08 第五章 线性参数的最小二乘 1.ppt

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1、1第一节最小二乘原理最小二乘原理等精度测量线性参数的最小二乘原理不等精度测量线性参数的最小二乘原理第二节正规方程线性参数的最小二乘处理的正规方程非线性参数的最小二乘处理的正规方程最小二乘原理和算术平均值原理的关系第三节精度估计测量数据的精度估计最小二乘估计量的精度估计第四节组合测量的最小二乘法处理第5章 线性参数的最小二乘处理参数的最可信赖估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析2 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。这种方法可以妥善解决的数据处理方法。这种方法可以妥善解决参数的最可信赖参数的最可信赖

2、估计估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析以及回归分析等一系列数据处理问题。等一系列数据处理问题。在物理实验中，经常遇到已知变量间有密切的关系，但在物理实验中，经常遇到已知变量间有密切的关系，但其其 具体的函数形式及公式中所用参数的具体数值，则要通过具体的函数形式及公式中所用参数的具体数值，则要通过实际测量来确定的情况。实际测量来确定的情况。如如已知某种电阻其阻值与温度有关已知某种电阻其阻值与温度有关，则需要测出一系列不同温，则需要测出一系列不同温度下的阻值，然后对这一组数据用最小二乘法进行相应的处理，度下的阻值，然后对这一组

3、数据用最小二乘法进行相应的处理，得出函数关系中参数的最佳估计值得出函数关系中参数的最佳估计值。3第一节最小二乘原理 一、引入一、引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：问题：如何根据和测量方程解得待测 量X的估计值？4直接求得。有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求 。讨论：讨论：最小二乘原理：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。5二、最小二乘原理二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ，则有由此得测量数据 的残余误差残差方程式6 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 分别出现在相应真值附近 区域内的概率为由由概率乘法定理概率乘法定

4、理可知，各测量数据可知，各测量数据同时出现同时出现在相应在相应区域的概率为区域的概率为7测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为最小8等精度测量的最小二乘原理：最小 不等精度测量的最小二乘原理：最小最小二乘原理最小二乘原理（其他分布也适用）（其他分布也适用）：测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。（或加权残余误差平方和）最小。最小9三、等精度测量的线性参数最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的

5、估计量为：残差方程为10令则残差方程的矩阵表达式为残差方程为11令则残差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：最小12不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：思路一：思路一：权矩阵四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：13思路二：不等精度等精度思路二：不等精度等精度则有：思路一：思路一：14第二节正规方程 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程1516用用高斯符号高斯符号表示有：表示有：则可得：则可得

6、：同理有：同理有：17 上式中各二阶偏导数恒为正，即：上式中各二阶偏导数恒为正，即：所以，上式求得的极值是极小值，满足最小二乘条件。所以，上式求得的极值是极小值，满足最小二乘条件。等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程 t 元线性方程组元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解，由此可解得待求的估计量。由此可解得待求的估计量。因而因而,估计量方程可最终写成估计量方程可最终写成18 对于线性参数的正规方程，利用矩阵处理比较方便。对于线性参数的正规方程，利用矩阵处理比较方便。现将正规方程组中第现将正规

7、方程组中第 r 个方程展开：个方程展开：19正规方程组可写成：正规方程组可写成：写为矩阵形式为：写为矩阵形式为：即：即：这就是等精度测量情况下以矩阵形式表示的正规方程。这就是等精度测量情况下以矩阵形式表示的正规方程。20将代入到中，得（待测量的无偏估计）21若若A的秩等于的秩等于 t，那么，那么 必定有唯一的解：必定有唯一的解：所解得所解得 的数学期望为：的数学期望为：由此可见，由此可见，是是 的的无偏估计无偏估计。是变量是变量 的真值向量的真值向量是被估计参数的真值向量是被估计参数的真值向量其中假定：其中假定：无系统误差存在无系统误差存在逆矩阵存在逆矩阵存在22例5.1：已知铜棒的长度和温度

8、之间具有线性关系：，为获得时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。1010202030304040505060602000.362000.362000.722000.722000.82000.82001.072001.07 2001.482001.48 2000.602000.60解：解：1 1）列出误差方程）列出误差方程令令 为两个待估参量，则误差方程为为两个待估参量，则误差方程为23按照最小二乘的矩阵形式计算按照最小二乘的矩阵形式计算则有：则有：那么：那么：24二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规

9、方程方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：25整理得：26即不等精度的正规方程不等精度的正规方程将代入上式，得（待测量的无偏估计）27例 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：试求 的最可信赖值。解：首先确定各式的权28令29三、非线性参数最小二乘处理的正规方程三、非线性参数最小二乘处理的正规方程针对非线性函数其测量误差方程为 令 ，现将函数在 处展开，则有30将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程组于是可解得 ，进而可得 。近似值近似值31为获得函数的展开式，必须首先确定 1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由此可解得 。32按照最小二乘原理可求得结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例。算术平均值原理是最小二乘原理的特例。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据 ，相应的权分别为，则测量的误差方程为