复数的几何意义(公开课hly).ppt

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1、15451545年出现了负数开方问题年出现了负数开方问题.17991799年，高斯给出了复数的几何解释，年，高斯给出了复数的几何解释，使得复数不再显得那么虚无缥缈了，使得复数不再显得那么虚无缥缈了，人们从此真正接受了复数人们从此真正接受了复数.数学家：高斯数学家：高斯高斯是怎样给出复数的几何解释的？高斯是怎样给出复数的几何解释的？数学家：笛卡尔数学家：笛卡尔16371637年，笛卡尔认为负数开方是年，笛卡尔认为负数开方是“不可思不可思议的议的”，称这样的数为，称这样的数为“虚数虚数”(虚数一词沿用至今虚数一词沿用至今)阅读阅读复数的复数的几何意义几何意义怎样研究复数的几何意义？怎样研究复数的几

2、何意义？复数由实数扩充得来复数由实数扩充得来类比：类比：实数的几何意义？实数的几何意义？问题问题实数的几何意义：实数的几何意义：实数与数轴上的点实数与数轴上的点一一对应一一对应实数可以用数轴上的点来表示实数可以用数轴上的点来表示每一个实数每一个实数在数轴上都有在数轴上都有一个点与之对应一个点与之对应数轴上的数轴上的每一个点每一个点都有都有一个实数与之对应一个实数与之对应有关实数的几何意义有关实数的几何意义有关复数的几何意义有关复数的几何意义实数可以用实数可以用数轴上的点数轴上的点表示表示实数集的几何意义：实数集的几何意义：数轴数轴完成表格完成表格（由实数的几何意义（由实数的几何意义类比类比复数

3、的几何意义）复数的几何意义）活动活动建构建构实部实部虚部虚部横坐标横坐标纵坐标纵坐标数对数对(a,ba,b)点点Z(a,bZ(a,b)x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)复数复数z=z=a+bia+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应(A)(A)在在复复平平面面内内，对对应应于于实实数数的的点点都都在实轴上；在实轴上；(B)(B)在在复复平平面面内内，对对应应于于纯纯虚虚数数的的点点都在虚轴上；都在虚轴上；(C)

4、(C)在在复复平平面面内内，实实轴轴上上的的点点所所对对应应的复数都是实数；的复数都是实数；(D)(D)在在复复平平面面内内，虚虚轴轴上上的的点点所所对对应应的复数都是纯虚数。的复数都是纯虚数。D D下列命题中的假命题是下列命题中的假命题是 运用运用例例1.1.已知复数已知复数z=m+(2-m)iz=m+(2-m)i在复平面内所对应的点位在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问

5、题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想起点为起点为O O还用点还用点坐标坐标表示过什么？表示过什么？问题问题平面向量平面向量每一个向量都对应一个坐标吗？每一个向量都对应一个坐标吗？每一个坐标都对应一个向量吗？每一个坐标都对应一个向量吗？复数复数z=z=a+bia+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi建构建构OZOZ把绝对值的概念推广到复数把绝对值的概念推广到复数复数的模复数的模的的几何意义几何意义？问题问题读作：复数读作：复数z z的模

6、，或复数的模，或复数a+bia+bi的模的模记为：记为：|z|,|a+biz|,|a+bi|复数的模复数的模的的几何意义几何意义对应平面向量对应平面向量 的模的模|，复数的模：复数的模：|z|=xyobaZ(a,b)z=a+biOZOZ复数复数z=z=a+bia+bi在在复平面上对应的复平面上对应的点点Z(Z(a a,b b)到到原点原点的的距离距离运用运用5 55 53 3 复数加减法有什么样的几何意义？复数加减法有什么样的几何意义？问题问题如何研究？如何研究？类比类比向量加减向量加减法的几何意义法的几何意义从一般情况出发研究？从一般情况出发研究？还是还是从特殊情况出发研究？从特殊情况出发研

7、究？活动活动 用方格纸研究用方格纸研究:复数加法是否满足向量加法的平行四边形法则？复数加法是否满足向量加法的平行四边形法则？复数复数 z1=z2=z1+z2=向量向量(画图)要求：要求：和和 不共线不共线在方格纸画坐标系：运用向量加法的平行四边形法则验证在方格纸画坐标系：运用向量加法的平行四边形法则验证 与与z1+z2对应的点是否一致？对应的点是否一致？OZOZ2 2=（，）OZOZ1 1=（，）2.2.完成表格：完成表格：1.1.自选两个复数自选两个复数:z:z1 1=z z2 2=3.3.结论结论 OZOZ1 1+OZOZ2 2OZOZ1 1OZOZ2 2xoyZ1(a,b)Z2(c,d)

8、Z(a+c,b+d)符合符合向量向量加法加法的平的平行四行四边形边形法则法则.1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义复数复数z1+z2向量向量OZ建构建构xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z1-z2向量向量Z2Z1符合符合向量向量减法减法的三的三角形角形法则法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义|z1-z2|表示什么表示什么?两点两点Z Z1 1、Z Z2 2的距离的距离(1)|z-(1+2i)|(1)|z-(1+2i)|已知已知复数复数z z对应点对应点Z Z,说明下列各式说明下列各式所表示的几何意义所表示的几何意义.点点Z Z到点到点(1,2)(1

9、,2)的距离的距离(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|点点Z Z到点到点(-1,(-1,2)2)的距离的距离(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点Z Z到点到点(0,(0,2)2)的距离的距离(3)|z-1|(3)|z-1|点点Z Z到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离运用运用运用运用小结小结1.(1)复数的几何表示复数的几何表示(1):点表示点表示(2)复数的几何表示复数的几何表示(2):向量表示向量表示(3)复数的模的几何意义复数的模的几何意义2.复数加、减法运算的几何意义复数加、减法运算的几何意义3.数形结合的思想方法4.所学内容能解决什么样的问题？作业作业作作 业业 纸纸例例5.5.若若,则则的最大值是的最大值是_Oxy43C.ZZ52变式变式:的最小值是的最小值是_3探究探究:满足满足|z-i|+|z+iz-i|+|z+i|=4|=4(zC)(zC)的的复数复数z z对应的点在复平面上构成怎样的图形对应的点在复平面上构成怎样的图形？巩固练习与作业巩固练习与作业1.设zC,则方程|z-i|-|z+i|=2所表示的图形是_2.若复数z满足|z+1|+|z-1|=2,则|z+1+i|的最大值是 _3.已知复数z1=-1+2i,z2=1-I,z3=3-2i,它们所对应的点分别为A,B,C.若则x+y的值为_4.若复数z满足则复数z=_