2019中考数学试题分类汇编 考点30 切线的性质和判定（含解析）.doc

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1、120192019 中考数学试题分类汇编：考点中考数学试题分类汇编：考点 3030 切线的性质和判定切线的性质和判定一选择题（共一选择题（共 1111 小题）小题）1（2019哈尔滨）如图，点 P 为O 外一点，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点B，P=30，OB=3，则线段 BP 的长为（ ）A3B3C6D9【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，进而利用直角三角形的性质得出 OP 的长【解答】解：连接 OA，PA 为O 的切线，OAP=90，P=30，OB=3，AO=3，则 OP=6，故 BP=63=3故选：A2（2019眉山）如图所示，AB 是O 的直径，PA 切O 于

2、点 A，线段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若P=36，则B 等于（ ）A27 B32 C36 D54【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，再利用三角形内角和定理得出AOP=54，结合圆周角定理得出答案2【解答】解：PA 切O 于点 A，OAP=90，P=36，AOP=54，B=27故选：A3（2019重庆）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与O 相切于点 D，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若O 的半径为 4，BC=6，则 PA 的长为（ ）A4B2C3D2.5【分析】直接利用切线的性质得出PDO=90，再利用相似三角形的判定

3、与性质分析得出答案【解答】解：连接 DO，PD 与O 相切于点 D，PDO=90，C=90，DOBC，PDOPCB，=，设 PA=x，则=，解得：x=4，故 PA=4故选：A34（2019福建）如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AC 交O 于点 D，若ACB=50，则BOD 等于（ ）A40 B50 C60 D80【分析】根据切线的性质得到ABC=90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC 是O 的切线，ABC=90，A=90ACB=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：D5（2019泸州）在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为

4、半径作圆，点 P 在直线 y=上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为（ ）A3B2CD【分析】如图，直线 y=x+2与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD 于 H，先利用一次解析式得到 D（0，2），C（2，0），再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积法可计算出 OH=，连接 OA，如图，利用切线的性质得 OAPA，则 PA=，然后利用垂线段最短求 PA 的最小值【解答】解：如图，直线 y=x+2与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD 于 H，4当 x=0 时，y=x+2=2，则 D（0，2），当 y=0 时， x+2=0

5、，解得 x=2，则 C（2，0），CD=4，OHCD=OCOD，OH=，连接 OA，如图，PA 为O 的切线，OAPA，PA=，当 OP 的值最小时，PA 的值最小，而 OP 的最小值为 OH 的长，PA 的最小值为=故选：D6（2019泰安）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA=140，则ACB 的度数为（ ）A40 B50 C60 D70【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知OBM=90，从而得ABO=BAO=50，由内角和5定理知AOB=80，根据圆周角定理可得答案【解答】解：如图，连接 OA、OB，BM 是O 的切线，OBM=90，MBA=140，ABO=50，OA=OB，ABO

6、=BAO=50，AOB=80，ACB=AOB=40，故选：A7（2019深圳）如图，一把直尺，60的直角三角板和光盘如图摆放，A 为 60角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）A3BC6D【分析】设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、OAB=60，根据 OB=ABtanOAB 可得答案【解答】解：设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，6由切线长定理知 AB=AC=3，OA 平分BAC，OAB=60，在 RtABO 中，OB=ABtanOAB=3，光盘的直径为 6，故选：D8（2019重庆）如图，ABC 中，A=30，点 O 是边 AB 上一点，

7、以点 O 为圆心，以 OB为半径作圆，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=2，则线段 CD的长是（ ）A2BCD 【分析】连接 OD，得 RtOAD，由A=30，AD=2，可求出 OD、AO 的长；由 BD 平分ABC，OB=OD 可得OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论【解答】解：连接 ODOD 是O 的半径，AC 是O 的切线，点 D 是切点，ODAC在 RtAOD 中，A=30，AD=2，OD=OB=2，AO=4，ODB=OBD，又BD 平分ABC，OBD=CBDODB=CBDODCB，即CD=7故选：B9（2019湘西州）如

8、图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC、CD 是O 的两条弦，且CDAB，若O 的半径为 5，CD=8，则弦 AC 的长为（ ）A10B8C4D4【分析】由 AB 是圆的切线知 AOAB，结合 CDAB 知 AOCD，从而得出 CE=4，RtCOE 中求得 OE=3 及 AE=8，在 RtACE 中利用勾股定理可得答案【解答】解：直线 AB 与O 相切于点 A，OAAB，又CDAB，AOCD，记垂足为 E，CD=8，CE=DE=CD=4，连接 OC，则 OC=OA=5，在 RtOCE 中，OE=3，AE=AO+OE=8，则 AC=4，8故选：D10（2019宜昌）如图，直线 AB 是O 的切

9、线，C 为切点，ODAB 交O 于点 D，点 E 在O 上，连接 OC，EC，ED，则CED 的度数为（ ）A30 B35 C40 D45【分析】由切线的性质知OCB=90，再根据平行线的性质得COD=90，最后由圆周角定理可得答案【解答】解：直线 AB 是O 的切线，C 为切点，OCB=90，ODAB，COD=90，CED=COD=45，故选：D11（2019无锡）如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、D、G 三点的圆 O 与边AB、CD 分别交于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）B

10、C 与圆 O 相切，其中正确说法的个数是（ ）A0B1C2D3【分析】连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，先确定 AG=DG，则 GH 垂直平分AD，则可判断点 O 在 HG 上，再根据 HGBC 可判定 BC 与圆 O 相切；接着利用 OG=OG 可判断圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；然后根据四边形 AEFD 为O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交9点是圆 O 的圆心【解答】解：连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，G 是 BC 的中点，AG=DG，GH 垂直平分 AD，点 O 在 HG 上，ADBC，HGBC，BC 与圆 O 相切；O

11、G=OG，点 O 不是 HG 的中点，圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；而四边形 AEFD 为O 的内接矩形，AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（1）错误，（2）（3）正确故选：C二填空题（共二填空题（共 1414 小题）小题）12（2019安徽）如图，菱形 ABOC 的边 AB，AC 分别与O 相切于点 D，E若点 D 是 AB的中点，则DOE= 60 【分析】连接 OA，根据菱形的性质得到AOB 是等边三角形，根据切线的性质求出AOD，10同理计算即可【解答】解：连接 OA，四边形 ABOC 是菱形，BA=BO，AB 与O 相切于点 D，ODAB，点 D 是 AB 的中点，直线

12、 OD 是线段 AB 的垂直平分线，OA=OB，AOB 是等边三角形，AB 与O 相切于点 D，ODAB，AOD=AOB=30，同理，AOE=30，DOE=AOD+AOE=60，故答案为：6013（2019连云港）如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，OC 交 AB于点 P，已知OAB=22，则OCB= 44 【分析】首先连接 OB，由点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，根据等角的余角相等，易证11得CBP=CPB，利用等腰三角形的性质解答即可【解答】解：连接 OB，BC 是O 的切线，OBBC，OBA+CBP=90，OCOA，A+APO=90，OA=OB

13、，OAB=22，OAB=OBA=22，APO=CBP=68，APO=CPB，CPB=ABP=68，OCB=1806868=44，故答案为：4414（2019泰州）如图，ABC 中，ACB=90，sinA=，AC=12，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ12设 PQ=PA=r，

14、PQCA，=，=，r=如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线，ABTABC，=，=，AT=，r=AT=综上所述，P 的半径为或15（2019宁波）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，13连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形；【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 CD

15、相切时，设 PC=PM=m在 RtPBM 中，PM2=BM2+PB2，x2=42+（8x）2，x=5，PC=5，BP=BCPC=85=3如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形14PM=PK=CD=2BM，BM=4，PM=8，在 RtPBM 中，PB=4综上所述，BP 的长为 3 或 416（2019台州）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D若A=32，则D= 26 度【分析】连接 OC，根据圆周角定理得到COD=2A，根据切线的性质计算即可【解答】解：连接 OC，由圆周角定理

16、得，COD=2A=64，CD 为O 的切线，OCCD，D=90COD=26，故答案为：2617（2019长沙）如图，点 A，B，D 在O 上，A=20，BC 是O 的切线，B 为切点，15OD 的延长线交 BC 于点 C，则OCB= 50 度【分析】由圆周角定理易求BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90，进而可求出求出OCB 的度【解答】解：A=20，BOC=40，BC 是O 的切线，B 为切点，OBC=90，OCB=9040=50，故答案为：5018（2019香坊区）如图，BD 是O 的直径，BA 是O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C，OEAB 于 E，且 AB

17、=AC，若 CD=2，则 OE 的长为 【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中 30角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得 OE 的长【解答】解：连接 OA、AD，如右图所示，BD 是O 的直径，BA 是O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C，OEAB 于 E，DAB=90，OAC=90，AB=AC，B=C，在ACO 和BAD 中，16，ACOBAD（ASA），AO=AD，AO=OD，AO=OD=AD，AOD 是等边三角形，ADO=DAO=60，B=C=30，OAE=30，DAC=30，AD=DC，CD=2，AD=2，点 O 为 AD 的中点，OE

18、AD，OEAB，OE=，故答案为：19（2019山西）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作O，O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作O 的切线 FG，交 AB 于点G，则 FG 的长为 【分析】先利用勾股定理求出 AB=10，进而求出 CD=BD=5，再求出 CF=4，进而求出 DF=3，17再判断出 FGBD，利用面积即可得出结论【解答】解：如图，在 RtABC 中，根据勾股定理得，AB=10，点 D 是 AB 中点，CD=BD=AB=5，连接 DF，CD 是O 的直径，CFD=90，BF=CF=BC=4，DF

19、=3，连接 OF，OC=OD，CF=BF，OFAB，OFC=B，FG 是O 的切线，OFG=90，OFC+BFG=90，BFG+B=90，FGAB，SBDF=DFBF=BDFG，FG=，故答案为1820（2019包头）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D，点 E 在上（不与点 B，C 重合），连接 BE，CE若D=40，则BEC= 115 度【分析】连接 OC，根据切线的性质求出DCO，求出COB，即可求出答案【解答】解：连接 OC，DC 切O 于 C，DCO=90，D=40，COB=D+DCO=130，的度数是 130，的度数是 36013

20、0=230，BEC=115，故答案为：11521（2019湘潭）如图，AB 是O 的切线，点 B 为切点，若A=30，则AOB= 60 【分析】根据切线的性质得到OBA=90，根据直角三角形的性质计算即可【解答】解：AB 是O 的切线，19OBA=90，AOB=90A=60，故答案为：6022（2019徐州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点D若C=18，则CDA= 126 度【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA 计算求解【解答】解：连接 OD，则ODC=90，COD=72；OA=OD

21、，ODA=A=COD=36，CDA=CDO+ODA=90+36=12623（2019青岛）如图，RtABC，B=90，C=30，O 为 AC 上一点，OA=2，以 O 为圆心，以OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影部分的面积是 20【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案【解答】解：B=90，C=30，A=60，OA=OF，AOF 是等边三角形，COF=120，OA=2，扇形 OGF 的面积为： =OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，OEC=90，OC=2OE=4，AC=OC+OA=6，AB=AC=3，由勾股定理可知：B

22、C=3ABC 的面积为：33=OAF 的面积为：2=，阴影部分面积为： =故答案为： 24（2019广东）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）21【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S正方形 OECDS扇形 EOD计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，O

23、D=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S正方形 OECDS扇形 EOD=22=4，阴影部分的面积=24（4）=故答案为 25（2019南京）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，以 CD 为直径作O将矩形 ABCD绕点 C旋转，使所得矩形 ABCD的边 AB与O 相切，切点为 E，边 CD与O 相交于点F，则 CF 的长为 4 【分析】连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC，由旋转性质知22B=BCD=90、AB=CD=5、BC=BC=4，从而得出四边形 OEBH 和四边形 EBCG都是矩形且 OE=OD=OC

24、=2.5，继而求得 CG=BE=OH=2，根据垂径定理可得 CF 的长【解答】解：连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC 于点 H，则OEB=OHB=90，矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 ABCD，B=BCD=90，AB=CD=5、BC=BC=4，四边形 OEBH 和四边形 EBCG 都是矩形，OE=OD=OC=2.5，BH=OE=2.5，CH=BCBH=1.5，CG=BE=OH=2，四边形 EBCG 是矩形，OGC=90，即 OGCD，CF=2CG=4，故答案为：4三解答题（共三解答题（共 2525 小题）小题）26（2019柯桥区模拟）如图，已知三角形 ABC

25、的边 AB 是O 的切线，切点为 BAC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、C，过 C 作直线 CE 丄 AB，交 AB 的延长线于点 E（1）求证：CB 平分ACE；（2）若 BE=3，CE=4，求O 的半径23【分析】（1）证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是0 的切线，得到 OBAB，由于 CE 丄AB，的 OBCE，于是得到1=3，根据等腰三角形的性质得到1=2，通过等量代换得到结果（2）如图 2，连接 BD 通过DBCCBE，得到比例式，列方程可得结果【解答】（1）证明：如图 1，连接 OB，AB 是0 的切线，OBAB，CE 丄 AB，OBCE，1=3，OB=OC，1=22=3

26、，CB 平分ACE；（2）如图 2，连接 BD，CE 丄 AB，E=90，BC=5，CD 是O 的直径，DBC=90，E=DBC，DBCCBE，BC2=CDCE，24CD=，OC=，O 的半径=27（2019天津）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC=38，（I）如图，若 D 为的中点，求ABC 和ABD 的大小；（）如图，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的大小【分析】（）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ABC 和ABD 的大小；（）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得OCD 的大小【解答】解：（）AB 是O 的直

27、径，弦 CD 与 AB 相交，BAC=38，ACB=90，ABC=ACBBAC=9038=52，25D 为的中点，AOB=180，AOD=90，ACD=45；（）连接 OD，DP 切O 于点 D，ODDP，即ODP=90，由 DPAC，又BAC=38，P=BAC=38，AOD 是ODP 的一个外角，AOD=P+ODP=128，ACD=64，OC=OA，BAC=38，OCA=BAC=38，OCD=ACDOCA=6438=2628（2019荆门）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，ADEC 交 EC 的延长线于点 D，AD 交O 于 F，FMA

28、B 于 H，分别交O、AC 于M、N，连接 MB，BC（1）求证：AC 平分DAE；（2）若 cosM=，BE=1，求O 的半径；求 FN 的长26【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得 OCDE，则判断 OCAD 得到1=3，加上2=3，从而得到1=2；（2）利用圆周角定理和垂径定理得到=，则COE=FAB，所以FAB=M=COE，设O 的半径为 r，然后在 RtOCE 中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出 r 即可；连接 BF，如图，先在 RtAFB 中利用余弦定义计算出 AF=，再计算出 OC=3，接着证明AFNAEC，然后利用相似比可计算出 FN 的长【解答】（1）证明：连

29、接 OC，如图，直线 DE 与O 相切于点 C，OCDE，又ADDE，OCAD1=3OA=OC，2=3，1=2，AC 平方DAE；（2）解：AB 为直径，AFB=90，而 DEAD，BFDE，OCBF，=，COE=FAB，27而FAB=M，COE=M，设O 的半径为 r，在 RtOCE 中，cosCOE=，即=，解得 r=4，即O 的半径为 4；连接 BF，如图，在 RtAFB 中，cosFAB=，AF=8=在 RtOCE 中，OE=5，OC=4，CE=3，ABFM，5=4，FBDE，5=E=4，=，1=2，AFNAEC，=，即=，FN=29（2019随州）如图，AB 是O 的直径，点 C 为

30、O 上一点，CN 为O 的切线，OMAB28于点 O，分别交 AC、CN 于 D、M 两点（1）求证：MD=MC；（2）若O 的半径为 5，AC=4，求 MC 的长【分析】（1）连接 OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可【解答】解：（1）连接 OC，CN 为O 的切线，OCCM，OCA+ACM=90，OMAB，OAC+ODA=90，OA=OC，OAC=OCA，ACM=ODA=CDM，MD=MC；（2）由题意可知 AB=52=10，AC=4，AB 是O 的直径，ACB=90，BC=，AOD=ACB，A=A，AODACB，29，即，可得：OD=2.5，

31、设 MC=MD=x，在 RtOCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即 MC=30（2019黄冈）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C（1）求证：CBP=ADB（2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP 的长【分析】（1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90，再根据切线的性质得到OBC=90，然后利用等量代换进行证明；（2）证明AOPABD，然后利用相似比求 BP 的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图，AD 是O 的直径，ABD=90，A+ADB=90，BC 为切

32、线，OBBC，OBC=90，OBA+CBP=90，而 OA=OB，A=OBA，30CBP=ADB；（2）解：OPAD，POA=90，P+A=90，P=D，AOPABD，=，即=，BP=731（2019襄阳）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE（1）求证：DA=DE；（2）若 AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接 OE推知 CD 为O 的切线，即可证明 DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积【解答】解：（1）证明：连接 OE、OCOB=OE，OBE=OE

33、BBC=EC，31CBE=CEB，OBC=OECBC 为O 的切线，OEC=OBC=90；OE 为半径，CD 为O 的切线，AD 切O 于点 A，DA=DE；（2）如图，过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，AD=BF，DF=AB=6，DC=BC+AD=4FC=2，BCAD=2，BC=3在直角OBC 中，tanBOE=，BOC=60在OEC 与OBC 中，OECOBC（SSS），BOE=2BOC=120S阴影部分=S四边形 BCEOS扇形 OBE=2BCOB=933232（2019长春）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点 A，BC 交O 于点 D已知O的半径为

34、6，C=40（1）求B 的度数（2）求的长（结果保留 ）【分析】（1）根据切线的性质求出A=90，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出AOD，根据弧长公式求出即可【解答】解：（1）AC 切O 于点 A，BAC=90，C=40，B=50；（2）连接 OD，B=50，AOD=2B=100，的长为=33（2019白银）如图，点 O 是ABC 的边 AB 上一点，O 与边 AC 相切于点 E，与边BC，AB 分别相交于点 D，F，且 DE=EF（1）求证：C=90；（2）当 BC=3，sinA=时，求 AF 的长33【分析】（1）连接 OE，BE，因为 DE=EF，所以，从而易证OE

35、B=DBE，所以OEBC，从可证明 BCAC；（2）设O 的半径为 r，则 AO=5r，在 RtAOE 中，sinA=，从而可求出 r的值【解答】解：（1）连接 OE，BE，DE=EF，OBE=DBEOE=OB，OEB=OBEOEB=DBE，OEBCO 与边 AC 相切于点 E，OEACBCACC=90（2）在ABC，C=90，BC=3，sinA=AB=5，设O 的半径为 r，则 AO=5r，在 RtAOE 中，sinA=r=AF=52=3434（2019绵阳）如图，AB 是O 的直径，点 D 在O 上（点 D 不与 A，B 重合），直线AD 交过点 B 的切线于点 C，过点 D 作O 的切线

36、 DE 交 BC 于点 E（1）求证：BE=CE；（2）若 DEAB，求 sinACO 的值【分析】（1）证明：连接 OD，如图，利用切线长定理得到 EB=ED，利用切线的性质得ODDE，ABCB，再根据等角的余角相等得到CDE=ACB，则 EC=ED，从而得到 BE=CE；（2）作 OHAD 于 H，如图，设O 的半径为 r，先证明四边形 OBED 为正方形得 DE=CE=r，再利用AOD 和CDE 都为等腰直角三角形得到 OH=DH=r，CD=r，接着根据勾股定理计算出 OC=r，然后根据正弦的定义求解【解答】（1）证明：连接 OD，如图，EB、ED 为O 的切线，EB=ED，ODDE，A

37、BCB，ADO+CDE=90，A+ACB=90，OA=OD，A=ADO，CDE=ACB，EC=ED，BE=CE；35（2）解：作 OHAD 于 H，如图，设O 的半径为 r，DEAB，DOB=DEB=90，四边形 OBED 为矩形，而 OB=OD，四边形 OBED 为正方形，DE=CE=r，易得AOD 和CDE 都为等腰直角三角形，OH=DH=r，CD=r，在 RtOCB 中，OC=r，在 RtOCH 中，sinOCH=，即 sinACO 的值为35（2019德州）如图，AB 是O 的直径，直线 CD 与O 相切于点 C，且与 AB 的延长线交于点 E，点 C 是的中点（1）求证：ADCD；（

38、2）若CAD=30，O 的半径为 3，一只蚂蚁从点 B 出发，沿着 BEEC爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（3.14，1.73，结果保留一位小数）36【分析】（1）连接 OC，根据切线的性质得到 OCCD，证明 OCAD，根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到COE=60，根据勾股定理、弧长公式计算即可【解答】（1）证明：连接 OC，直线 CD 与O 相切，OCCD，点 C 是的中点，DAC=EAC，OA=OC，OCA=EAC，DAC=OCA，OCAD，ADCD；（2）解：CAD=30，CAE=CAD=30，由圆周角定理得，COE=60，OE=2OC=6，EC=OC=3， =，蚂蚁爬过的

39、路程=3+3+11.336（2019北京）如图，AB 是O 的直径，过O 外一点 P 作O 的两条切线 PC，PD，切37点分别为 C，D，连接 OP，CD（1）求证：OPCD；（2）连接 AD，BC，若DAB=50，CBA=70，OA=2，求 OP 的长【分析】（1）先判断出 RtODPRtOCP，得出DOP=COP，即可得出结论；（2）先 求出COD=60，得出OCD 是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论【解答】解：（1）连接 OC，OD，OC=OD，PD，PC 是O 的切线，ODP=OCP=90，在 RtODP 和 RtOCP 中，RtODPRtOCP，DOP=COP，OD=OC

40、，OPCD；（2）如图，连接 OD，OC，OA=OD=OC=OB=2，ADO=DAO=50，BCO=CBO=70，AOD=80，BOC=40，COD=60，OD=OC，COD 是等边三角形，38由（1）知，DOP=COP=30，在 RtODP 中，OP=37（2019铜仁市）如图，在三角形 ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以 BC 为直径作O 交 AB于点 D，交 AC 于点 G，直线 DF 是O 的切线，D 为切点，交 CB 的延长线于点 E（1）求证：DFAC；（2）求 tanE 的值【分析】（1）连接 OC，CD，根据圆周角定理得BDC=90，由等腰三角形三线合一的性质得：D 为

41、AB 的中点，所以 OD 是中位线，由三角形中位线性质得：ODAC，根据切线的性质可得结论；（2）如图，连接 BG，先证明 EFBG，则CBG=E，求CBG 的正切即可【解答】（1）证明：如图，连接 OC，CD，BC 是O 的直径，BDC=90，CDAB，AC=BC，AD=BD，OB=OC，OD 是ABC 的中位线39ODAC，DF 为O 的切线，ODDF，DFAC；（2）解：如图，连接 BG，BC 是O 的直径，BGC=90，EFC=90=BGC，EFBG，CBG=E，RtBDC 中，BD=3，BC=5，CD=4，SABC=，64=5BG，BG=，由勾股定理得：CG=，tanCBG=tanE

42、=38（2019昆明）如图，AB 是O 的直径，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点 F，AC 平分BAD，连接 BF（1）求证：ADED；（2）若 CD=4，AF=2，求O 的半径40【分析】（1）连接 OC，如图，先证明 OCAD，然后利用切线的性质得 OCDE，从而得到ADED；（2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到AFB=90，再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FH=CD=4，CHF=90，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到O 的半径【解答】（1）证明：连接 OC，如图，AC 平分BAD，1=2，OA=OC，1=3，2=3，OC

43、AD，ED 切O 于点 C，OCDE，ADED；（2）解：OC 交 BF 于 H，如图，AB 为直径，AFB=90，易得四边形 CDFH 为矩形，FH=CD=4，CHF=90，OHBF，BH=FH=4，BF=8，在 RtABF 中，AB=2，41O 的半径为39（2019陕西）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，分别与 AC、BC 交于点 M、N（1）过点 N 作O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NEAB；（2）连接 MD，求证：MD=NB【分析】（1）连接 ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=DB，则1=B，再证明2=B 得到 ONDB，接着根据切线的性质得到 ONNE，然后利用平行线的性质得到结论；（2）连接 DN，如图，根据圆周角定理得到CMD=CND=90，则可判断四边形 CMDN 为矩形，所以 DM=CN，然后证明 CN=BN，从而得到 MD=NB【解答】证明：（1）连接 ON，如图，CD 为斜边 AB 上的中线，CD=AD=DB，1=B，OC=ON，1=2，2=B，ONDB，NE 为切线，42ONNE，NEAB；（2）连接 DN，如图，AD 为直径，CMD=CND=90，而MCB=90