八年级数学下册专题突破讲练巧用勾股定理解决几何问题试题(新版)青岛版.pdf

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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料巧用勾股定理解决几何问题一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1.构造直角三角形根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。如：在 ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角形ABC的面积。答案：12。2.利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。（1）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用如：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为 DG，则 AG的长为多少？答案：3。（2）求折断物体长度时，使用方程如：一根竹子高10 尺，折断后竹子顶端

2、落在离竹子底端3 尺处，折断处离地面高度是多少？答案：9120尺。3.分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。如：已知一个直角三角形的两边长是3cm和4cm，求第三边的长。推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案：5cm或7cm。4.数形结合思想几何与代数问题的综合。如：在一棵树的5 米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树10 米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？答案：7.5 米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1.含有 30角的直角三角形（1）30角所对的直角边是斜边的一半；（2）60角所对的

3、直角边是30角所对直角边的3倍。2.等边三角形高等于边长的23倍。总结：（1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。（2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。例题A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3A1B，垂足为A3，A3A4A2B，垂足为A4，A4A5A3B，垂足为 A5，An+1An+2AnB，垂足为 An+2，则线段 An+1An+2（n 为自然数）的长为（）A.na2 B.1)2(na C.2a D.na2推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料解析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及 A3A4的长，

4、找出规律即可解答答案：A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3A1B，A1B=22aa=a2，A1A2B是等腰直角三角形，A2A3=A1A3=21A1B=22a=12a，同 理，A2A3B是 等 腰 直 角 三 角 形，A2A3=A3B=22a，A3A4A2B，A2B=a，A3A4=A2A4=21A1B=2a22a，线段 An+1An+2（n 为自然数）的长为na2故选 A。点拨：规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A2A3及 A3A4的长，并找出规律分类讨论求值近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查同学们的

5、数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。例题在 ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，则边 BC的长是（）A.14 B.4 C.14或 4 D.56解析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD、CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD 答案：解：（1）如图，锐角ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高 AD=12，在 RtAB

6、D中 AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则 BD=5，在 RtACD中 AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则 CD=9，故 BC的长为 BD+DC=9+5=14；（2）钝角 ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高 AD=12，在 RtABD中 AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则 BD=5，在 RtACD中 AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则 CD=9，故 BC的长为 DC-BD=9-5=

7、4 综上可得BC的长为 14 或 4故选 C推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（1）（2）生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理。例题某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a=6 米，b=8 米现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b 为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（）米A.32 或 20+45B.32 或 36 或380C.32 或380或 20+45 D.32或 36 或380或 20+45解析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是ABD，则应分为 AB=AD，AD=BD 两种情况进行讨论答案：解：如

8、图所示：在 RtABC中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，如图 1，当 AB=AD 时，DC=BC=6m，此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m）；如图 2：当 AD=BD 时，设 AD=BD=x（m）；Rt ACD 中，BD=x（m），CD=（x-6）m；由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即（x-6）2+82=x2，解得 x=325；此时等腰三角形绿地的周长=3252+10=380（m）当 AB=BD 时，在 RtACD中，AD=22CDAC=22)610(8=45，等腰三角形绿地的周长=210+45=20+45（m）故选 C（答题时间：45 分钟）一、选择题1.观

9、察以下几组勾股数，并寻找规律：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；，根据以上规律的第组勾股数是（）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料A.14、48、49 B.16、12、20 C.16、63、65 D.16、30、34 2.如图，一个长为10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么梯子的底端的滑动距离（）A.等于 1 米 B.大于 1 米 C.小于 1 米 D.不能确定*3.已知 ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以RtABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰Rt ACD，再以 RtACD的斜边 AD为直角边，

10、画第三个等腰RtADE，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是（）A.n2cm B.12ncm C.2ncm D.12ncm*4.如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1 的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到 A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A.5 S6 B.6 S7 C.7S8 D.8S9*5.如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D、E 在 BC上，且 DAE=45，现将 ACE绕点 A旋转至 ABE 处，连接 DE 和 EE，则下列结论中 AB DE ADE=BAE AEE 是等腰直角三角形AD EE BD2+CE2=DE2正确的有（）A.1 个 B.2个 C.3个 D.4

11、个二、填空题：*6.如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为 500m推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料和 700m，且 C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走 m*7.如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45降至30已知滑梯AB的长为 3m，点 D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是 m*8.勾股定理是初等几何中的一个基本定理这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的

12、每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边 DA、AB、BC、CD上若正方形ABCD的面积=16，AE=1；则正方形EFGH的面积=*9.图（1）是一个面积为1 的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第 2 次“生长”后变成图（3），经过第 3 次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这

13、一规律求：经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为 _，经过第10 次“生长”后，图中所有正方形的面积和为：三、解答题：*10.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料正方形 ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2的值是多少？*11.已知：如图，点O是等腰直角ABC斜边 AB的中点，D为 BC边上任意一点操作：在图中作OE OD交 AC于 E，连接 DE 探究 OD、BD、

14、CD三条线段之间有何等量关系？请探究说明*12.如图，平面直角坐标系xoy 中，A（1，0）、B（0，1），ABO的 平分线交 x 轴于一点 D（1）求 D点的坐标；（2）如图所示，A、B两点在 x 轴、y 轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足 MON=45，下列结论BM+AN=MN，BM2+AN2=MN2，其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论（1）（2）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料1.C 解析：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，故可得第组勾股数是16，

15、63，65故选 C2.B 解析：如图，AC=EF=10米，AB=8米，AE=1米，求 CF；B=90，由勾股定理得，BC=6米，又 AE=1米，BE=7米，EF=10米，由勾股定理得，BF=51米，5149，即517，51-6 1故选 B3.B 解析：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的2倍，第二个（也就是ACD）的斜边长：12=2；第三个，直角边是第一个的斜边长，所以它的斜边长：22=（2）2；第n 个，直角边是第（n-1）个的斜边长，其斜边长为：（2）n-1故选 B 4.B解析：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S=5+2211=5+2即 6 S 7 故选 B5.D 解析：（1）ABC 是

16、等腰直角三角形，BAC=90，ABC=C=45，ADE=ABC+BAD，BAE=DAE+BAD，DAE=45，ADE=BAE；正确。（2）ACE绕点 A旋转至 ABE 处，AE=AE，EAC=E AB，BAC=90，E AB+BAE=90，EAB+BAE=90，AEE 是等腰直角三角形；正确。（3）DAE=45，BAC=90，EAC+BAD=45，EAC=E AB，DAE=EAD=45，AEE 是等腰直角三角形，AD EE，正确。（4）C=EBA=DBA=45，EBD=90，EC=E B，BD2+CE2=DE2，正确，综上所述项正确故选 D6.1300 解析：解：作 A关于 CD的对称点E，连

17、接 BE，并作 BF AC于点 F则EF=BD+AC=700+500=1200m，BF=CD=500m 在Rt BEF 中，根 据 勾 股 定 理 得：BE=22BFEF=225001200=1300 米推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料7.3 2解 析：设 AC=xm，ABC=BAC=45，BC=xm，滑梯AB的长为 3m，2x2=9，解得 x=322，D=30，AD=2AC，AD=3 2m，故 答 案 为：3 2。8.10 解析：四边形EFGH 是正方形，EH=FE，FEH=90，AEF+AFE=90，AEF+DEH=90，AFE=DEH，在 AEF和 DHE中，ADAFEDEHEF

18、HE AEF DHE（AA S），AF=DE，正 方 形ABCD的 面 积 为16，AB=BC=CD=DA=4，AF=DE=AD-AE=4-1=3，在Rt AEF 中，EF=22AFAE=10，故正方形EFGH的面积=1010=10故答案为：109.2；11 解析：如图 2：设直角三角形的三条边分别是a、b、c 根据勾股定理，得 a2+b2=c2，即：正方形 A的面积+正方形 B的面积=正方形 C的面积=1；所有正方形的面积之和为2=（1+1）1；图（3）正方形E的面积+正方形 F的面积=正方形 A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积=正方形 B的面积，正方形 E的面积+正方形 F 的面积+

19、正方形 M的面积+正方形 N的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积=1，所有正方形的面积之和为3=（2+1）1推而广之，“生长”了n 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）1，则：“生长”了10 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）1=11故答案为：2；11。10.解：图中正方形ABCD、正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为S1、S2、S3，CG=NG，CF=DG=NF，S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG?DG=GF2+2CG?DG，S2=GF2，S3=（NG-NF）2=NG2+NF2-2NG?NF=GF2-2NGNF，S1

20、+S2+S3=10=GF2+2CG?DG+GF2+GF2-2NG?NF=3GF2，S2的值是：31011.解：如图，关系为2OD2=BD2+CD2作 OE OD交 AC于 E，连接 OC、DE，得到 OBD OCE从而 RtDCE与 RtEOD 中，CE2+DC2=DE2，OD2+OE2=DE2由 BD=CE，OD=OE，所以 2OD2=BD2+CD2，（也可过O作 BC垂线）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料12.解：（1）过点 D作 DE AB于 E，设 D点坐标为（m，0），根据题意得：OB=1，OA=1，OD=m；在Rt AOB中，AB2=OA2+OB2，所以AB=2，A=45；

21、在DOB和 DEB 中，DOBDEBOBDEBDBDBD DOB EDB（AAS），OD=ED=m，OB=EB=1；在 AED中，A=45，AED=90，DE=AE=m，1+m=2，m=2-1，D点坐标为（2-1，0）（2）结论正确；过点O作 OE OM，并使 OE=OM，连接 NE，AE在 MOB 和 EOA中，OBOAMOBAOEOMOE MOB EOA（SAS），BM=AE，B=OAE，在 MON和 EON中，OMOEMONNOE45ONON MON EON（SAS）；MN=EN，又 NAE=NAO+OAE=90，NAE为直角三角形，NA2+AE2=NE2BM2+AN2=MN2，即结论正确