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1、4.5.1.4.5.1.矩、偏态、峰态矩、偏态、峰态定义定义4.6 设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量(1)若)若存在,则称它为存在,则称它为X的的k阶原点阶原点矩矩,记为,记为(2)若)若存在,则称它为存在,则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩,记为,记为(3)若)若存在,存在,则称它为则称它为k+l阶混合中心矩阶混合中心矩。由定义可知,由定义可知,X的数学期望的数学期望E(X)就是就是X的一阶原的一阶原点矩,方差点矩,方差D(X)是是X的二阶中心矩,而的二阶中心矩,而(X,Y)的的协方差协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩。是二阶混合中心矩。例例1 设随机变量设随机变量X服从正态分布服从
2、正态分布中心矩中心矩求它的求它的解解已知,已知,因此因此令令则则此广义积分绝对此广义积分绝对 收敛。当收敛。当k为奇数时为奇数时当当k为偶数时,令为偶数时,令则则特别,当特别,当k=4时时 不难知道,如果随机变量的概率分布关于期望值不难知道,如果随机变量的概率分布关于期望值是对称的,则它的一切奇数阶中心矩都等于零。是对称的,则它的一切奇数阶中心矩都等于零。四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度,通四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度,通常用常用 来度量分布的尖峭程度,称来度量分布的尖峭程度,称它为它为峰态系数峰态系数,简称为,简称为峰态峰态。正态分布的偏态和峰。正态分布的偏态和峰态都等于
3、零。态都等于零。一般地,奇数阶中心矩可以描述随机变量分布一般地,奇数阶中心矩可以描述随机变量分布的非对称性。通常用的非对称性。通常用 来度量随机来度量随机变量分布的非对称性,称它为变量分布的非对称性,称它为偏态系数偏态系数,简称,简称为为偏态偏态。4.5.2.协方差矩阵协方差矩阵定义定义4.7 设设 是是n维随机变量,若维随机变量,若存在,记存在,记则称矩阵则称矩阵为为n维随机变量维随机变量X的协方差矩阵的协方差矩阵 显然,协方差矩阵是一个对称矩阵,而且,它是显然,协方差矩阵是一个对称矩阵,而且,它是半正定矩阵,当半正定矩阵,当i0(i=1,2,n)时它是正定矩阵时它是正定矩阵。对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)的协方差矩阵为的协方差矩阵为例例2 设设试求其协方差矩阵。试求其协方差矩阵。解解 已经求得已经求得 于是于是例例3 设设解解 由协方差的定义可知由协方差的定义可知