机械制图第二章点、直线、平面的投影(精品).ppt

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1、2.1 2.1 投影法及其分类投影法及其分类2.2 2.2 点的投影点的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影 2.5 2.5 直线平面及两平面的相对位置直线平面及两平面的相对位置第第第第2 2 2 2章章章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影1平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法1 1 1 1 投影法及其分类投影法及其分类投影法及其分类投影法及其分类投影法投影法投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射线通过物体，向选定的平面进行投射，投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法并在

2、该面上得到图形的方法投影法。投影法。投射中心投射中心斜投影法斜投影法正投影法正投影法2中心投影法中心投影法 投投射中心、物体、投影面三者之间的相射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射中心投射中心3平行投影法平行投影法投投 影影 特特 性性投影：大小与物体和投影面之间的距离无投影：大小与物体和投影面之间的距离无关关 度量性较好。度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。4投

3、影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法5 P Pb A AP P 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。2.2.1 2.2.1 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a 2.2 2.2 点的投影点的投影62.2.2 2.2.2 2.2.2 2.2.2 点在两投影面体系中的投点在两投影面体系中的投点在两投影面体系中的投点在两投影面体系中的投影影影影 投影

4、面投影面 正面投影面（简称正面投影面（简称 正面或正面或V面）面）水平投影面（简称水平投影面（简称 水平面或水平面或H面）面）投影轴投影轴 ox轴（简称轴（简称x轴）轴）V面面与与H面的交线面的交线H HV VO OX X两个投影面两个投影面互相垂直互相垂直VH7空间点空间点空间点空间点A A在两个投影面上的投影在两个投影面上的投影在两个投影面上的投影在两个投影面上的投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的正面投影的正面投影X XO OV VH HA Aaa xa注意：注意：空间点用大写字母表示，空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。点的投影用小写字母表示。8X XO OV

5、 VH HA Aaa 点的投影规律点的投影规律:1.1.a a a aOXOX轴轴2.aax a a a ax xxa=A Aa（A A到到V V面的距离）面的距离）=A Aa（A A到到H H面的距离面的距离）V Va aaX投影面展开投影面展开省略不画绕绕X轴下轴下旋转旋转90不动不动H H9H HW WV V2.2.3 2.2.3 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴O

6、OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y10空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的的水平水平投影投影a点点A A的的正面正面投影投影a 点点A A的的侧面投影侧面投影X XZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayY11X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay绕绕Z轴轴向右向右旋转旋转90绕绕X X轴向下轴向下旋转旋转9090不动不动投影面展开投影面

7、展开W WV VH HaaxazZ Zaa yayaX XY YH H Y YW WO O 省略不画12X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 点的投影规律点的投影规律:1.a aOXOX轴轴2.aax=a ax=xaazayY YW WZ Zaza X XY YH HayWO OaaxayHa a a OZOZ轴轴=y=A Aa（A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa（A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z=A Aa （A A到到H H面的距离面的距离）a azaay=13a aax例：已知点A的两个投影a,a,求第三a a aaxazaz解法一

8、解法一:解法二解法二:a ZOXYWYHZOXYHYW投影a。142.2.4 2.2.4 两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、点在空间的上下、前后、左右位置关系。左右位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。b aa a b bX XY YH HY YW WZ Zo o15()a cc 重影点：重影点：空间两点在某空间两点在某一投影面上的投影一投影面上的投影重合为一点时，则重合为一点时，则称此两点为该投影称此两点为该投

9、影面的重影点。面的重影点。a a c 被挡住的被挡住的投影加投影加()()ZXYWOYH16aa a b b b2.3 2.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名连接，就得到直线的同名投影。投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性3.1 直线的投影特性直线的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线

10、段短投影比空间线段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Ba（m）（）（b）172.3.1 2.3.1 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面水平线（平行于面)正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特

11、殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。影面间的相对位置。18 投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平线水平线实长实长在其平行的那个投影面在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面反映直线与另两投影面 倾角的真实大小。倾角的真实大小。另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投映直线与它所平行的投 影面之间的距离。影面

12、之间的距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW WZoXY19判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角:与与V面的夹角面的夹角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：ZOXYWYHZOXYHYW20 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。于相应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线2.另外两个投影，另外两个投影，1.在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上，投影有积

13、聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:a b a(b)a b c(d)cdd c e f efe(f)ZXOYHYWZOXYHYWZXOYHYW21 一般位置直线一般位置直线Z Z Y YH HaO OX XabbaY YW Wb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。即都不反映空间线段的实长。投影特性投影特性:H HaaAb V VBbW Wa b Z ZX XOY Y22cacX Xa

14、bcY YW WY YH HbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的同面则点的投影必在直线的同面投影上。投影上。点的投影将线段的同面投影分割成与空间线点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例。即：段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 定比定理定比定理X XY YO OZ Z23例例1 1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应

15、用定比定理另一判断法另一判断法?X XX XZ ZX XO OY YH HY YW W24例例2 2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k aa b bkk X XZ ZO OX XY YH HY YW W252.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。平行、相交、交叉（异面）。两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各同面投影必空间两直线平行，则其各同面投影

16、必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX XO OX X26例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两组同面线，只要有两组同面投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直对于特殊位置直线，只有两组同面投线，只有两组同面投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。cbadd b a c b d c a Z ZX XO OY YH HY YW WdZ Zabcc a b

17、d O OX XY YH HY YW Wa b c d 272.3.4 2.3.4 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。影特性。H Hac V VX Xb DacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk X X28cd k kd例例1 1：过：过C点作水平线点作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c X X29例例2 2：判断直线：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交

18、！为什么？为什么？交点不符交点不符合空间一点的合空间一点的投影特性。投影特性。判断方法？判断方法？应用定比原理应用定比原理 利用侧面投影利用侧面投影X X302.3.5 2.3.5 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合点的投影规律！交点不符合点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbX X31accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1投影特性：投影特性：同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但“交点交点”不符合空间不符合空间一点的投影规律。一点的投影规律。

19、“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对重影点的投影，对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。用其可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 322.4 2.4 2.4 2.4 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影2.4.1 平面的表示法平面的表示法不在同不在同一直线一直线上的三上的三个点个点 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行两平行直线直线abca b c 两相两相交直交直线线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c X XX XX XX XX X332.

20、4.2 平面的投影特性平面的投影特性垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影反映实形投影反映实形平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影为缩小类似形投影为缩小类似形 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行A AB BC CabcA AB BC CabcA AB BC Cabc341.1.平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面

21、特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 侧平面侧平面 正平面正平面 水平面水平面35c c 投影面垂直面投影面垂直面abca b b a 积聚性积聚性投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面

22、上的投影为类似形。Z ZX XO OY YH HY YW W36a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面实实 形形投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。Z ZX XO OY YH HY YW W37a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三个投影都为类似形。三个投影都为类似形。投影特性：投影特性：Z ZX XO OY YH HY YW W38a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCA

23、BC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已，已知其水平投影及顶点知其水平投影及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？4545 Z ZX XO OY YH HY YW W392.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线平面上取任意直线M MN NA AB BM M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面一点且平行于该平

24、面上的另一直线，则此上的另一直线，则此直线在该平面内。直线在该平面内。P PQ Q40abcb c a d d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：n m nmabcb c a X XX X41例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为1010mmmm。n m nm10 10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？X42 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线先找出过此点而又在平面内的

25、一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。位置。例例1 1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解kabca b k c kX XX X43bckada d b c k b例例2 2：已知：已知AC为正平线，补全平行四为正平线，补全平行四边形边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X44de10 1010 10

26、mm例例3 3：在：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到并使其到H H面面V V面的面的 距离均为距离均为1010mmmm。bcX XbcaaO Oed452.5 2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。相对位置包括平行、相交和垂直。2.5.1 2.5.1 平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行46n a c b m abcmn例例1 1：过

27、：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。d dX X有有无数解。无数解。47例例2 2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和面和平面平面 ABC。c b a m abcmnn d dX X48 两平面平行两平面平行 若一平面上的两相若一平面上的两相交直线分别平行于另交直线分别平行于另一平面上的两相交直一平面上的两相交直线，则这两平面相互线，则这两平面相互平行。平行。若两投影面垂直面若两投影面垂直面相互平行，则它们具相互平行，则它们具有积聚性的那组投影有积聚性的那组投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdeff g abcdefga b c d e X

28、 XX X49acebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由于由于ek不不平行于平行于ac,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行，已知已知ABCDEFMHABCDEFMH50 直线与平面相交，其交点是直线与平面的直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。共有点。2.5.2 相交问题相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题：(1)求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判

29、别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。处于特殊位置的情况。51例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析:平面平面ABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与一条直线，该直线与mn的交点即为的交点即为K点的水点的水平投影。平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影还可通过重影点

30、判别可见性。点判别可见性。平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 1(2 2)2 21 1X X52km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析:直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见。k 2 2 1 11 (2)X X53 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线

31、，交线是两平两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：确定两平面的两个共有点。确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。殊位置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。54abcdefc f d b e a m(n)例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别

32、可见性。空间及投影分析：空间及投影分析：求交线求交线 判别可见性判别可见性 从正面投影上可从正面投影上可看出，在交线左侧，看出，在交线左侧，平面平面ABC在上，其水在上，其水平投影可见。平投影可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为 正垂面，它们的交线为一正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂投影，交线的水平投影垂直于直于OX轴。轴。还可通过重影点还可通过重影点判别可见性判别可见性55abd(e)ebdh(f)cfchmnnm空间及投影分析：空间及投影分析：平面平面DEFH是一铅是一铅垂面，它的水

33、平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与积聚性，其与ac、bc的的交点交点m、n 即为两个共即为两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投的水平投影。影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，点上，点在前，在前，点点在后，故在后，故m c 可见。可见。作图作图X X211 1(2(2)56c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影 n位于位于def 的外面，的外面，说明点说明点N位于位于DEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不位于位于DEF这个图形内。这个图形内。所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。mkk m nn57