《古典概率模型》PPT课件.ppt

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1、 第一章第二节 古典概率模型古典概率模型I I.什么是古典概率模型什么是古典概率模型如果试验如果试验E E满足满足(1)(1)试验结果只有有限种，试验结果只有有限种，(2)(2)每种结果发生的可能性相同。每种结果发生的可能性相同。则称这样的试验模型为则称这样的试验模型为等可能概率模型等可能概率模型或或古典概率模型古典概率模型，简称为简称为等可能概型等可能概型或或古典古典概型概型。II.II.古典概率模型中事件概率求法古典概率模型中事件概率求法 因试验因试验E E的结果只有有限种的结果只有有限种,即样本点是有即样本点是有限个限个:1 1,2 2,n n ，其中，其中 =1 1 2 2 n n，i

2、 i 是基本事件，且它们发生的概率都相等。是基本事件，且它们发生的概率都相等。于是，有于是，有 1=P()=P(1=P()=P(1 1 2 2 n n)=P(=P(1 1)+P()+P(2 2)+P()+P(n n)=nP(=nP(i i),i=1,2,n),i=1,2,n。从而，从而，P(P(i i)=1/n)=1/n，i=1,2,ni=1,2,n。因此，若事件因此，若事件A A包含包含k k个基本事件，有个基本事件，有 P(A)=k P(A)=k(1/n)=k/n(1/n)=k/n。III.III.古典概率模型的例子古典概率模型的例子例例1 1：掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，设设:A:A

3、表示所掷结果为表示所掷结果为“四点或五点四点或五点”；B B表示所掷结果为表示所掷结果为“偶数点偶数点”。求求:P(A):P(A)和和P(B)P(B)。解：解：由由n=6n=6，k kA A=2,=2,得得P(A)=2/6=1/3P(A)=2/6=1/3；再由再由k kB B=3=3，得，得P(B)=3/6=1/2P(B)=3/6=1/2。例例2：解解:货架上有外观相同的商品货架上有外观相同的商品1515件，其中件，其中1212件来自产地甲件来自产地甲,3,3件来自地乙。现从件来自地乙。现从1515件商品件商品中随机地抽取两件中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产求这两件商品来自一同产地的概

4、率。地的概率。从从1515件商品中取出件商品中取出2 2商品商品,共有共有C C2 21515=105=105种种取法取法,且每种取法都是等可能的，故且每种取法都是等可能的，故n=105n=105。令令 A=A=两件商品都来自产地甲两件商品都来自产地甲,k,kA A=C=C2 21212=66,=66,B=B=两件商品都来自产地乙两件商品都来自产地乙,k,kB B=C=C2 23 3=3=3，而而事事件件:两两件件商商品品来来自自同同一一产产地地=AB,=AB,且且A A与与B B互斥互斥,AB包含基本事件数包含基本事件数66+3=6966+3=69。故，所求概率故，所求概率=69/105=2

5、3/35=69/105=23/35。例例3 ：有外观相同的三极管有外观相同的三极管6 6只只,按其电流放大按其电流放大系数分类系数分类,4,4只属甲类只属甲类,2,2只属乙类。按下列两种只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只方案抽取三极管两只,(1).(1).每次抽取一个只每次抽取一个只,测试后放回测试后放回,然后再抽取然后再抽取 下一只下一只(放回抽样放回抽样););(2).(2).每次抽取一只每次抽取一只,测试后不放回测试后不放回,然后在剩下然后在剩下 的三极管中再抽取下一只的三极管中再抽取下一只(不放回抽样不放回抽样)。设设A=A=抽到两只甲类三极管抽到两只甲类三极管,B=,B=抽到两只

6、同类抽到两只同类三极管三极管,C=,C=至少抽到一只甲类三极管至少抽到一只甲类三极管,D=,D=抽抽到两只不同类三极管到两只不同类三极管。求：求：P(A),P(B),P(C),P(D)P(A),P(B),P(C),P(D)。解解:(1).(1).由于每次抽测后放回由于每次抽测后放回,因此因此,每次都是每次都是在在6 6只三极管中抽取。因第一次从只三极管中抽取。因第一次从6 6只中取一只中取一只只,共有共有6 6种可能取法；第二次还是从种可能取法；第二次还是从6 6只中取只中取一只一只,还是有还是有6 6种可能取法。故种可能取法。故,取两只三极管取两只三极管共有共有6 6 6=36 6=36 种

7、可能的取法。从而种可能的取法。从而,n=36,n=36。注意注意:这种分析方法使用的是中学学过的这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理乘法原理 因每个基本事件发生的可能性相同因每个基本事件发生的可能性相同,第一第一次取一只甲类三极管共有次取一只甲类三极管共有4 4种可能取法种可能取法,第二第二次再取一只甲类三极管还是有次再取一只甲类三极管还是有4 4种可能取法。种可能取法。所以所以,取两只甲类三极管共有取两只甲类三极管共有 4 4 4=16 4=16 种可种可能的取法能的取法,即即k kA A=16=16。故。故 P(A)=16/36=4/9 P(A)=16/36=4/9；令令E=E=抽到两

8、只乙类三极管抽到两只乙类三极管,k,kE E=2=2 2=42=4。故。故 P(E)=4/36=1/9;P(E)=4/36=1/9;因因C C是是E E的对立事件，故的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9 P(C)=1-P(E)=8/9；因因B=AE,B=AE,且且A A与与E E互斥互斥,得得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D D是是B B的对立事件的对立事件,得得 P(D)=1-P(B)=4/9 P(D)=1-P(B)=4/9。(2).(2).由于第一次抽测后不放回由于第一次抽测后不放回,因此因此,第一次第一次从从6 6只中取一只只中取

9、一只,共有共有6 6种可能的取法；第二次种可能的取法；第二次是从剩余的是从剩余的5 5只中取一只只中取一只,有有5 5种可能的取法。种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有由乘法原理，知取两只三极管共有n=6n=6 5=305=30种可能的取法。种可能的取法。由乘法原理由乘法原理,得得 k kA A=4=4 3=12,3=12,P(A)=12/30=2/5;P(A)=12/30=2/5;k kE E=2=2 1=21=2，P(E)=2/30=1/15;P(E)=2/30=1/15;由由C C是是E E的对立事件的对立事件,得得P(C)=1-P(E)=14/15P(C)=1-P(E)=14/

10、15；由由B=AE,B=AE,且且A A与与E E互斥互斥,得得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15 P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由由D D是是B B的对立事件的对立事件,得得 P(D)=1-P(B)=8/15 P(D)=1-P(B)=8/15。解解:例例4 4：n n个球随机地放入个球随机地放入N(Nn)N(Nn)个盒子中个盒子中,若盒若盒子的容量无限制。求子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球每个盒子中至多有一球”的概率。的概率。因每个球都可以放入因每个球都可以放入N N个盒子中的任何一个个盒子中的任何一个,故每个球有故每个球有N N种放法。由乘法原理种放法。由乘法原理,

11、将将n n个球放个球放入入N N个盒子中共有个盒子中共有N Nn n种不同的放法。种不同的放法。每个盒子中至多有一个球的放法每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法由乘法原理得原理得):N(N-1)(N-n+1)=A):N(N-1)(N-n+1)=AN Nn n 种。种。故，故，设每个人在一年设每个人在一年(按按365365天计天计)内每天出内每天出生的可能性都相同生的可能性都相同,现随机地选取现随机地选取n(n365)n(n365)个人个人,则他们生日各不相同的概率为则他们生日各不相同的概率为 A A365365n n/365/365n n。于是于是,n n个人中至少有两人生日相同的概率个人中至

12、少有两人生日相同的概率为为 1-A 1-A365365n n/365/365n n。(请打开请打开P17)许多问题和上例有相同的数学模型。许多问题和上例有相同的数学模型。例如例如(生日问题生日问题):某人群有某人群有n个人，他们中个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？至少有两人生日相同的概率有多大？把把n n个物品分成个物品分成k k组组,使第一组有使第一组有n n1 1个个,第二组有第二组有n n2 2个个,第第k k组有组有n nk k个个,且且n=nn=n1 1+n+n2 2+n+nk k 。则则:不同的分组方法有不同的分组方法有l公式公式种。种。解解:例例5:5:某公司生产的某公

13、司生产的1515件品中件品中,有有1212件是正品件是正品,3,3件是次品。现将它们随机地分装在件是次品。现将它们随机地分装在3 3个箱中个箱中,每每箱装箱装5 5件，设件，设:A=:A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品,B=,B=三三件次品都在同一箱中件次品都在同一箱中。求求:P(A):P(A)和和P(B)P(B)。15 15件产品装入件产品装入3 3个箱中个箱中,每箱装每箱装5 5件件,共有共有种等可能的装法。种等可能的装法。故故,基本事件总数有基本事件总数有个。个。续续:把三件次品分别装入三个箱中把三件次品分别装入三个箱中,共有共有3!3!种种装法。这样的每一种装法取定以后装法。这样

14、的每一种装法取定以后,把其余把其余1212件正品再平均装入件正品再平均装入3 3个箱中个箱中,每箱装每箱装4 4件件,有有个基本事件。个基本事件。再由乘法原理再由乘法原理,可知装箱总方法数有可知装箱总方法数有即即A A包含包含从而，从而，续续:把三件次品装入同一箱中把三件次品装入同一箱中,共有共有3 3种装法种装法.这这样的每一种装法取定以后样的每一种装法取定以后,再把其余再把其余1212件正品装件正品装入入3 3个箱中个箱中(一箱再装一箱再装2 2件件,另两箱各装另两箱各装5 5件件)又有又有个基本事件。故，个基本事件。故，由乘法原理，知装箱方法共有由乘法原理，知装箱方法共有即即B B包含包

15、含解解:例例6 6：设设N N件产品中有件产品中有K K件是次品件是次品,N-K,N-K件是正件是正品品,KN,KN。现从。现从N N件中每次任意抽取件中每次任意抽取1 1件产品件产品,在在检查过它是正品或是次品后再放回检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽这样共抽取了取了n n次。次。求求:事件事件A=A=所取的所取的n n件产品中恰有件产品中恰有k k件次件次品品 的概率的概率,k=0,1,2,n,k=0,1,2,n。假定假定N N件产品是有编号的件产品是有编号的,从中任意取出一从中任意取出一件件,每次都有每次都有N N种取法种取法.由乘法原理由乘法原理,n,n次共有次共有N Nn n种

16、种取法取法,故故,基本事件总数为基本事件总数为N Nn n。当所取的当所取的n n件产品中恰有件产品中恰有k k件次品时件次品时,由于由于取到这取到这k k件次品的次序的不同件次品的次序的不同,因此从次序考虑因此从次序考虑共有共有C Cn nk k种情况。种情况。续续:这这C Cn nk k种情况确定以后种情况确定以后,从从K K件次品中取出件次品中取出k k件件,共有共有K Kk k种取法。从种取法。从N-KN-K件正品中取件正品中取n-kn-k件件,共共有有(N-K)(N-K)n-kn-k种取法。由乘法原理种取法。由乘法原理,共有共有C Cn nk k K Kk k(N-K)(N-K)n-kn-k种取法种取法,A,A中基本事件个数为中基本事件个数为C Cn nk k K Kk k(N-K)(N-K)n-kn-k。小结小结 本节首先给出古典概型的定义；然后讨论本节首先给出古典概型的定义；然后讨论了古典概型中事件概率求法：了古典概型中事件概率求法：若事件若事件A包含包含k个基本事件，有个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n；最后，给出了几个古典概型中求随机事件最后，给出了几个古典概型中求随机事件概率的应用实例。概率的应用实例。