八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差学案.pdf

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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料12.3 乘法公式1两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和 与这 两数差 的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2所以，我们把这个公式叫作 平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(+)()=22.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2b2.若把小长方形旋转到小长方形的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S+SS+S（a+b）（ab），从而验证了平方差公式（a+b）（ab）a2b2.2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项

2、完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a 与 b 可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点 1：直接应用平方差公式例 1、计算：)421)(214(22xx【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x，另外一项21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式【解】)421)(214(22xx=4116)21()4(4222xx【方法归纳】将两个括号内的相同项24x看作，符号相反的项21与21看作，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y 2x)(2xy).知识点 2：连用平方差公式化简例 2、化简：22448

3、8xyxyxyxyxy.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到22xy，它与第三项22xy又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式=22224488xyxyxyxy=444488xyxyxy=88881616.xyxyxy推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习：计算：)()()()(884422bababababa知识点 3：分组后运用平方差公式例 3、计算:(2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就

4、可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a 3)(2a 5)=(2a+3)(2a 3)(3a+5)(3a 5)=(4a2-9)(9a225)=36a4181a2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x2+4)(x 2).知识点 4：添项后运用平方差公式例 4计算；1)12)(12)(12)(12(842【解题思路】本题若添上一个因式“”后，则可以连续四次运用平方差公式计算【解】原式1)12)(12)(12)(12)(12(8421)12)(12)(12)(12(84221)12)(12)(12(

5、84416168821121)12)(12(【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算对应练习：某同学在计算)14)(14(32时，把3写成14后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：2551161)4()14)(14()14)(14)(14()14)(14(32222222.请借鉴该同学的经验，计算：1584221)211)(211)(211)(211(.知识点 5：逆用平方差公式例 5计算：22)43()32(abba【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32ba”与“ab43”分别视为平方差公式

6、中的a、b，逆用平方差公式，则运算简便解：22)43()32(abbaabaabaabbaabba4126322433243322.【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料对应练习：计算：22221011411311211.知识点 6：变形后运用平方差公式例 6.计算293.【解题思路】注意到93 接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7 巧构平方差公式便可实现简算.【解】864949860077937939322.【方法归纳】公式22bababa可以变形为22bbabaa.对应练习：计算：298知识点

7、7：拆项变形后使用例 7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=(x-2)-(y-3)(x-2)+(y-3)=(x-2)2-(y-3)2=x2-4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.对应练习：3232baba易错警示例 8、计算：(2x+3)(2y-3).错解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9.错

8、解分析：(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算正解：(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9.例 9、(2x+9)(2x-9).错解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9.错解分析：(2x+9)(2x-9)应等于 2x与 9 的平方差，即(2x)2-92，错解中没有把第二项9 平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误正解：(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81.例 10、(a3-8)(a3+8).错解：(a3-8)(a3+8)=a9-64.错解分析：(a3-8)(

9、a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2a9.正解：(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64.例 11、(-2a-7)(2a-7)错解：(-2a-7)(2a-7)4a2-49.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料错解分析：(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a-7)(2a-7)(-2a)2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即：(-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a)=(-7)2-(2a)2或(-2a-7)(2a-7)

10、=(2a+7)(2a-7)=(2a)2-72 正解：(-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a)=(-7)2-(2a)2=49-4a2课堂练习评测知识点 1：平方差公式1、在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形()ab（如图 1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是（用字母表示）2、已知2ab，则224abb的值是3、下列计算中，错误的有（）（3a+4）（3a 4）=9a24；（2a2b）（2a2+b）=4a2b2；（3x）（x+3）=x29；（x+y）（x+y）=（x y）（x+y）=x2y2A1 个

11、 B2 个 C3 个 D4 个知识点 2：平方差公式的实际应用4、一个长方形的面积是(x29)平方米，其长为(x 3)米，用含有x 的整式表示它的宽为_米.知识点 3：平方差公式的运用5、计算：2221123443mnnm;6、计算：(3x-2y)(9x2+4y2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=_;(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_.(4)指数变化:(a2+b3)(a2-b3)=_.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_;(6)连用公

12、式:(a+b)(a-b)(a2+b2)=_.课后作业练习基础训练一、填空题1、)2)(2(yy_.2、)2)(2(yxyx_.3、)3121)(3121(baba_.4、)(22xaxa_.5、)()(22bababa_.6、)(yxyx_.7、)()(yxyxyxyx_.8、xy(_）xy(_）81122yx.二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（）A)22)(2(baba;B)2)(2(abba;C)2)(2(baba;D)2)(2(baab.10、下列各式中，运算结果是223625yx的是（）A)56)(56(xyxy;B)56)(65(xyyx;C)56)(56(xyx

13、y;D)65)(65(yxyx.11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是()A.x-(2y+1)2 B.x-(2y-1)x+(2y-1)C.(x-2y)+1(x-2y)-1 D.x+(2y+1)2三、解答题12、计算)2)(2()(nmnmnmnm.13、先化简后求值2),2)(2()2)(2(22xxxxx.提高训练14、解方程4)2()1)(1(2xxxx.15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料16、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2

14、a-3)cm,那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a2+9b2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?12.3.1对应练习答案：1.解：原式=(2x)+y(2x)y=(2x)2y2=4x2y2.2.解：原 式)()()()()(88444488442222bababababababa16168888)(bababa3.解：原式=(x+2)(x 2)(x2+4)=(x24)(x2+4)=x416.4.答案：2 5.解：原式=1011101141141131131121121110910114345323421232011.6.解：96

15、044960022982989822.7.答案：96422bba.课堂作业练习参考答案：1、答案：22ababab2、答案：43、答案：D4、答案：（3x）5、解:原式=22224211134916mnmn.6、解:原式=(3x-2y)(-3x-2y)(9x2+4y2)=(4y2-9x2)(9x2+4y2)=16y4-81x47、(1)a2-b2 (2)b2-a2 (3)4a2-9b2 (4)a4-b6 (5)(a-c)2-4b2=a2-2ac+c2-4b2(6)a4-b4课后作业练习参考答案：推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料18：24y；224yx；229141ba；24ax；44b

16、a；22xy；0；91,91.9、D；10、A；11、D 12、23n；13、化简结果为24xx，求值结果为12；14、5.2x15、解:由题意得:M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y)=(-4x)2-(3y)2-(16x2-18xy+24xy-27y2)=16x2-9y2-16x2-6xy+27y2=18y2-6xy.16、解:这块菜地的面积为:(2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a2-9(cm2)17、解:游泳池的容积是:(4a2+9b2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2(4a2+9b2)=(4a2-9b2)(4a2+9b2)=(4a2)2-(9b2)2=16a4-81b4(米3)