于常数这一假设只在一相对增长率等于常数这一假设只在一 个较短的时间间隔对问题的模拟较好；个较短的时间间隔对问题的模拟较好；l按指数模型，人口将无限增长下去

10、按指数模型，人口将无限增长下去,但这是不可能的。但这是不可能的。第22页，共36页，编辑于2022年，星期六2.Logistic 模型模型(人口增长模型人口增长模型)Malthus 模型不符合实际情况的主要模型不符合实际情况的主要原因在于未考虑原因在于未考虑“密度制约密度制约”或或“拥挤拥挤效应效应”,以及战争、灾荒、经济衰退等以及战争、灾荒、经济衰退等因素。因素。第23页，共36页，编辑于2022年，星期六 经过对美国经过对美国17901940年人口状况的年人口状况的 数据分析数据分析,发现人口的相对增长率呈线发现人口的相对增长率呈线性规律：性规律：(只有只有1840与与1870的预测与实际

11、偏离较大的预测与实际偏离较大)第24页，共36页，编辑于2022年，星期六l Logistic 模型模型的一般形式的一般形式或或其中环境的承载量：其中环境的承载量：(这个方程是由比利时数学家于这个方程是由比利时数学家于1830给出的给出的)Logistic 方程的解的定性分析可以用方程的解的定性分析可以用Maple完美作出。完美作出。第25页，共36页，编辑于2022年，星期六l 求求 Logistic 方程的解析解方程的解析解分离变量并积分分离变量并积分第26页，共36页，编辑于2022年，星期六通解为通解为设初值条件设初值条件 ,则相应的特解为则相应的特解为由这一特解易见由这一特解易见,当

12、当第27页，共36页，编辑于2022年，星期六说明人口说明人口(或种群或种群)的数目随着时间的的数目随着时间的推移推移,最终将稳定在最终将稳定在 k 左右左右环境环境的的承载量承载量。下面这个例子说明下面这个例子说明,有时不完全解有时不完全解方程，也可以方程，也可以定性地定性地研究微分方程研究微分方程解的性态。解的性态。第28页，共36页，编辑于2022年，星期六3.宇宙的膨胀模型宇宙的膨胀模型 天文学家在研究天文学家在研究“宇宙膨胀速度到宇宙膨胀速度到底有多快底有多快”时，建立了一种模型时，建立了一种模型设设宇宙这个大球体的半径，宇宙这个大球体的半径，G 宇宙引力常数宇宙引力常数宇宙的质量宇

13、宙的质量第29页，共36页，编辑于2022年，星期六方程两边同乘方程两边同乘 ，得，得 于是，又可以把上面方程于是，又可以把上面方程 写为写为 第30页，共36页，编辑于2022年，星期六即：即：亦即：亦即：l 利用这个利用这个 与与 的关系式就可确定的关系式就可确定 是是 如何随时间如何随时间 t 变化的变化的.第31页，共36页，编辑于2022年，星期六由于仍保持由于仍保持 ,宇宇宙宙但速度将减小但速度将减小,当当 时时膨胀速度减小到膨胀速度减小到 ;当当 R 增大时增大时,宇宙在膨胀情况下宇宙在膨胀情况下 因此因此仍在膨胀仍在膨胀,第32页，共36页，编辑于2022年，星期六(big c

14、runch)第33页，共36页，编辑于2022年，星期六通过解这个一阶方程通过解这个一阶方程,得得 第34页，共36页，编辑于2022年，星期六 这个公式被称为这个公式被称为“扁平宇宙模型扁平宇宙模型”(flat universe model),试问此试问此模型就宇宙膨胀可以给出什么预言？模型就宇宙膨胀可以给出什么预言？n 微分方程数学模型微分方程数学模型建立之后，可以从建立之后，可以从理论上研究解的存在唯一性理论上研究解的存在唯一性,还可以用还可以用分析、几何、代数、数值等多种方法研分析、几何、代数、数值等多种方法研第35页，共36页，编辑于2022年，星期六究解的性态，以认识、究解的性态，以认识、解释实际问题，解释实际问题，乃至有所发现，有所创新。当今乃至有所发现，有所创新。当今,微分微分方程无论在理论上还是在应用上都是方程无论在理论上还是在应用上都是数学最活跃的分支之一。数学最活跃的分支之一。3月月22日作业日作业看书看书P.219P.221,P.232P.236第36页，共36页，编辑于2022年，星期六