《按行按列展开》PPT课件.ppt

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1、四、按行按列展开定理四、按行按列展开定理1.余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行

2、列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即证证2、行列式按行（列）展开法则、行列式按行（列）展开法则例如例如推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例2行列式计算方法：行列式计算方法：解解例例3计算计算(1

3、)用提取公因子法计算用提取公因子法计算 证证用数学归纳法用数学归纳法例例3证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式例例计算计算例例4 计算下列行列式计算下列行列式3.3.按行按列第二展开定理按行按列第二展开定理 Def1:k阶子式阶子式位于交叉处位于交叉处Nn阶行列式中任选阶行列式中任选k行行k列列,的元素按原位置所构成的的元素按原位置所构成的k阶行列式阶行列式Def2:k阶子式的余子式阶子式的余子式M阶子式所在的行、列阶子式所在的行、列划去划去k后余下的元素按原位置构成的后余下的元素按原位置构成的n-k阶行列式阶行列式Def3:k阶子式的代数余子式为阶子式的代数余子式为MkkjjjiiiLL+-2121)1(子式所在的列号子式所在的列号阶阶为为阶子式所在的行号阶子式所在的行号为为其中其中kjjjkiiikkLL2121,例例3 3证明证明 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成