弹性力学平面问题有限元法精选PPT.ppt

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1、弹性力学平面问题有限元法第1页，此课件共59页哦材料力学主要研究杆、梁、柱结构力学主要研究杆系（或梁系）弹性力学主要研究实体和板得受力和变形弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变、变形和平衡关系。第2页，此课件共59页哦线性：（非线性）结构的应力与应变的关系（本构关系）呈线性变化。弹性：（塑性）结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。静力分析：（动态分析）结构所受外力是不随时间变化的恒力。第3页，此课件共59页哦一、弹性力学中的物理量载荷、应力、应变、位移1.1.载荷载荷 载荷是外界作用在弹性体上的

2、力，又称为外力。它包括体力、面力和集中力三种形式。体力是分布于整个弹性体体积内的外力，如重力和惯性力。在弹性体内任一点，单位体积的体力用 表示，它可分解为给定坐标系x、y和z三个坐标轴上的投影 、，称为体力分量。面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。如果外力作用面很小，或者说外力作用在某一点上，则这种外力称为集中力。第4页，此课件共59页哦q无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正以正标向为正标向为正标向为正标向为正，且，且斜面上的面力斜面上的面力斜面上的面力斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用是以单位斜面面积上的作用力数值来表示

3、。力数值来表示。第5页，此课件共59页哦 内力内力求解方法：截面法求解方法：截面法定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。第6页，此课件共59页哦oxyzPmn矢量矢量 方向沿方向沿 的极限方向的极限方向量纲：量纲：2.2.应力应力:内力集度。反映内力分布情况（应力场）内力集度。反映内力分布情况（应力场）沿截面切向和法沿截面切向和法向分解为向分解为 和和第7页，此课件共59页哦 应力的两种不同分解方法应力的两种不同分解方法a)a)沿坐标轴分解沿坐标轴分解b)b)沿截面法向和切

4、向分解沿截面法向和切向分解除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正应力应力 和切应力和切应力 ，因为与物体，因为与物体形变形变形变形变和和和和材料强材料强度度度度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和之间相关的是应力在其作用截面的

5、法线方向和切线方向的分量。切线方向的分量。切线方向的分量。切线方向的分量。第8页，此课件共59页哦oxyzt tyz syt tyx s szt tzy t tzx t txy s sx t txz PA BC第9页，此课件共59页哦正六面单元体的取法正六面单元体的取法v经过物体内任一点如经过物体内任一点如P P点取出一个微小的正六面点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为：为：。将每个面上的应力分。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个

6、切应力。正应力用解为一个正应力和两个切应力。正应力用解为一个正应力和两个切应力。正应力用解为一个正应力和两个切应力。正应力用 表表表表 示，切应力用示，切应力用 表示。表示。v应力下标的含意：应力下标的含意：A.A.A.A.作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向B.B.B.B.力的指向力的指向力的指向力的指向A.A.A.A.作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向作用面的外法线方向B.B.B.B.力的指向力的指向力的指向力的指向第10页，此课件共59页哦 在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然成在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存

7、在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，方对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。向共同指向或背离这一交线。oxyzt tyx t txy t tzxt txzt tzyt tyz弹力规定弹力规定材力规定材力规定 切应力互等定理切应力互等定理第11页，此课件共59页哦3.3.形变形变定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变）定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变）线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。记号：记号：正负：伸长为正，压缩为负正负：伸

8、长为正，压缩为负切应变切应变切应变切应变(剪应变剪应变剪应变剪应变)：两方向线段夹角的改变。：两方向线段夹角的改变。：两方向线段夹角的改变。：两方向线段夹角的改变。记号：记号：(以弧而非角度表示以弧而非角度表示以弧而非角度表示以弧而非角度表示)正负：直角变小为正，变大为负正负：直角变小为正，变大为负正负：直角变小为正，变大为负正负：直角变小为正，变大为负第12页，此课件共59页哦q同一点的应力状态情况一样，可证明，在物体内任意一同一点的应力状态情况一样，可证明，在物体内任意一点，若已知点，若已知 、，即可求得经过该，即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故点的任意截面上

9、（方向余弦已知）的正应变和切应变。故这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。v一点的形变状态的概念一点的形变状态的概念q几何规律几何规律：过空间一点有无数根直线。：过空间一点有无数根直线。：过空间一点有无数根直线。：过空间一点有无数根直线。q力学特点力学特点力学特点力学特点：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同；：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同；任两根直线之间夹角的改变也不相同。任两根直线之间夹角的改变也不相同。任两根直线之间夹角的改变也不相同。任两根直线之间夹角的改变也不相同。第13页，此课件共59页哦4.4.位移位移定义：位置的改变。定义：位置

10、的改变。定义：位置的改变。定义：位置的改变。记号：记号：、正负正负正负正负：沿坐标轴正向为正，负向为负。：沿坐标轴正向为正，负向为负。分类分类:与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移）与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移）第14页，此课件共59页哦二、弹性力学基本方程 弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力、应变、位移以及外力之间的关系，它包括平衡方程、几何方程和物理方程三类。1.平衡方程（应力和体力之间关系）平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它说明六个应力分量不是独立的，它们通过三个平衡方程相互联系。应力和体力在三个坐标方向上满足一下平衡方程在X方向有第15页，此课件共59页哦2

11、.几何方程（几何量位移和应变）第16页，此课件共59页哦3.物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关）从从静力学静力学静力学静力学角度导出了平衡微分方程和静力边界条件；从角度导出了平衡微分方程和静力边界条件；从几几何学何学角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导过程中并角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导过程中并没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这些方程适用于没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这些方程适用于一切连续介质。一切连续介质。从从物理学物理学物理学物理学的角度分析可知，不同材料的弹性体其应力应的角度分析可知，不同材料的弹性体其应力应变关系即本构关系是不同的，对于对

12、于理想弹性体，在小变变关系即本构关系是不同的，对于对于理想弹性体，在小变形情况下，应力应变关系服从形情况下，应力应变关系服从广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律第17页，此课件共59页哦物理方程的表达形式物理方程的表达形式物理方程的表达形式物理方程的表达形式以应力表示应变以应力表示应变以应变表示应力以应变表示应力第18页，此课件共59页哦为材料的弹性模量；为材料的弹性模量；为材料的弹性模量；为材料的弹性模量；为材料的切变弹性模量为材料的切变弹性模量为材料的切变弹性模量为材料的切变弹性模量为泊松比为泊松比为泊松比为泊松比 由上可见，三类基本方程中包括由上可见，三类基本方程中包括由上可

13、见，三类基本方程中包括由上可见，三类基本方程中包括1515个方程，含个方程，含个方程，含个方程，含6 6个应力分量、个应力分量、个应力分量、个应力分量、6 6个应变分量和个应变分量和个应变分量和个应变分量和3 3个位移分量共个位移分量共个位移分量共个位移分量共1515个未知量。个未知量。个未知量。个未知量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。（称为基本未知量），再通过基本方程

14、求出其他未知量。（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。位移法位移法位移法位移法、应力法、混合法、应力法、混合法、应力法、混合法、应力法、混合法选取基本未知量不同选取基本未知量不同选取基本未知量不同选取基本未知量不同第19页，此课件共59页哦1.1.平面应力问题平面应力问题zyyxo四、平面问题工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的内燃机的飞轮、轧机的

15、机架和齿宽较小的内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的直齿圆柱齿轮等直齿圆柱齿轮等直齿圆柱齿轮等直齿圆柱齿轮等第20页，此课件共59页哦条件条件 a)a)弹性体是等厚的薄板（沿弹性体是等厚的薄板（沿 向等厚度向等厚度 ），厚度），厚度尺寸远远小于截面尺寸，尺寸远远小于截面尺寸，t tL/15；b)b)体力、面力和约束都只有体力、面力和约束都只有 平面内的量即平面内的量即 ,且都不沿且都不沿 向变化；向变化；第21页，此课件共59页哦应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上 没任何面力和约束的作用。没任何面力和约束的作用。应力边界应力边界为：为：板很薄，

16、外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度板很薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度方向连续分布，故可认为所有各点：方向连续分布，故可认为所有各点：第22页，此课件共59页哦由切应力互等定律得：由切应力互等定律得：只有平行于只有平行于 面的平面应力分量面的平面应力分量平面应力平面应力由于物体形状、外力和约束沿由于物体形状、外力和约束沿 向均不变化，应向均不变化，应力分量和应变分量均只是力分量和应变分量均只是 的函数；从几何的函数；从几何方程积分求位移可知位移与方程积分求位移可知位移与 有关。有关。第23页，此课件共59页哦v平面应力问题平面应力问题只有平面应力分量只有平面应力分量 、和和 ，且仅为，且

17、仅为 的函数的弹性力学问题的函数的弹性力学问题第24页，此课件共59页哦物理方程物理方程几何方程几何方程几何方程几何方程物理方程物理方程物理方程物理方程式中式中式中式中 称为平面应力问题的弹性矩阵称为平面应力问题的弹性矩阵称为平面应力问题的弹性矩阵称为平面应力问题的弹性矩阵 第25页，此课件共59页哦2)2)平面应变问题平面应变问题zoyxxyz工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、受内压管道、齿宽较大的直齿轮等受内压管道、齿宽较大的直齿轮等受内压管道、齿宽较大的直

18、齿轮等受内压管道、齿宽较大的直齿轮等第26页，此课件共59页哦条件条件a)a)弹性体为常截面的很长柱体。弹性体为常截面的很长柱体。b)b)体力、面力和约束都只有体力、面力和约束都只有 平面内的量平面内的量 ,且都不沿且都不沿 向变化；向变化；假想柱体无限长，则任一假想柱体无限长，则任一 截面均为对称面，即截面均为对称面，即 ，只有平面位移，只有平面位移 和和 存在，即平面位移。存在，即平面位移。由于截面形状、外力和约束沿由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位向均不变化，位移分量只是移分量只是 的函数的函数.第27页，此课件共59页哦假想柱体无限长，则任一假想柱体无限长，则任一 截面均为对称

19、面，即截面均为对称面，即 ，只有平面位移，只有平面位移 和和 存在，即平面位移。存在，即平面位移。由于截面形状、外力和约束沿由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位向均不变化，位移分量只是移分量只是 的函数的函数.第28页，此课件共59页哦只有平行于只有平行于 面的平面应变分量面的平面应变分量平面应变平面应变q从数学和几何学角度推导从数学和几何学角度推导第29页，此课件共59页哦由对称性由对称性(对称结构承受对称荷载，反对称力为对称结构承受对称荷载，反对称力为 零零)可知：可知：由胡克定律可知：由胡克定律可知：由剪切互等定律可知：由剪切互等定律可知：q从力学角度推导从力学角度推导第30页，此

20、课件共59页哦v平面应变问题平面应变问题只有平面应变分量只有平面应变分量 、和和 ，且仅为，且仅为 的函数的弹性力学问题的函数的弹性力学问题第31页，此课件共59页哦 可直接由可直接由 计算得到，故不作为独立的计算得到，故不作为独立的未知量。未知量。的存在说明了沿的存在说明了沿 向无限长的柱体的假设限向无限长的柱体的假设限制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于 轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压应轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压应力力 。物理方程物理方程第32页，此课件共59页哦物理方程物理方程物理方程物理方程物理方程物理方程

21、式中式中式中式中 称为平面应变问题的弹性矩阵称为平面应变问题的弹性矩阵称为平面应变问题的弹性矩阵称为平面应变问题的弹性矩阵 第33页，此课件共59页哦名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位位 移移应应 变变 应应 力力外外 力力体力、面力的作用面平体力、面力的作用面平行行 面，沿板厚面，沿板厚均布且只作用于板边。均布且只作用于板边。体力、面力的作用面平行体力、面力的作用面平行于于 面，外力沿面，外力沿 轴无变化。轴无变化。形形 状状 向尺寸远小于板面向尺寸远小于板面尺寸（等厚薄平板）尺寸（等厚薄平板）向尺寸远大于向尺寸远大于

22、 平平面内的尺寸（等截面长柱面内的尺寸（等截面长柱体）体）第34页，此课件共59页哦3-2 平面问题的有限元模型平面问题的有限元模型连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原来连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变形，是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变形，这时也可能出现非均匀变形。这时也可能出现非均匀变形。选择选择适当的单元位移插值函数适当的单元位移插值函数来限制单元的变形，使得连续体来限制单元的变形，使得连续体尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限个节点处相连，但尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限个节点处

23、相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求。模型仍然能够部分满足连续性的要求。第35页，此课件共59页哦位移插值函数应注意满足以下几个条件位移插值函数应注意满足以下几个条件（1）包括常数项（反映单元发生的整体移动）包括常数项（反映单元发生的整体移动）（2）包括一次项（反应发生的常应变）包括一次项（反应发生的常应变）（3）尽量保证位移的连续性）尽量保证位移的连续性 使位移函数满足上述三个条件的目的就是要满足有限元使位移函数满足上述三个条件的目的就是要满足有限元解的收敛性，即当单元尺寸逐渐缩小时，有限元解收敛于解的收敛性，即当单元尺寸逐渐缩小时，有限元解收敛于实际问题的精确解。在单元边界上其值能由节

24、点函数值唯实际问题的精确解。在单元边界上其值能由节点函数值唯一确定。一确定。（4）几何各向同性（单元的位移分布不应与人为选取的坐标）几何各向同性（单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关，即位移函数中坐标方位有关，即位移函数中坐标x,y应该是能够互换的）应该是能够互换的）第36页，此课件共59页哦3-3 平面问题的三角形单元求解平面问题的三角形单元求解 第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量mjFxiFyiiuv(x,y)oyx三角 形三节点单元u1v1第37页，此课件共59页哦第二步：选择适当的位移插值函数第二步：选择适当的

25、位移插值函数 多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。三节多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。三节点三角形单元有点三角形单元有6个自由度，可以确定个自由度，可以确定6个待定系数。个待定系数。（49）第38页，此课件共59页哦这一步的目的是求出待定系数。这一步的目的是求出待定系数。第三步：第三步：求单元中任一点位移求单元中任一点位移与节点位移与节点位移的关系的关系由于节点由于节点i、j、m在单元上，它们的位移自然也就满足在单元上，它们的位移自然也就满足位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得：位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入

26、式中，得：第39页，此课件共59页哦上式共有上式共有6个方程，可以求出个方程，可以求出6个待定系数。根据个待定系数。根据Gramer法则，法则，求出各待定系数求出各待定系数其中，节点的坐标值是已知的，令其中，节点的坐标值是已知的，令为三角形单元的面积。为三角形单元的面积。第40页，此课件共59页哦用节点坐标和节点位移表示的位移函数为用节点坐标和节点位移表示的位移函数为形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。其中，其中，第41页，此课件共59页哦以矩阵表示为以矩阵表示为 上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了

27、节点位移，就可通上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通过形函数插值求出单元内任意一点的位移。过形函数插值求出单元内任意一点的位移。其中，其中，称为形函数矩阵；称为形函数矩阵；为单元节点位移列阵。为单元节点位移列阵。第42页，此课件共59页哦第四步：第四步：求单元应变求单元应变单元位移单元位移节点位移之间的关系节点位移之间的关系第43页，此课件共59页哦第五步：第五步：求应力求应力应变应变节点位移之间的关系节点位移之间的关系由物理方程，由物理方程，第44页，此课件共59页哦第六步：第六步：求节点力与节点位移之间的关系求节点力与节点位移之间的关系按节点号叠加单元刚度矩阵元素

28、可得到结构总体刚阵，再引入一定的边界条件按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是第45页，此课件共59页哦第七步：第七步：单元应力与节点位移的关系单元应力与节点位移的关系第46页，此课件共59页哦二、约束条件处理二、约束条件处理1、置大数法、置大数法总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小

29、。但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵F中对应的分中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移，而其余各行保持不变量置为大数乘以已知的节点位移，而其余各行保持不变第47页，此课件共59页哦2、置、置1赋赋0法法将总刚度矩阵中给定位移将总刚度矩阵中给定位移a 分量所对应行和列的主对角元素置为分量所对应行和列的主对角元素置为1，而其他元素皆变为而其他元素皆变为0。在节点载荷列阵中，将零位移分量所对应

30、。在节点载荷列阵中，将零位移分量所对应的节点载荷也变为的节点载荷也变为a。第48页，此课件共59页哦六节点三角形单元六节点三角形单元三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。3-5 六节点三角形单元和矩形单元六节点三角形单元和矩形单元631452第49页，此课件共59页哦四节点矩形单元四节点矩形单元y0第50页，此课件共59页哦的物理意义是：当节点i在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时，单元内的位移分布形

31、状。形函数具有以下三条性质：（1）在i节点上的值为1，而在其他节点处为零，即（2）在单元的任一点处，三个形函数之和等于1，即（3）单元每一条边的形函数只与该边上的节点位置有关，而与其他节点的位置无关。例如在边i，j上，有第51页，此课件共59页哦三角形cjm的面积三角形ijm的面积C是三角形jim中的任意一点第52页，此课件共59页哦ANSYS 算例 3-1第53页，此课件共59页哦这是一个直角这是一个直角这是一个直角这是一个直角支架的支架的支架的支架的结构静结构静结构静结构静力分析力分析力分析力分析的例子的例子的例子的例子左侧小孔固定左侧小孔固定右侧小孔下侧受右侧小孔下侧受 压力作用压力作用第54页，此课件共59页哦ANSYSANSYS中支架中支架计算模型计算模型第55页，此课件共59页哦ANSYSANSYS中计算中计算模型的网格划模型的网格划分图分图第56页，此课件共59页哦计算得出的计算得出的支架变形图支架变形图第57页，此课件共59页哦支架应力支架应力彩图彩图第58页，此课件共59页哦支架变形的支架变形的动画图动画图第59页，此课件共59页哦