高中数学“算法初步”教学案例的开发原则.pdf

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1、朱立明王晓辉(东北师范大学)算法(a l g o r i t h m)一词来源于阿拉伯数学家花拉子米的拉丁 译名 A l g o r i t h m，是 指按照一定规则解 决某一类 问题 的明确和有 限的步骤由此我们可以看出，算法是解决问题的一种程序，那 么，教师在教学中选择什么样的问题作为算法教学的案例，才 能更好地说明算法的精妙呢?为此，本文主要提供一些算法案 例选择的原则，同时给出一些案例，并对其进行了分析 一、体现算法思想的原则 算法的思想是贯穿高中数学新课程的一条主线，其本质是 按照一定的步骤，一步一步地去解决某个问题的程序化思想 一般地，算法思想包含了两个比较重要的元素：一是运算，

2、包括算术运算、逻辑运算、关系运算、函数运算等；二是结构，其作用是控制算法各个操作的执行顺序，算法通常所具备的三 种控制结构是顺序结构、选择结构 和循环结构 算法作 为构造性数学，是 一种解决 数学问题策略 的具体化，即有 限递归构造和有限非递归构造 以哥德尔为首的直觉主义学 派认为：数学必须能构造 而数学中的算法，联系到计算机科学 的发展，这种构造性数学的研究就更有其深远意义了 算法是数学中不可或缺 的重要组成部分，领悟算法思想，既 可以扩展 学生解决 问题 的技能，又能增 强学生 的数 学应用 意 识因此，教师在选择案例时，最好避开学生已成思维定势的问 题，克服由思维定势引起的错误，整体地、

3、系统化地思考所选 案例，在把握整体结构的基础上，使问题正确深刻地体现算法 的程序化思想，立足全局，自上而下，逐步求精 除此之外，教师还要适 当地 凸显 数学 的构 造性，增 强学生 的算法意识，教师要 明确学生对于算法的学习，实际上就是一 个模仿、操作、探索的过程因此，教师所选的案例应该逐步使 学生领悟算法的程序化思想 例 1 编写算法，找出任意输入的 n个不同整数 中最大的 一个 算法分析：第一步：输入不同的整数 啦，第二步：令 i=2，m a x=1 第三步：若 q ，则进入第四步；否则，进入第五步 第 四步：n TT砥=第五步：i=i+1 第六步：若 i n，则返回第三步；否则，输出，结

4、束算法 程 序框 图：程序：I N P U T o 1 ，a 2 ，o n i：2 m ax=l W HI L E n I F a ma x a a ma x =。i：i+l W END P R I N T a ma x END 案例分析：本算法的算理是利用冒泡排序法，从第一个数 开始，按照顺序将其依次和后面的每个数进行比较，从而找出最 大的数，值得 注意的是，在程序 中的变量都是数的下标而本例 的关键步骤是第三步和第四步，我们先假设第一个数是最大的，将其和后 面的数进行 比较，并把 相比结果较 大的数赋给 n m 暇，这 中 国数学教育 2 0 1 0 年 第1 2 期 3 5 样，当比完

5、个数之后，最大的数便找到 了 本例 需要 学生在原 有例题的基础之上，重新对问题进行分析、抽象、判断、推理。采用算法明确地表达 自己的思维过程，体现了算法的条理化、逻辑化，蕴含了算法的程序化思想另外，此课例还可进一步推 广：编写算法，找 出任意输入的 n个整数 中最大的一个，若最 大整数不唯一，求出最大整数的个数 做这样修改，有利于学生 循序渐进地理解算法 二、培养学生逻辑思维能力的原则 高中数学新课程中淡化了原有的简易逻辑内容，而算法模 块具有思维的条理化、逻辑化 的特点，它 的加入正是填补 了逻 辑思维培养弱化的这一空白算法与其他的数学内容有所不同，它一方面具有具体化、程序化、机械化的特点

6、，同时又具有高 度的抽象l生、概括性和精确性对于一个具体的算法由问题的分 析到程序语言的实现，如果其中某环节有任何一个疏漏或者错 误，都将导致算法运行的最终失败，这也正是数学严谨性特点 的重要体现因此，算法有利于培养学生的逻辑思维能力 根据上述对算法的理解，在算法教学活动中，教师所选的 案例应具备引导学生把握逻辑思维实质的特点，正确地以教科 书中所提供的案例为基础，进行适当地开发推广，得出能够提 高学生思维能力的案例，例如，教师应该引导学生设计程序框 图，将程序框图转化为程序语句的过程中所体现出来的算法的 含义、特点，增强学生利用程序框图解决问题的逻辑思维能力，而不应该将本节内容的重点视为程序

7、语言的学习和程序语言的 设计 例 2 编写算法，计算f(x)，其中f(x)：0，：0 或=2，0，进入第四步，否则，进入第六步 第四步：计算，()：一二 第五步：输出f(x)，结束算法 第六步：计算，()=二，结束算法 一 案例分析：本案例以分段 函数为载体，蕴含 了算法的选择 结构，在问题的解决过程中，先提炼出“算理”，即算法的选择 结构，再依靠“算理”解决问题既然是分段函数，那么对于自 变量 的不 同取值，所对 应的 函数 解析 式应该也是 不 同的，所 以通过选择结构的应用，有利于培养学生有条理地解决问题的 能力本算法中包含了二次选择，即算法中的第三步：若 0，进入第四步，否则，进入第六

8、步而第三步的选择叉以 0且 2作为前提条件，因此，教师应该引导学生以=0或：2 为分界点，首先考虑 当 =0或：2的情况，然后在 0且 2的条件之 下讨 论 0这 两种情况，可 以使算 法得 到相应的简化 本算法体现了算法的条理化、逻辑化，有利于培养 学生的理性判断，提高学生的逻辑思维能力此课例还可以进一 步推广：函数厂()保持不变，编写算法，使其计算f(x)=厂()+(+1)+，(0)+l厂(1)+I厂(2)+_厂()的值 三、以算法思想贯穿数学新课程的原则 在(监通高中数学课程标准(实验)中明确提出：“算法是 一个全新的课题，已经成为计算科学的重要基础，它在科学技 术与社会发展 中起着越来

9、越重要的作用算法的思想和初步知 识，也正成为普通公民的常识 在必修课程中，将学习算法的基 本思想和初步知识，算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分”算法思想渗透在高中数学其他内容之中，因此，教师应以算法 思想为核心，鼓励学生运用算法解决数学问题 在实际教学中，教师要体现算法与数学的结合，逐步地引 导学生应用算法思想解决数学问题 例如，在高中必修课程中，求函数最值、解三角形、数列求和、不等式求解、三角函数、求方程的近似根、统计、概率、立体几何、解析几何、直线与 方程、圆与方程、线性规划等，都可以看到算法的影子；而在 选修课程 内容系列 1的“框图”，系列 3的“数学史选讲”和“信息安全与密码”，系

10、列 4的“数列与差分”、“初等数论初步”和“统筹法与图论初步”也都渗透了算法的思想 与其他数学知 识的结合是以后算法部分高考的出题方向，例如，2 0 0 9年高考 广东卷数学理科填空题的第 9 题就是算法与统计的结合算法初 步虽然只有 1 2课时左右，但算法的教学并不是随着 l 2 课时的 完成而结束，教师应在以后的教学中时刻向学生渗透算法思想，加深学生对算法的印象 教师在选择算法案例时，要注重数学内知识之间的联结，构建知识网络加强算法在其他数学模块中的应用，使学生在已 有知识的基础上逐步养成以算法思想去思考问题的意识，从而 提高学生如何利用算法去解决数学问题的能力，实现算法在高 中数学课程中

11、的价值为此我们提出，所选案例应以算法为载 体，有利于数学各部分知识之间的相互转化，注重加强算法与 其他知识的联系，优化学生原有的认知结构下面仅举两例说明 算法与微积分、初等数论初步的联系 例 3若 函数 厂()=：(0)，则由此函数、轴及直线=4围成的曲线图形的面积为 s，编写算法，计算 s 的近似值 分析：可将区间 0，4 分成 n等份，其中第k个等份是 f 4(生 二-1)，盟 1，这样将曲线图形的面 积近似地看作 个梯形 L n fL 】面 积 之和：S：lI f(k)+(一 1)，即S=了1 2 k 一 二k=f“厶k=1 2 后+1)-5所分的份数越多，近似值的精确度就越 高，从而

12、凡 越接近曲线 图形的面积 3 6 2 0 1 0 年 第1 2 期 中国 数学教育 算法分析：第一步：输入 n 第二步：计算 h=第三步：令 S=0，k=1 第四步：求 S=1 h(2 k 一2 k+1)+s 第 五步：k=k+1 第六步：若 kn，则返回第四步；否则，输出Js，结束算 法 案例分析：本案例算法列出后，通过对问题分析可知，随 着输入值 n的不断变大，所得的面积就更加精确，利用计算机 程序计算曲线图形的面积，体现了算法与微积分的结合，教师 还可以通过本案例的讲解，适-3扩展，培养学生以直代 曲、无 限趋近的极限思想，从而为以后微积分的学习奠定基础 四、重视算理的原则 高中的算法

13、初步并不是简单地讲解算法语言，而是重在算 理，算理是很朴素、很简洁的东西，其实质可理解为解决一个 问题的依据例如，求 1 +2 +n 的值，其算理主要就是数 列求和 在高中算法初步中，算理的主要表现形式就是框图，因 此，在算法教学中，我们的重中之重是如何将算理用框图来明 确表示，而不是对一个算法的好坏进行区别 正确地提炼出问题中所蕴含的“算理”，应用算法从已知推 导未知或用已知解释未知，合理运用算法的知识，提高解决问 题的效率所以，教师在选择教学案例时应以“算理”为基础，以算法思想为核心，以解决问题为 目的，不仅要重视“算则”，更应该重视“算理”所选问题在解决时具备如下过程：分析问 题一形成思

14、想一提炼算理一应用算理一解决问题 此类案例还可以渗透分类讨论思想、类比思想、归纳思想 例 4 一个数，若它与除自身外所有的约数和相等，那么称 这个数为完全数或者完美数，例如，6的除自身的约数有 1，2，3，并且 1+2+3=6，所以 6是一个完全数，设计一个算法，判断一个数是否为完全数 本算法看似简单，但学生往往因为对本例的算理分析不明 确，而导致写出如下的错误的算法程序 第一步：输入一个 自然数 第二步：求出 除自身外的所有约数 第三步：计算所有约数的和，将其记为s，若 s=，则输出 y e s；若 ，则输 出 n o，结束算 法 错误分 析：我们看 第二 步，求 出 除 自身外的所 有 约

15、数，但对于怎么求约数的步骤并没有明确写出，而第三步犯 了同样 的错误，没有写出如何计算所有约数的和，因此，要正确的写 出本例算法，就必须正确的分析算法的算理 下面以本算法为例说明算理 判断一个数是否为完全数的算 理可以分为两个部分 第部分依据求一个自然数 的约数(除 自身)，我们寻找的范围不必是 1 到，只需找出范围在 1 到 之间的所有的约数即可，这样可以提高算法的效率 第二部分就 是数列的求和，当我们找到 自然数 除 自身外所有的约数，接 下来就要计算这些约数的和，再与 进行比较，从而可判断出 自然数 是否为完全数而在书写算法时，最好不要先求出所有 约数之后，再进行求和，而是求出一个约数就

16、紧接着加上这个 约数，这样 可以减少再赋值 的过程 算法分析：第一步：输入一个 自然数 第二步：若=1，则输出n O，结束算法；否则进入第三步 第三步：令 m=0，i=1 第 四步：计算 x MO D i，若为 0，则计算 m=m+i，否则，进入第五步 第五步：i=i+1 第六步：若 i=2，则返回第四步，否则，进入第七步 第七步：判断若=t n，则输出y e s，否则输出n o，结束算法 案例 分析：通过本 案例 不难 看 出，在 书写算 法时，首先 必 须要明确算理，只有对算理进行正确的分析，才能保证算法的 书写正确，否则就会出现算法书写不具体的错误 所以，教师在 教学中有必要引导学生寻找

17、一个算法的算理，然后以此为依据，一步一步写 出正确的算法 五、算法的量力性原则 1 以数学 内容为基础 我们所说的算法，应该是数学课程中的算法，而非计算机 课程中的算法因此，教师在算法的教学上，必须注意保持算法 的尺度，高中算法的重点不是为了强调学习算法的基本语言和 如何将算法的程序框图转化成算法的语言，而是重在如何利用 算法解决数学问题有条件的学校，教师可以在计算机上进行适 当的演示，来说明算法在解决数学问题时所具有的优点，但不 要作为算法初步教学中的主旋律 因此教师要时刻以数学课程为背景，以算法为载体，在选 择教学案例时，不能一味地追求算法程序语言而背离数学内容，不要过多地加入计算机的内容

18、，否则，就未免有点本末倒置了 2 区别 学生认知结构的不 同 施万克(S c h w a n k)针对算法问题的解决做了一个实验，她 认为，偏向特征性认知结构的学生，在问题情境中进行活动时。优先 表述活动对 象之 间的静态关 系，分析 问题 时把重 点放在事 物的结构及其描述上，他们倾向于感受事物的准确性，对复杂 过程 的分 析、感 知能力 较弱；而偏 向功能性认 知 结构 的学生，很少 注意分析事 物间 的关 系及其结 构，对过程 有着清 晰的感受 能力，善于对作用原理进行思考 如果教师在算法教学时忽视了学生个人的认知结构差异，将直接导致部分学生无法领悟算法的思想 因此，教师在选择算 法案例

19、时既不能过于困难，又不能太简单如果案例过难，部分 学生不容易理解，可能会导致他们失去学习算法的信心；如果 过易，部分学生又会觉得索然无味，同样也会影响他们的学习 质量 所以，教师在面对丰富多彩的算法问题时，必须结合学生 原有的认知结构，以算法的程序化思想为核心，采取灵活多变 的策略，辩证地选择问题，设置更能符合多数学生认知水平的 中 国数学教育 2 0 1 0 年 第1 2 期3 7 案例 3 能够调动 学生的积极性 爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师”算法能否引起学生的关 注，既有学生主观方面的因素，也不能忽视教师客观的因素影 响 教师在选择算法案例时应做到立足高中数学课程标准，以算 法思想为

20、中心，所 选问题能够 引起学生 的兴 趣，调动学生 的积 极性，又不失算法教学的实际意义，从而提高学生主动参与学 习的主观意愿，进而培养学生的算法思想 教师在实际教学中，算法案例的选择，应该遵循以上原则，以算法思想为核心，以算理和学生的认知结构为基础，展示出 用算法的程序框图解决数学问题的魅力，体现算法贯穿高中数 学课程的价值，以培养学生逻辑思维能力和解决问题能力为目 的，只有这样选择 案例，才能使高 中算法初 步的教学效果事半 功倍 参考文献：1 波利亚怎样解题 M 上海：上海科技出版社，2 0 0 2：3 53 6 2 高上雄高中数 学新课程 中的算法思想及教 育价值 J 西北成人教 育学

21、报，2 0 0 7(1)：6 2 3 何小亚数学学与教的心理学 M 广州：华南理工大 学出版社，2 0 0 3：1 9，4 1 4 5，1 2 9 (上接第 1 8页)纳法原理的真正理解，而只是机械地运用两个步骤证明数学题，是不能真正体会到数学归纳法的魅力和作用的只有对数学归纳 法原理真正理解后，才会发出“数学归纳法只用有限的两步就 解决了无穷步的验证问题，真是太奇妙了”的感慨因此，如果 没有 对数 学归纳法原理 的真正理解，就不是真正 掌握 了数学 归 纳法根据以上 的理论分析，数学 归纳法第一节课“数 学归纳法 原理 的理解”就理应确定为教学重点 5 学情分析法(经验分析法)学情 分析法又

22、 叫经验分析法，是指教师根据 往届学生学 习 理解本节内容的困难程度或者根据知识本身的难易程度再结合 学生 的理解水平来 确定教学 的重、难点 这种方法主要用于确定 教学难点具体可根据难点 形成 的几个 方面来分析确 定例如，集合就是高一数学教学的难点 一是由于集合为原始概念，它不 是由已有的其他概念来定义的，因此学生头脑中没有可帮助其 理解集合的已有概念，从而造成学生对集合概念理解上的困难；二是集合涉及的知识面广，它涉及到所有初中数学知识，而许 多初中数学知识学生已经生疏和遗忘；三是集合有关的新概念 及相应新符号和术语较多，这些新概念、新符号还容易混淆，学生接受和理解都较困难所以，有关集合的

23、各个概念的含义以 及这些概念相互之间的区别就是本章教学的难点 确定教学重、难点除了掌握以上方法以外，还要求教师要 具有扎实的数学专业知识与技能以及一定的数学教育理论否则 即使掌握了以上方法也不一定能准确确定教学重点 例如，有些 教师都把数学 归纳法第一 节课的重点确 定为“数学 归纳法 的定 4 郝 宁湘构造 性数 学与其哲 学意义 1 J 自然辨证法通 讯，1 9 9 7(3)：2 2 5 李亚玲算法及其学习的意义 J 数学通报。2 0 0 4 (2)：7 6 施 良方学习论 M 北京：人民教育出版社，2 0 0 1：1 76 1 7 7 7 汤服成，黄河清高中数学课程实施与案例分析 M 桂

24、林：广西师范大学出版社，2 0 0 7：1 4 6 1 5 5 8 王林全，刘美伦，张安广高中数学课程实验与探索(下册)M 北京：高等教育出版社，2 0 0 4：2 3 2 4 9 王 尚志，张思明 走进 高中数 学新课程 M 上 海：华东 师 范大学 出版社，2 0 0 8：l 1 6 1 1 7 1 0 王 尚志，张饴 慈理解 与实践 高中数 学新课 程 与 高中数 学教 师 的对 话 M 北 京：高等 教 育 出版 社 2 0 0 7：4 3 1 1 徐斌艳学生算法概念建构中的认知结构研究 M 上 海：华东师范大学出版社，2 0 0 3：3 3 1 2 徐 利治，郑毓 信算法化原则与数

25、学教育 J 数 学传 播，1 9 9 7(2)：2 1 1 3 叶尧城高中数学课程标准教师读本 M 武汉：华 中师范大学 出版社，2 0 0 3：4 1 义”或“数学 归纳法 的概 念”这里 的错误 是把 数学 中概念 的“定义”和“名称”混 淆定义是对 数学概念 本质属性 的概括，它是对 数学概念 而言的名称 则是数 学事实(概念、公 理、定 理、公式、法则、思想、方法、规律等)的名字(叫法)例如，“圆”是圆这一概念的名称，而“圆是 到一 定点 的距离等于定长 的点 的轨迹”是 圆这一概 念的定义，它是对 圆的本质属 性“到 一定点的距离等于定长”的概括 数学归纳法不是一个数学概 念，而是一

26、种数学证明方法的名称，这一点教材有明确的说明 人教大纲高中数学教材第三册(选修 I I)中明确指出：“这种证 明的方法叫做数学归纳法”而方法的教学属于规则学习或程序 性 知识 的学 习，它与概念 学习有着 不 同的学习方法 和策略因 此，教学 中对这种知识教学 的途径和方法也就迥然不同由于对 概念 的含义没有弄清，因此，导致在谈 如何突 出重 点时有的教 师就这样说：“本节课突出重点的方法为认真分析数学归纳法的 概念，剖析清楚其内涵与外延并对关键词进行认真分析”，从而 严重地影响了本节课 的教学效果 参考文献：1 王光明 数学教学效率论(理论篇)M 天津：新蕾出 版 社。2 0 0 6 2 王富英，马岷兴 数学文化教育及其结构 J 数学通 报，2 0 0 8(7)3 张大均 教学心理学 M 重庆：西南师范大学出版社，】9 97 2 0 1 0年 第 1 2期 中 国 数 学 教 育