2023年初中平面几何重要定理汇总.docx

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1、2023年初中平面几何重要定理汇总 第一篇：初中平面几何重要定理汇总 初中平面几何重要定理汇总 1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边是c；则a*a+b*b=c*c 2、射影定理(欧几里得定理)(直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式RtABC中,BAC=90,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC,(2)(AB)2;=BDBC ,(3)(AC)2;=CDBC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明) 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线

2、被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同始终线(欧拉线)上 12、库立奇*大

3、上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩

4、及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD 20、以随便三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若ABC和DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若ABC、DEF、GH

5、I都是正三角形，则由三角形ADG、BEH、CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPCCQQAARRB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q、C的平分线交边AB于R，、B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过随便ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理：设ABC的三个顶点A、B

6、、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPCCQQAARRB()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS确定过边BC的中心M 29、塞瓦定理的逆定理：(略) 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 32、西摩松定理：从ABC的外接圆上随便一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线

7、，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线) 33、西摩松定理的逆定理：(略) 34、史坦纳定理：设ABC的垂心为H，其外接圆的随便点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 35、史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线。 36、波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2).37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三

8、点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 39、波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点 40、波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、

9、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点。 41、关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。 42、关于西摩松线的定理2(清静定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 43、卡诺定理：通过ABC的外接圆的一点P，引与ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。 44、奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接圆的交点分别是L、M

10、、N，在ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 45、清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 46、他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径

11、OC和其延长线的两点，假如OC2=OQOP 则称P、Q两点关于圆O互为反点) 47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点九点共圆,或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中随便n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中随便n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、

12、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同始终线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。 52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上

13、。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如

14、对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。 60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。 其次篇：初中平面几何的60个定理 1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)小学都应当驾驭的重要定理 2、射影定理(欧几里得定理)重要 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成

15、2：1的两部分 重要 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 完全没有意义，学习解析几何后明显的结论，不用知道 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。重要 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 重要 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很明显的结论 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 中学竞赛中特殊重要的定理，称为欧拉线 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，

16、三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，中学竞赛中的常用定理 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同始终线(欧拉线)上 中学竞赛中会用，不常用 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 中学竞赛的题目，不用驾驭 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 重要 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个

17、顶点处的外角平分线交于一点 重要 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 中学竞赛需要，重要 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 明显的结论，不需要驾驭 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 中学竞赛需要，重要 19、

18、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=AC 初中竞赛需要，重要 20、以随便三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF是正三角形，学习复数后是明显的结论，不需要驾驭 21、爱尔可斯定理1：若ABC和三角形都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要驾驭 22、爱尔可斯定理2：若ABC、DEF、GHI都是正三角形，则由三角形ADG、BEH、CFI的重心构成的三角形是正三角形。 不需要驾驭 23、梅涅劳斯定理：设ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交

19、点分别为P、Q、R则有 BPPCCQQAARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q、C的平分线交边AB于R，、B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 不用驾驭 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过随便ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 不用驾驭 27、塞瓦定理：设ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q

20、、R，则BPPCCQQAARRB()=1.初中竞赛需要，重要 28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS确定过边BC的中心M 不用驾驭 29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应当用中位线证明才秀丽 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 不用驾驭 32、西摩松定理：从ABC的外接圆上随便一点P向三边BC、CA、AB或其延长

21、线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理 33、西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理 34、史坦纳定理：设ABC的垂心为H，其外接圆的随便点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 不用驾驭 35、史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线。 不用驾驭 36、波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2).

22、不用驾驭 37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 不用驾驭 38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 不用驾驭 39、波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点 不用驾驭 40、波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、C

23、A、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点。 不用驾驭 41、关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。不用驾驭 42、关于西摩松线的定理2(清静定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 不用驾驭 43、卡诺定理：通过ABC的外接圆的一点P，引与ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、

24、E、F，则D、E、F三点共线。 不用驾驭 44、奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 不用驾驭 45、清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 不用驾驭 46、他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、A

25、B的对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，假如OC2=OQOP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)不用驾驭 47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 不用驾驭 48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点九点共圆,或欧拉圆,费尔巴哈圆.上面已经有了 49、一个圆周上有n个点，从其中随便n-1个点的重心

26、，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 不用驾驭 50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中随便n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 不用驾驭 51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同始终线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。不用驾驭 52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。

27、这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 不用驾驭 53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 不用驾驭 54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 不用驾驭 55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 这是我认为的平面几何中最秀丽最奇异的几个定理之一，但不用驾驭 56、

28、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 中学竞赛中常用 57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 不用驾驭 58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 中学竞赛中间或会用 59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的

29、六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。 中学竞赛中间或会用 60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。中学竞赛中重要，一般称做帕斯卡定理，而且是圆锥曲线内接六边形。 第三篇：奥数平面几何几个重要定理 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1塞瓦定理及其证明 定理：在DABC内一点P，该点与DABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交DABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是DABC的顶点，则有 D F P C A ADBE DBECCF=1 FAB E ADSDADPS

30、DADC=证明：运用面积比可得DB=S SDBDPDBDC根据等比定理有 SDADPSDADCSDADC-SDADPSDAPC=SDBDPSDBDCSDBDC-SDBDPSDBPC，ADSDAPCBESDAPBCFSDBPC=所以DB=S同理可得， ECSDAPCFASDAPBDBPCADBECF=1 三式相乘得DBECFA注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高还是“等底，这样就可以产生出“边之比 2塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在DABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，ADBECF=1，那么直且D、E、F均不是DABC的顶点，若 DBECFA线CD、AE、BF三线

31、共点 证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有 AD/BECF=1 /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/=1，所以有=/由于点D、D/都 因为 DBECFADBDB在线段AB上，所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线 注：利用唯一性，接受同一法，用上塞瓦定理使命题顺当获证 二、梅涅劳斯定理 3梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与DABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、B E、F，且D、E、F均不是DABC的顶点，则有 D E C G A F ADBE DBECCF=1 FA证明：如图，过点C作AB的平行线，交

32、EF于点G CGCF=因为CG / AB，所以 1ADFACGEC=因为CG / AB，所以 2DBBEADBECFDBBECF=1=由12可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的帮助线CG是证明的关键“桥梁，两次运用相像比得出两个比例等式，再拆去“桥梁CG使得命题顺当获证 4梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在DABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边ACADBECF=1，的延长线上有一点F，若 DBECFA 那么，D、E、F三点共线 证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有 AD/BECF=1 /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/=1，所

33、以有=/由于点D、D/都因为 DBECFADBDB 在线段AB上，所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线 注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，留意分析其相像后面的规律 三、托勒密定理 5托勒密定理及其证明 定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有 ABCD + BCAD = ACBD 证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM 因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以DADEDACB，即得 D E A M B C ADDE=，即ADBC=ACDE 1ACBC由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =A

34、CD，即ABE =ACD，所以DABEDACD即得 ABBE= ，即ABCDACCDAC B2 由1+2得 BC+ ADABC=DAC+DEAC=BE 所以ABCD + BCAD = ACBD 注：奇异构造三角形，运用三角形之间的相像推得结论构造有特点，不简洁想到，要认真分析题目并不断尝试 6托勒密定理的逆定理及其证明 定理：假如凸四边形ABCD满意ABCD + BCAD = ACBD，那么A、B、C、D四点共圆 证法1同一法： 在凸四边形ABCD内取一点E，使得EAB=DAC，EBA=DCA，则DEABDDAC A B 可得ABCD = BEAC 1 AEAB且 AD=AC 2 则由DAE=

35、CAB及2可得DDAE E D C DCAB于是有 ADBC = DEAC 3 由1+3可得 ABCD + BCAD = AC(BE + DE) 据条件可得 BD = BE + DE，则点E在线段BD上则由EBA=DCA，得DBA=DCA，这说明A、B、C、D四点共圆 证法2构造转移法 延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆假如能证明A/、B/、C共线，则命题获证 那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆 A/B/= 因此，ABA/DB/C/=，BDBC/ A/ B/ A B C/D BDD C C/ /ABAD+BCC

36、D/ 可得 AB+BC=.BDA/C/ 另一方面，AC=/A/DACAD/AC=，即 CDCDABA/D+BCC/DACA/D 欲证=，即证 CDBDABCDA/D+BCCDC/D=ACBDA/D / 即 BCCDCD=(ACBD-ABCD)AD 据条件有 ACBD-ABCD=ADBC，所以需证 BCCDC/D=ADBCA/D，/CDCD=ADAD，这是明显的所以，即证A/B/+B/C=/ACA/、B/、C/共线所以A/B/B与BB/C/，即 /互补由于ABB=DAB，BBC=DCB，所以DAB与DCB互补，即A、B、C、D四点共圆 7托勒密定理的推广及其证明 定理：假如凸四边形ABCD的四个

37、顶点不在同一个圆上，那么就有 ABCD + BCAD ACBD A B E D C 证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得EAB=DAC，EBA=DCA，则DEABDDAC 可得ABCD = BEAC 1 AEAB=且 2ADAC则由DAE=CAB及2可得DDAEDCAB于是 ADBC = DEAC 3 由1+3可得 ABCD + BCAD = AC(BE + DE)因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知 ABCD + BCADACBD 所以BE + DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE + DE BD 所以ABCD + BCAD ACBD 四、西姆

38、松定理 8西姆松定理及其证明 定理：从DABC外接圆上随便一点P向BC、CA、AB或其 延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线 证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/ B F A D C E P 因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP 因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP 所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆 所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC 由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，

39、所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线 注：1接受同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件但需留意运用同一法证明时的唯一性 2反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要驾驭好四点共圆的运用手法 五、欧拉定理 9欧拉定理及其证明 定理：设ABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示则有G、O、H三点共线欧拉线，且满意OH=3OG BOHADEC 证明向量法：连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC则 OH=OA+AH 因为 CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理CH / DA 所以，AHCD为平行四边形 从而得AH=DC而DC=2

40、OE，所以AH=2OE 1因为OE=2OB+OC，所以AH=OB+OC 由得：OH=OA+OB+OC 另一方面，OG=OA+AG=OA+2GF=OA+GB+GC GC=GO+OC，所以 而GB=GO+OB， 1OG=OA+2GO+OC+OBOG=OA+OB+OC 3 由得：OH=3OG结论得证 注：1运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，留意驾驭向量对几何问题的表现手法； 2此题也可用纯几何法赐予证明 又证几何法：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图 因为 CDBC，AHBC，所以 AH

41、 / CD同理CH / DA 所以，AHCD为平行四边形 可得AH = CD而CD = 2OE，所以AH = 2OE 因为AH / CD，CD / OE，所以AH / OE可得DAHG/ BEOG ADHCDEOG/所以 AHAG/HG/2=/=/= OEGEGO1AG/2由/=，及重心性质可知点G/就是DABC的重心，即GE1G/与点G重合 所以，G、O、H三点共线，且满意OH=3OG 六、蝴蝶定理 10蝴蝶定理及其证明 定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，则PM = MQ 证明：过点M作直线AB的垂线l，D / FF C/E C / A

42、QQ M P B 作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、F/，交线段AB于点Q/连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/据圆的性质和图形的对称性可知： MFQ =MFP，FQM =FPM； / /且FF/ / AB，PM = MQ/ 因为C、D、F/、F四点共圆，所以 CDF +CFF = 180/ / 0，而由FF/ / AB可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以 CDF =QPF，即MDF =QPF / / / /又因为Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/所以有 MDF =MQF / /这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/ =Q/DM 因为MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM这说明点Q与点Q/重合，即