(精品)溷沌理论及其应用实例.ppt

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1、混沌理论及其应用混沌理论及其应用 绪论绪论1第第1章章 前言前言1.1线性与非线性线性与非线性1.2非线性系统和混沌现象非线性系统和混沌现象1.3混沌研究的发展及意义混沌研究的发展及意义1.4课程内容简介课程内容简介21.1线性与非线性如果在某个坐标系下如果在某个坐标系下,函数函数f具有叠加原理的具有叠加原理的性质性质:y1=f(x1),y2=f(x2),y1+y2=f(x1+x2),f(ax)=af(x)我们就说这个函数是线性的我们就说这个函数是线性的.反之反之,该函数为非线性的该函数为非线性的.3牛顿第二定律研究自由落体牛顿第二定律研究自由落体:通常我们所处理的是线性系统通常我们所处理的是

2、线性系统:原因处理方法简单原因处理方法简单(数理方法数理方法)建立微分方程组建立微分方程组 只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体以往和未来的全部运动状态以往和未来的全部运动状态4无阻尼单摆m5研究手段线性问题:线性方程普适方法非线性问题:非线性方程很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析针对个别问题的特点采取特殊的处理方法,有时加很强的约束条件20世纪60年代开始，电子计算机的应用,“计算物理”和“实验数学”，非线性的研究广泛开展6实验系统:力学实

3、验,电路实验,光学系统,生物系统,化学反应等计算机数值计算方法:建立模型和描述方程,编写程序,模拟系统的演化,并分析系统的性质理论解析分析:有时+计算机分析71.2非线性系统和混沌现象非线性系统和混沌现象l非线性广泛存在自然界和社会生活中非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态线性行为只是平衡态附近的近似结果附近的近似结果,自然界本质是非线性的自然界本质是非线性的.弹性振动弹性振动1.简谐振动简谐振动:振子质量振子质量m=1,角频率角频率 ,x为位为位移移,势能势能牛顿第二定律牛顿第二定律:线性系统线性系统82.实际系统中一维弹性系统的势能一般为:非线性系统9达芬达芬(Duffin

4、g)振子振子周期力周期力磁铁磁铁感应器感应器铁条铁条yDuffing方程方程Chaosindynamicalsystemsp.2-310两个稳态一个非稳态11双稳态系统x12不规则运动1314151617Experiment of Shaw(1984)Light sourceLight sensorDripping faucetDrop 1Drop 2Drop 3 Drop n18Experiment of Shaw(1984)The time sequence:Define the time interval:Try to find inflow rate vs.the time inter

5、valsThe time interval sequence:19Experiment of Shaw(1984)Inflow rate increasing123 4 5Regular Period 1Regular Period 2Regular Period 4Regular Period 8Irregular chaosTochaos:doubleperiodbifurcation20 Chuas circuit021Chuas circuitOscillograph方程解方程解 VS.电阻电阻 R22GreaterRegularClosed OrbitsLimited cyclePe

6、riod 1n Case 123DecreaseRegularClosed OrbitsPeriod 2n Case 224DecreaseRegularClosed OrbitsPeriod 4n Case 325sufficient smallIrregular RandomNonperiodic orbitdisclosedorbitChaosn Case 426Attractors of Chuas circuit2728实验现象的观察一周期一周期二29实验现象的观察二周期四周期五30实验现象的观察三周期三单吸引子31实验现象的观察四阵 发 混 沌32虫口模型虫口模型1:虫口增长率与现

7、有的虫口数成正比解考虑实际外界因素影响:资源不足,不同区域间作用33模型2虫口过密,考虑虫与虫之间争夺有限的资源是限制虫口增长的主要因素34变换迭代Logisticmap,虫口模型35Logistic 映象映象图1-1Logistic映象的分叉与混沌36 变量空间分岔的自相似行为37典型的混沌系统典型的混沌系统非线性映象系统非线性映象系统(时间离散、变量连续时间离散、变量连续)(2)帐篷映射帐篷映射(1)Logestic 映象映象38(3)圆映象圆映象(Circle map)一维映象：不可逆映象可以产生混沌运动可逆映象不存在混沌可逆一对一，逆映象唯一不可逆逆映象不唯一39(4)标准映象标准映象

8、(Standard map)mod可逆二维映象无论耗散与否均可产生混沌运动40非线性振子非线性振子(时间连续、变量连续时间连续、变量连续)(1)Lorenz方程方程Lorenz的混沌吸引子41(2)Rossler方方程程Rossler混沌吸引子42(3)Duffing方程方程Duffing方程混沌吸引子非线性自洽系统3维及以上可能产生混沌运动。含时非自洽系统2维以上可能产生混沌运动43时空混沌系统时空混沌系统(1)耦合映象耦合映象(时间、空间离散，变量连续时间、空间离散，变量连续)(1.14)44(2)耦合振子耦合振子(空间离散，时间变量连续空间离散，时间变量连续)时空混沌，f(x)为Ross

9、ler局域动力学45(3)非线性偏微分方程非线性偏微分方程(时间、空间和变量都连续时间、空间和变量都连续)()反应扩散方程()Ginzburge-Lanlau方程(振荡介质)()Hodgkin-Huxley方程(可激发介质)()Navier-Stokes方程等(Flowtrbulence)46本世纪以来混沌研究一些重要人物和重要进展本世纪以来混沌研究一些重要人物和重要进展：Poincare哈密顿系统中复杂性行为(混沌)的发现KAM哈密顿系统中规则轨道和不规则轨道的并存与转换Lorenz耗散系统混沌行为Birkhoff共振轨道及相关的复杂性Feigenbaum与混沌相关的普适常数与普适函数1.3

10、混沌研究的发展混沌研究的发展47SmaleSmale马蹄及相关符号动力Ruelle-Takens准周期到混沌道路Sinai少体系统各态历经和混沌Mandelbrot分形及多重分形Hohenberg,Kaneko时空混沌Ott,Grebogi,YorkOGY混沌控制Pecora,Carrol混沌同步48(1)Poincare(庞加莱)19世纪末世纪末20世纪初世纪初 研究三体问题研究三体问题太阳,地球,月亮等结论:对一个确定性系统,在一定范围内,无法求出精确解,其解是随机的.这一结论与牛顿力学成功预言天体轨道(天体力学)存在矛盾4917世纪牛顿建立经典力学力学系统服从拉普拉斯确定性拉普拉斯：“我

11、们应该把宇宙的现在状态看我们应该把宇宙的现在状态看成它过去状态的结果，并且作为今后状态的成它过去状态的结果，并且作为今后状态的原因原因”(确定性世界观的代表)天体力学:预言行星和月球的运动三体或多体问题:微扰理论成功的例子:月食,日食时间,海王星,冥王星存在 自由落体自由落体确定性、可预言、轨道描述50确定性与随机性确定性与随机性拉普拉斯：“我们应该把宇宙的现在状态看成它过去状态的结我们应该把宇宙的现在状态看成它过去状态的结果，并且作为今后状态的原因果，并且作为今后状态的原因”(确定性世界观的代表)自由落体自由落体确定性、可预言、轨道描述麦克斯韦：“这个世界的真正逻辑是概率的计算这个世界的真正

12、逻辑是概率的计算”(随机性世界观的代表)掷骰子掷骰子随机性、不可预言、概率描述确定性和随机性本质的认识和讨论物理学界,哲学界51(2)KAM理论理论(Kolmogorov-Anold-Moser)1954,前苏联数学家前苏联数学家Kolmogorov(柯尔莫哥罗夫柯尔莫哥罗夫)提出定理提出定理,1963,其学生其学生Anold(阿诺德阿诺德)给出定理的严格证明给出定理的严格证明,1973,瑞士数学家瑞士数学家Moser(莫塞莫塞)给出改进的证明给出改进的证明.不可积系统不可积系统:52l不存在能量以外的解析不变量，力学系统运动的稳定性成了大问题。KAM不从整体的不变量行为讨论，而就给定的具体环

13、面的稳定性问题讨论l图像：在时大多数环面微小变化，环面原有基本特性得以保持。少量环面被极大破坏和变形。被破坏环面测度小，但稠密地镶嵌于未被破坏的环面之间，这使整体的解析不变量不存在天文学家：星球系统运动稳定，KAM环面保护天文制度不受威胁物理学家：有不稳定的环面，和N越大，不稳定环面越占优势53(3)Lorenz方程，方程，1963第一次对耗散系统发现了混沌运动混沌之父(i)运动限制在有限区域()运动轨道非周期，在计算范围内不重复()运动轨道的初值敏感性()自相似行为和奇怪吸引子54混沌研究的意义混沌研究的意义(1)传统力学开辟了新天地传统力学开辟了新天地力学没有完成，其中的不可积和混沌系统的

14、研究正在展开(2)统计物理进入新的领地统计物理进入新的领地由于混沌运动，少自由度系统力学需要引入统计物理方法，统计物理不再限于传统热力学系统(3)混沌的研究缩小了确定论和随机论之间的鸿沟混沌的研究缩小了确定论和随机论之间的鸿沟一些完全确定性的系统，由于“失之毫厘，差之千里”的初值敏感性的混沌特点，导致长时间行为的随机性和概率描述的必要性55(4)利用混沌的成果推动湍流及其控制的研究利用混沌的成果推动湍流及其控制的研究湍流及其控制的研究是数个世纪的重要课题湍流行为太复杂，人们期待沿着简单系统的混沌简单系统的混沌多自由度的时空混沌多自由度的时空混沌湍流湍流的线索推动湍流研究，期望混沌研究成果会给湍流研究提供新的、有用的途径(5)与混沌动力学相联系的新规律的研究与混沌动力学相联系的新规律的研究分岔序列;吸引子的多重分形结构;普适性和标度律等等561.4 课程内容课程内容2.研究非线性动力学系统的基本方法研究非线性动力学系统的基本方法3.分岔简介分岔简介4.混沌的产生及相关的普适行为混沌的产生及相关的普适行为5.混沌系统的动力学行为混沌系统的动力学行为6.混沌控制混沌控制7.混沌同步混沌同步8.混沌密码混沌密码 作业作业 计算机求解参数为计算机求解参数为1,2,3,3.2,3.5,3.8,4.0 57