内积外积混和积课件.ppt

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1、向量的内积、外积、向量的内积、外积、混和积混和积 11/17/20231向量的内积向量的内积 向向量量是是一一个个具具有有很很强强的的物物理理背背景景的的概概念念，尤尤其其在在流流体体力力学学、电电磁磁场场理理论论等等中中有有很很多多的的应应用用，要要利利用用向向量量及及其其运运算算来来反反映映诸诸多多物物理理现现象象中中量量的的关关系系，仅仅仅仅只只有有向向量量的的线线性性运运算算就就远远远远不不够够了了，还还要要不不断断充充实实向向量量的的运运算算。这这一一节节先先引引入入向向量量的的一种乘法。一种乘法。21/17/20232例例:物物体体放放在在光光滑滑水水平平面面上上，设设力力F以以与

2、与水水平平线线成成角角的的方方向向作作用用于于物物体体上上，物物体体产产生生位位移移S，求求力力F所作的功。所作的功。于是功于是功W为为:W=|F|cos|S|=|F|S|cos 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。为反映这一类物理现象，引入向量的内积。FS 解解:根据物理知识，根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力可以分解成水平方向分力和垂直方向分力和垂直方向分力 。其中只有与位移平行的分力。其中只有与位移平行的分力 作功，而作功，而 不作功。不作功。31/17/20233根据内积的定义，上例中的功可写作：根据内积的定义，上例中的功可写作：内积及其运算规律内积及其运算规律 定定义义 两两

3、个个向向量量与与的的内内积积是是一一个个数数，它它等等于于这这两两个个向向量量的的长长度度与与它它们们夹夹角角=(，)余余弦弦的的乘乘积积，记为记为 ，即有即有41/17/20234(1)向量的向量的内积内积又称为又称为点积点积或或数量积数量积(3)(2)(4)(5)注：注：向量内积不满足结合律向量内积不满足结合律具有以下性质：具有以下性质：51/17/20235例：例：用用向量证明余弦定理向量证明余弦定理ACB证明：证明：61/17/20236例：例：证明：直径所对应的圆周角为直角证明：直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明：证明：因此因此所以所以71/17/20237例：例：证明：证明：8

4、1/17/20238内积的坐标表示内积的坐标表示对任意向量对任意向量(1)证：证：91/17/20239(2)(3)101/17/202310向量的外积向量的外积 上上一一节节讨讨论论了了向向量量的的一一种种乘乘法法：两两个个向向量量的的内内积积，其其运运算算结结果果是是一一个个数数。为为了了反反映映另另一一物物理理现现象象，本本节节引引入入了了两两个个向向量量的的另另一一种种乘乘法法，叫做叫做外积外积，它的，它的运算结果是一个向量运算结果是一个向量。111/17/202311定义定义 两个向量两个向量与与的的外积外积是一个向量是一个向量1.外积及其运算规律外积及其运算规律的的方方向向与与，均

5、均垂垂直直，且且使使，成右手系成右手系(2)(1)的的模模是是以以，为为边边的的平平行行四四边边形形的的面积，面积，满足满足注注：即：即：121/17/202312外积外积又叫又叫叉积叉积或或向量积向量积，具有以下性质：，具有以下性质：（反交换律）（反交换律）131/17/2023132.外积的应用外积的应用(1)用向量积来求平行四边形及三角形面积用向量积来求平行四边形及三角形面积(2)用向量积来求点到直线的距离用向量积来求点到直线的距离(3)用向量积来求证两个向量共线用向量积来求证两个向量共线141/17/202314例例:已已知知，不不共共线线，当当k取取何何值值时时，向向量量k+9与与4

6、+k共线共线。解：解：又又 ，因为因为，不平行，不平行，故有故有 ，据题设据题设 （k+9）（4+k）k4kk94+9k即即因而因而所以所以 即即 k=6 151/17/202315例：例：证明：证明：所以，所以，161/17/202316外积的坐标表示外积的坐标表示由定义直接可以得到由定义直接可以得到:181/17/202318因此因此:（自己算）（自己算）191/17/202319例：例：解法一：解法一：解法二：解法二：201/17/202320解：解：构造向量构造向量 ，以以AB，AC为边的平行四边形面积为边的平行四边形面积所以三角形所以三角形ABC的面积是的面积是 例例:求求以以 ，为

7、顶点的三为顶点的三 角形角形ABC的面积的面积.那么那么211/17/202321例例：求与求与 垂直的单位向量。垂直的单位向量。解解：设设 ，可见可见是与是与同方向的单位向量，同方向的单位向量，因此，与因此，与及及都垂直的单位向量是都垂直的单位向量是设设=，则则与与及及都垂直，都垂直，则有则有而而221/17/202322向量的混合积向量的混合积 混合积的定义混合积的定义定定义义 三三个个向向量量，的的混混合合积积是是一一个个数数，它它等等于于向向量量，先先作作向向量量积积，然然后后再再与与作作数数量量积积，记记作作(，)即即 (，)=()231/17/202323混合积的几何意义混合积的几

8、何意义注注：241/17/202324混合积的性质混合积的性质注注：251/17/202325例：例：证明：证明：281/17/202328例：例：解：解：291/17/202329例：例：证明：证明：301/17/202330混合积的坐标表示混合积的坐标表示注：注：设设311/17/202331分析分析:所所以以，D-ABC的的体体积积 可可用用混混合合积积求求出。出。例例:求以求以 ，为顶点的四面体的体积。为顶点的四面体的体积。，以以AB，AC，AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积是是以以三三角角形形ABC为为底底面面，AD为为棱棱的的三三棱棱柱柱体体积积的的2倍倍，而而四四面面体体的的体体积积是是三三棱棱柱柱体体积积的的三三分分之一。之一。321/17/202332所以所以解解：构造向量构造向量以以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积为为棱的平行六面体的体积为331/17/202333三向量的双重外积三向量的双重外积定义：定义：性质：性质：341/17/202334例：例：证明一：证明一：由定义由定义证明二：证明二：351/17/202335例：例：证明：证明：361/17/202336