随机过程随机过程的基本概念.ppt

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1、第二章 随机过程的基本概念马春光 哈尔滨工程大学2第2章 随机过程的基本概念2.1 2.1 2.1 2.1 随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义2.2 2.2 2.2 2.2 随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例2.3 2.3 2.3 2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族2.4 2.4 2.4 2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.5 2.5 2.5 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分

2、布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 2.6 2.6 2.6 复随机过程复随机过程复随机过程复随机过程2.7 2.7 2.7 2.7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程第2章 随机过程的基本概念2.1 2.1 2.1 2.1 随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义2.2 2.2 2.2 2.2 随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例2.3 2.3 2.3 2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有

3、限维分布函数族2.4 2.4 2.4 2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.5 2.5 2.5 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 2.6 2.6 2.6 复随机过程复随机过程复随机过程复随机过程2.7 2.7 2.7 2.7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程2.1 随机过程的定义在客观世界中，有许多随机现象表现为带随机性的变化过程，在客观世界中，有许多随机现象表现为带随机性的变化过程，它不能用一个或几

4、个随机变量来刻画，而要用它不能用一个或几个随机变量来刻画，而要用一族无穷多个一族无穷多个一族无穷多个一族无穷多个随机变量随机变量随机变量随机变量来描绘，这来描绘，这就是随机过程就是随机过程就是随机过程就是随机过程.随机过程是概率论的继续和发展随机过程是概率论的继续和发展.被认为是被认为是概率论的概率论的概率论的概率论的“动力学动力学动力学动力学”部分部分部分部分.它的研究对象是它的研究对象是随时间演变的随机现象随时间演变的随机现象随时间演变的随机现象随时间演变的随机现象.事物变化的过程事物变化的过程不能用一个（或几个）时间不能用一个（或几个）时间不能用一个（或几个）时间不能用一个（或几个）时间

5、t t 的确定的函数来的确定的函数来的确定的函数来的确定的函数来加以描述加以描述加以描述加以描述.对事物变化的全过程对事物变化的全过程进行一次观察进行一次观察进行一次观察进行一次观察得到的结果得到的结果是一个时间是一个时间是一个时间是一个时间t t 的的的的函数函数函数函数，但对同一事物的变化过程独立地重复，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所进行多次观察所进行多次观察所进行多次观察所得的结果是不同的得的结果是不同的得的结果是不同的得的结果是不同的，而且每次观察之前不能预知试验结果，而且每次观察之前不能预知试验结果.2.1 随机过程的定义例例例例 当当t t(t t00)固定时，固定

6、时，电话交换站在电话交换站在电话交换站在电话交换站在0,0,t t 时间内收到的呼时间内收到的呼时间内收到的呼时间内收到的呼叫次数叫次数叫次数叫次数是随机变量，记为是随机变量，记为X X(t t).X.X(t t)服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为 t t的的的的PoissonPoisson分布分布分布分布，其中，其中 是单位时间内平均收到的呼叫次数是单位时间内平均收到的呼叫次数,且且 0.0.如果如果t t从从0 0变到变到+，t t 时刻前收到的呼叫次数需用时刻前收到的呼叫次数需用时刻前收到的呼叫次数需用时刻前收到的呼叫次数需用一族随机变量一族随机变量一族随机变量一族随机变量 X X

7、(t t),),t t 0,0,+来来表示表示表示表示，则该随机现象，则该随机现象就是一个随机过程就是一个随机过程.对电话交换站做一次实验，便可得到对电话交换站做一次实验，便可得到一个一个“呼叫次数呼叫次数呼叫次数呼叫次数时间函数时间函数时间函数时间函数”(即呼叫次数关于时间即呼叫次数关于时间t t 的的函数函数 x x(t t).).2.1 随机过程的定义 这个“呼叫次数呼叫次数时间函数时间函数”是不可能预先确定的，只有通过测量才能得到.由于呼叫的随机性，在相同条件下，每次测量都产生不同的“呼叫次数呼叫次数时间函数时间函数”.2.1 随机过程的定义例例例例 电电子元件或器件由于内部微子元件或

8、器件由于内部微观观粒子（粒子（电电子）的随机子）的随机热热噪声引起的端噪声引起的端电压电压称称为为热热热热噪声噪声噪声噪声电压电压电压电压，它，它在任一确定在任一确定在任一确定在任一确定时时时时刻刻刻刻的的的的值值值值是随机是随机是随机是随机变变变变量量量量，记为记为V V(t t).).如果如果如果如果t t 从从从从0 0变变变变到到到到+，t t 时时时时刻的刻的刻的刻的热热热热噪声噪声噪声噪声电压电压电压电压需要用一族随机需要用一族随机需要用一族随机需要用一族随机变变变变量量量量 V V(t t),),t t 0,0,+来表来表来表来表示示示示，则该随机变量就是一个随机过程，则该随机变

9、量就是一个随机过程.对某种装置做一次对某种装置做一次试验，便可得到一个试验，便可得到一个“电压电压电压电压时间函数时间函数时间函数时间函数”v v(t t).这个这个这个这个“电压电压电压电压时间函数时间函数时间函数时间函数”是不可能预先确知是不可能预先确知是不可能预先确知是不可能预先确知的，只有通过测量才的，只有通过测量才能得到能得到.如果如果在相同的条件下独立地再进行一次测量，则在相同的条件下独立地再进行一次测量，则在相同的条件下独立地再进行一次测量，则在相同的条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同得到的记录是不同得到的记录是不同得到的记录是不同的的.所谓一族随机变量，首先是随机变

10、量，从而所谓一族随机变量，首先是随机变量，从而是该试验样是该试验样是该试验样是该试验样本空间上的函数本空间上的函数本空间上的函数本空间上的函数；其次形成一族，因而它还取决于另一；其次形成一族，因而它还取决于另一个变量，即个变量，即还是另一参数集上的函数还是另一参数集上的函数还是另一参数集上的函数还是另一参数集上的函数.所以，所以，随机过程就随机过程就随机过程就随机过程就是一族二元函数是一族二元函数是一族二元函数是一族二元函数.定义定义定义定义 设设(,F F ,P P)是一个概率空间，是一个概率空间，T T 是一个实的参数集，是一个实的参数集，定义在定义在定义在定义在 和和和和T T 上的二元

11、函数上的二元函数上的二元函数上的二元函数 X X(,t,t)，如果对于任意固定，如果对于任意固定的的t t T T ，X X(,t,t)是是 (,F F ,P P)上的随机变量，则称上的随机变量，则称 X X(,t,t),),t t T T 为该概率空间上的为该概率空间上的随机过程随机过程随机过程随机过程（Stochastic ProcessStochastic Process），简记为，简记为 X X(t t),),t t T T .2.1 随机过程的定义2.1 随机过程的定义 X(,t),t T：l固定固定t=t0 T，X(t0)是一个随机变量是一个随机变量（第i次试验值为xi(t0)）.

12、l对随机过程做一次试验，即固定样本点固定样本点 ，得到一个参数得到一个参数t 的普通函数的普通函数 x(t).定定定定义义义义 设设 X X(t t),),t t T T 是随机是随机过过程，程，则则则则当当当当t t固定固定固定固定时时时时，X X(t t)是是是是一个随机一个随机一个随机一个随机变变变变量量量量,称之称之为为 X X(t t),),t t T T 在在t t时时刻的刻的状状状状态态态态.随机随机变变量量X X(t t)()(t t固定，固定，t t T T )所有可能的取所有可能的取值值构成的集合构成的集合,称称为为随随机机过过程的程的状状状状态态态态空空空空间间间间，记为

13、记为S S.定定定定义义义义 设设 X X(t t),),t t T T 是随机是随机过过程，程，则则则则当当当当 固定固定固定固定时时时时，X X(t t)是定是定是定是定义义义义在上在上在上在上T T不具有随机性的普通函数不具有随机性的普通函数不具有随机性的普通函数不具有随机性的普通函数，记为记为x x(t t),),称称为为随机随机过过程的一个程的一个样样样样本函数本函数本函数本函数.其其图图像成像成为为随机随机过过程的一条程的一条样样样样本曲本曲本曲本曲线线线线（轨轨道或道或实现实现）.2.1 随机过程的定义例例例例 设设X X(t t)=Vcos=Vcos t t,t t+其中其中

14、为为常数，常数，V V服从区服从区间间0,10,1上的均匀分布，即上的均匀分布，即 (1)(1)画出画出 X X(t t),),t t+的几条的几条样样本曲本曲线线；(2)(2)求求 时时随机随机变变量量X X(t t)的概率密度函数的概率密度函数;(3)(3)求求 时时X X(t t)的分布函数的分布函数 2.1 随机过程的定义解解解解 (1)(1)取取 则则 ;取取V V=0,=0,则则x x(t t)=0;)=0;取取V V=1=1，则，则x x(t t)=cos=cos t.t.这些都是这些都是 t t 的确定函数，即随机过程的样本函的确定函数，即随机过程的样本函数数.2.1 随机过程

15、的定义(2)(2)当当t t=0=0时，时，X X(0)=(0)=V V，故，故X X(0)(0)的概率密度函数就是的概率密度函数就是V V的概的概率密度函数，即率密度函数，即当当 时，时，故，故 的概的概 率密度函数为率密度函数为2.1 随机过程的定义当当 时时,，故，故 的概率的概率密度函数为密度函数为当当 时，时，故，故 的概率密度函数为的概率密度函数为2.1 随机过程的定义(3)(3)当当 时，时，不论，不论V V取何值取何值,均有均有 ，因此，因此 ，从而，从而 的分布函数为的分布函数为2.1 随机过程的定义第2章 随机过程的基本概念2.1 2.1 2.1 2.1 随机过程的定义随机

16、过程的定义随机过程的定义随机过程的定义2.2 2.2 2.2 2.2 随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例2.3 2.3 2.3 2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族2.4 2.4 2.4 2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.5 2.5 2.5 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 2.6 2.6 2.6 复随机过程复随机过

17、程复随机过程复随机过程2.7 2.7 2.7 2.7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程2.2 随机过程的分类和举例随机随机过过程可以程可以根据参数集根据参数集根据参数集根据参数集 T T 和状和状和状和状态态态态空空空空间间间间 S S 是离散集是离散集是离散集是离散集还还还还是是是是连续连续连续连续集集集集分分为为四大四大类类.1 1、离散参数、离散状、离散参数、离散状、离散参数、离散状、离散参数、离散状态态态态的随机的随机的随机的随机过过过过程程程程 这类过这类过程的特点是参数集是离散的，同程的特点是参数集是离散的，同时时固定固定t t T T，X

18、X(t t)是离散型随机是离散型随机变变量即其取量即其取值值也是离散的。也是离散的。l l例例例例 （贝贝贝贝努利努利努利努利过过过过程程程程）考）考虑虑抛抛掷掷一一颗颗骰子的骰子的试验试验，设设X Xn n是第是第n n(n n1)1)次抛次抛掷掷的点数的点数,对对于于n=n=1,2,1,2,的不同的不同值值，X Xn n是不同是不同的随机的随机变变量量,因而因而 X Xn n,n,n11构成一随机构成一随机过过程，称程，称为贝为贝努利努利过过程程,其参数集其参数集T=T=1,2,1,2,，状，状态态空空间间S=S=1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.l l例例例例 设设有一有一

19、质质点在点在x x轴轴上作上作随机游随机游随机游随机游动动动动，在，在t t=0=0时质时质点点处处于于x x轴轴的原点的原点O O，在，在t=t=1,2,1,2,时质时质点可以在点可以在x x轴轴上正向或反向移上正向或反向移动动一个一个单单位，作正向移位，作正向移动动一个一个单单位的概率位的概率为为p p，作反向移，作反向移动动一个一个单单位的概率位的概率为为q=q=1-1-p p，在，在t=nt=n时时，质质点所点所处处的位置的位置为为X Xn n，则则 X Xn n,n=,n=1,2,1,2,为为一随机一随机过过程，其参数集程，其参数集T=T=0,1,2,0,1,2,，状，状态态空空间间

20、S=S=,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,。2.2 随机过程的分类和举例2 2、离散参数、连续状态的随机过程、离散参数、连续状态的随机过程、离散参数、连续状态的随机过程、离散参数、连续状态的随机过程这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的t tT T，X X(t t)是连续性随机变量。是连续性随机变量。l l例例例例 设设X Xn n，n=n=,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,是相互独立同服从标准正态是相互独立同服从标准正态分布的随机变量，则分布的随机变量，则 X Xn n，n=n=,-2,-1,0,1,2,-2,-1

21、,0,1,2,为一随机为一随机过程，其参数集过程，其参数集T=,-2,-1,0,1,2,T=,-2,-1,0,1,2,，状态空间，状态空间S S=(=(,+)2.2 随机过程的分类和举例3 3、连续连续连续连续参数、离散状参数、离散状参数、离散状参数、离散状态态态态的随机的随机的随机的随机过过过过程程程程 这类过这类过程的特点是参数集是程的特点是参数集是连续连续的，而的，而对对于固定的于固定的t tT T，X X(t t)是离散型随机是离散型随机变变量。量。l l例例例例 （PossionPossion过过过过程程程程）设设X X(t t)表示在期表示在期间间00,t,t 内到达服内到达服务务

22、点点的的顾顾客数，客数，对对于于t t0 0,+的不同的不同值值，X X(t t)是不同随机是不同随机变变量，因而量，因而 X X(t t)，t t 0 0 构成一随机构成一随机过过程，其参数集程，其参数集T=T=00 ,+,+，状，状态态空空间间S=S=0,1,2,.0,1,2,.2.2 随机过程的分类和举例4 4、连续连续连续连续参数、参数、参数、参数、连续连续连续连续状状状状态态态态的随机的随机的随机的随机过过过过程程程程 这类过这类过程的特点是参数集是程的特点是参数集是连续连续的，而的，而对对于固定的于固定的t tT T，X X(t t)是是连续连续型随机型随机变变量。量。l l例例例

23、例 设设X X(t t)=Acos=Acos(t+t+),),t t 0,0,是常数是常数,服服从区从区间间-,上的均匀分布，上的均匀分布，则则 X X(t t),t t+是一随机是一随机过过程，其参数集程，其参数集T T=(=(,+)，状，状态态空空间间S=S=-A,A-A,A.2.2 随机过程的分类和举例第2章 随机过程的基本概念2.1 2.1 2.1 2.1 随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义2.2 2.2 2.2 2.2 随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例2.3 2.3 2.3 2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过

24、程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族2.4 2.4 2.4 2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.5 2.5 2.5 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 2.6 2.6 2.6 复随机过程复随机过程复随机过程复随机过程2.7 2.7 2.7 2.7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程2.3 随机过程的有限维分布函数族定义定义定义定义 设设 X X(t t),),t t

25、T T 是一个随机过程，对于任意固定的是一个随机过程，对于任意固定的t t T,T,X X(t t)是随机变量，称是随机变量，称 F F(t;xt;x)=)=P P(X X(t t)xx),),x xR,tR,tT T为随机过程为随机过程 X X(t t),),t t T T 的的一维分布函数一维分布函数一维分布函数一维分布函数；对于任意固定；对于任意固定的的t t1 1,t,t2 2T T ，X X(t t1 1),),X X(t t2 2)是两个随机变量，称是两个随机变量，称 F F(t t1 1,t,t2 2;x;x1 1,x,x2 2)=)=P P(X X(t t1 1)x x1 1,

26、X X(t t2 2)x x2 2),),x x1 1,x,x2 2R,R,t t1 1,t,t2 2T T为随机过程的为随机过程的二维分布函数二维分布函数二维分布函数二维分布函数；一般地，对于任意固定的一般地，对于任意固定的t t1 1,t,t2 2,t,tn nT,T,X X(t t1 1),),X X(t t2 2),),X X(t tn n)是是n n个随机变量，称个随机变量，称F F(t t1 1,t,t2 2,t,tn n;x;x1 1,x,x2 2,x,xn n)=)=P P(X X(t t1 1)x x1 1,X X(t t2 2)x x2 2,X,X(t tn n)x xn

27、n),),x xi iR,R,t ti iT,i=1,2,nT,i=1,2,n 为随机过程为随机过程 X X(t t),),t t T T 的的n n维分布函数维分布函数维分布函数维分布函数.2.3 随机过程的有限维分布函数族定义定义定义定义 设设 X X(t t),),t t T T 是一随机过程，其一维分布函数，是一随机过程，其一维分布函数，二维分布函数，二维分布函数，n n维分布函数，维分布函数，的全体，的全体 F F=F F(t t1 1,t,t2 2,t,tn n;x;x1 1,x,x2 2,x,xn n),),x xi iR,R,t ti iT,i=T,i=1 1,2 2,n,n,

28、n,nN N 称为随机过程称为随机过程 X X(t t),),t t T T 的的有限维分布函数族有限维分布函数族有限维分布函数族有限维分布函数族.容易看出，随机过程的有限维分布函数族具有容易看出，随机过程的有限维分布函数族具有对称性对称性对称性对称性和和相容性相容性相容性相容性 .2.3 随机过程的有限维分布函数族1 1、对称性、对称性、对称性、对称性 设设 i i1 1,i,i2 2,i,in n 是是 1,2,1,2,n n 的任一排列，则的任一排列，则 事实上，事实上，2.3 随机过程的有限维分布函数族2 2、相容性、相容性、相容性、相容性设设mnmn,则则 事实上，事实上，2.3 随

29、机过程的有限维分布函数族定义定义定义定义 设设 X X(t t),),t t T T 是一随机过程，对于任意固定的是一随机过程，对于任意固定的t t1 1,t,t2 2,t,tn nT,T,X X(t t1 1),),X X(t t2 2),),X X(t tn n)是是n n个随机变量，称个随机变量，称 u ui iR R,t,ti iT,i=1,2,n,j=T,i=1,2,n,j=为随机过程为随机过程 X X(t t),),t t T T 的的n n维特征函数维特征函数维特征函数维特征函数.2.3 随机过程的有限维分布函数族 称称 为为随机随机过过程程 X X(t t),),t t T T

30、 的的有限有限有限有限维维维维特征函数族特征函数族特征函数族特征函数族 .例例例例 设设X X(t t)=)=A+Bt,tA+Bt,t0,0,其中其中A A 和和B B 是相互独立的随机是相互独立的随机变变量，量，分分别别服从正服从正态态分布分布N N(0,1)(0,1)，试试求随机求随机过过程程 X X(t t),),t t 00 的一的一维维和二和二维维分布分布.2.3 随机过程的有限维分布函数族l l解解解解 先求一维分布先求一维分布.是正态随机变量，因为是正态随机变量，因为 E E X X(t t)=EA+tEB=EA+tEB=0 0 D D X X(t t)=DA+t=DA+t2 2

31、DB=DB=1 1+t+t2 2所以所以X X(t t)服从正态分布服从正态分布N N(0,1+(0,1+t t2 2),),从而从而 X X(t t),),t t 00 的一维分的一维分布为布为 X X(t t)N N(0,1+(0,1+t t2 2),),t t 00再求二再求二维维分布，分布，从而从而2.3 随机过程的有限维分布函数族 又又A,BA,B相互独立同服从正态分布，故相互独立同服从正态分布，故(A,BA,B)服从二维正态服从二维正态分布，从而分布，从而(X X(t t1 1),),X X(t t2 2)也服从二维正态分布也服从二维正态分布.E E X X(t t1 1)=0 0

32、，E E X X(t t2 2)=0 0 D D X X(t t1 1)=1+)=1+t t1 12,2,D D X X(t t2 2)=1+)=1+t t2 22 2 covcov(X X(t t1 1),),X X(t t2 2)=)=E E X X(t t1 1)X X(t t2 2)-)-E E X X(t t1 1)E E X X(t t2 2)=E E(A+BtA+Bt1 1)()(A+BtA+Bt2 2)=1+=1+t t1 1t t2 2故故(X X(t t1 1),),X X(t t2 2)的均值向量为的均值向量为0 0=(0,0)=(0,0)，协方差矩阵为，协方差矩阵为2.

33、3 随机过程的有限维分布函数族 所以随机过程所以随机过程 X X(t t),),t t 00 的二维分布为的二维分布为 (X X(t t1 1),),X X(t t2 2)N N(0(0,B,B),),t t1 1,t t2 2002.3 随机过程的有限维分布函数族例例例例 令令X X(t t)=Acost,=Acost,t t+,其中其中A A是随机是随机变变量，其分布律量，其分布律为为 P(P(A=iA=i)=)=,i=,i=1,2,31,2,3试试求求(1)(1)随机随机过过程程 X X(t t),),t t+的一的一维维分布函数分布函数(2)(2)随机随机变变量量 X X(t t),)

34、,t t+的二的二维维分布函数分布函数2.3 随机过程的有限维分布函数族l l解解解解 (1)(1)先求先求 .由于由于 ，因此，因此的可能取值为的可能取值为 ，并且，并且2.3 随机过程的有限维分布函数族 于是于是再求再求 .由于由于 因此因此 只能取只能取0 0值值，于是，于是2.3 随机过程的有限维分布函数族 (2)(2)因为因为2.3 随机过程的有限维分布函数族 所以所以2.3 随机过程的有限维分布函数族第2章 随机过程的基本概念2.1 2.1 2.1 2.1 随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义2.2 2.2 2.2 2.2 随机过程的分类和举例随机过程的分类和举

35、例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例2.3 2.3 2.3 2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族2.4 2.4 2.4 2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.5 2.5 2.5 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征两个随机过程的联合分布和数字特征2.6 2.6 2.6 2.6 复随机过程复随机过程复随机过程复随机过程2.7 2.7 2.7 2.7 几类重要的随机过程几类重要的随机过程几类重要的随机过程

36、几类重要的随机过程2.4 随机过程的数字特征1 1、随机过程的均值函数、随机过程的均值函数、随机过程的均值函数、随机过程的均值函数设设 X X(t t),),t t T T 是一随机过程，是一随机过程，是一个随机变量，是一个随机变量，如果如果 E E X X(t t)存在，记为存在，记为m mX X(t t)，则称，则称m mX X(t t),t tT T为为 X X(t t),),t t T T 的的均值函数均值函数均值函数均值函数.l l如果如果 X X(t t),),t t T T 的一维分布函数为的一维分布函数为F F(t;xt;x)，那么，那么 t tT T l l随机过程的均值函数

37、随机过程的均值函数m mX X(t t)在在t t 时刻的值，表示时刻的值，表示随机过程在随机过程在随机过程在随机过程在t t 时刻所处状态取值的理论平均值时刻所处状态取值的理论平均值时刻所处状态取值的理论平均值时刻所处状态取值的理论平均值，当，当t tT T 时，时，m mX X(t t)在在在在几何上表示一条固定的曲线几何上表示一条固定的曲线几何上表示一条固定的曲线几何上表示一条固定的曲线.2 2、随机过程的方差函数、随机过程的方差函数、随机过程的方差函数、随机过程的方差函数设设 X X(t t),),t t T T 是一随机过程，是一随机过程，是一随机变量，是一随机变量，如果如果D D

38、X X(t t)存在，记为存在，记为D DX X(t t)，则称，则称 D DX X(t t)，t t T T 为为 X X(t t),),t t T T 的的方差函数方差函数方差函数方差函数.l l显然显然 D DX X(t t)=)=D D X X(t t)=)=E E X X(t t)-m-mx x(t t)2 2,t t T Tl l随机过程的方差函数随机过程的方差函数D DX X(t t)在在t t 时刻的值，表示时刻的值，表示随机过程随机过程随机过程随机过程在在在在t t 时刻所处状态取值离开均值的偏差程度时刻所处状态取值离开均值的偏差程度时刻所处状态取值离开均值的偏差程度时刻所处

39、状态取值离开均值的偏差程度，当，当t t T T 时，时，D DX X(t t)是一个普通的函数是一个普通的函数是一个普通的函数是一个普通的函数 .2.4 随机过程的数字特征3 3、随机过程的协方差函数随机过程的协方差函数随机过程的协方差函数随机过程的协方差函数设设 X X(t t),),t t T T 是一随机过程是一随机过程 ,X X(s s),),X X(t t)是两个随机是两个随机变量，如果变量，如果covcov(X X(s s),),X X(t t)存在，记为存在，记为C Cx x(s,ts,t),),则称则称C Cx x(s,ts,t),),s,ts,tT T 为为 X X(t t

40、),),t t T T 的的协方差函数协方差函数协方差函数协方差函数.显然显然 C Cx x(s,ts,t)=)=covcov(X X(s s),),X X(t t)=)=E E(X X(s s)-)-m mx x(s s)()(X X(t t)-)-m mx x(t t)=E E X X(s s)X X(t t)-)-m mx x(s s)m mx x(t t),),t t T T 2.4 随机过程的数字特征 随机随机过过程的程的协协协协方差函数方差函数方差函数方差函数C Cx x(s,ts,t)在在在在s,ts,tT T 时时时时刻的刻的刻的刻的绝对值绝对值绝对值绝对值表示表示表示表示随机

41、随机随机随机过过过过程在程在程在程在时时时时刻刻刻刻s,ts,t所所所所处处处处状状状状态态态态的的的的线线线线性性性性联联联联系的密切程度系的密切程度系的密切程度系的密切程度，若，若C Cx x(s,ts,t)的的绝对值较绝对值较大，大，则则在两个在两个时时刻刻s,ts,t的状的状态态X X(s s),),X X(t t)线线性性联联系系较较密切；若密切；若C Cx x(s,ts,t)的的绝对值较绝对值较小，小，则则在两个在两个时时刻刻s,ts,t的状的状态态X X(s s),),X X(t t)线线性性联联系不密切系不密切.4 4、随机、随机、随机、随机过过过过程的相关函数程的相关函数程的

42、相关函数程的相关函数设设 X X(t t),),t t T T 是一随机是一随机过过程，程，X X(s s),),X X(t t)是两个是两个随机随机变变量，如果量，如果E E X X(s s)X X(t t)存在，存在，记为记为R Rx x(s,ts,t),),则则称称R Rx x(s,ts,t),),s,ts,tT T 为为 X X(t t),),t t T T 的的相关函数相关函数相关函数相关函数.2.4 随机过程的数字特征5 5、随机过程的均方值函数、随机过程的均方值函数、随机过程的均方值函数、随机过程的均方值函数设设 X X(t t),),t t T T 是一随机过程，是一随机过程，

43、是一随机变量，如是一随机变量，如果果 E E X X(t t)2 2 存在，记为存在，记为x x(t t)，则称，则称x x(t t),),t tT T为为 X X(t t),),t t T T 的的均方值函数均方值函数均方值函数均方值函数.2.4 随机过程的数字特征6 6、随机过程数字特征的关系、随机过程数字特征的关系、随机过程数字特征的关系、随机过程数字特征的关系随机过程随机过程 X X(t t),),t t T T 的的协方差函数、相关函数和均值函协方差函数、相关函数和均值函协方差函数、相关函数和均值函协方差函数、相关函数和均值函数的关系数的关系数的关系数的关系为为 C Cx x(s,t

44、s,t)=)=R Rx x(s,ts,t)-)-m mx x(s s)m mx x(t t)，s,ts,tT T 在协方差函数的定义式中，取在协方差函数的定义式中，取s=ts=t，则随机过程的则随机过程的方差函方差函方差函方差函数和协方差函数的关系数和协方差函数的关系数和协方差函数的关系数和协方差函数的关系为为 D DX X(t t)=)=C Cx x(t,tt,t),),t tT T 类似地，类似地，均方值函数和相关函数的关系均方值函数和相关函数的关系均方值函数和相关函数的关系均方值函数和相关函数的关系为为 x x(t t)=)=R Rx x(t,tt,t),),t tT T 2.4 随机过

45、程的数字特征l l从上述关系可以看出，从上述关系可以看出，均值函数和相关函数是随机过程均值函数和相关函数是随机过程均值函数和相关函数是随机过程均值函数和相关函数是随机过程的两个本质数字特征的两个本质数字特征的两个本质数字特征的两个本质数字特征，其它的数字特征可以通过本质的，其它的数字特征可以通过本质的数字特征获得数字特征获得.l l随机过程的均值函数称为随机过程的均值函数称为随机过程的一阶矩随机过程的一阶矩随机过程的一阶矩随机过程的一阶矩，均方值函，均方值函数称为数称为随机过程的二阶矩随机过程的二阶矩随机过程的二阶矩随机过程的二阶矩.显然，相关函数、协方差函数、显然，相关函数、协方差函数、方差

46、函数也是随机过程的一种二阶矩。方差函数也是随机过程的一种二阶矩。2.4 随机过程的数字特征例例例例 2.4.1 2.4.1 设设X X(t t)=Acos=Acos t+Bsint+Bsin t,t,t t+,其中其中A,BA,B是相互独立，是相互独立，且都服从正且都服从正态态分布分布N N(0,(0,2 2)的随机的随机变变量，量，是是实实常数常数.试试求求 X X(t t),),t t+的均的均值值函数和相关函数函数和相关函数.解解解解 m mX X(t t)=)=E E X X(t t)=)=E E AcosAcos t+Bsint+Bsin t t=(=(EAEA)coscos t+t

47、+(EBEB)sinsin t=t=0 0 R RX X(s,ts,t)=)=E E X X(s s)X X(t t)=)=E E(AcosAcos s+Bsins+Bsin s s)()(AcosAcos t+Bsint+Bsin t t)=(=(EAEA2 2)coscos s coss cos t+t+(EABEAB)()(sinsin s coss cos t+cost+cos s sins sin t t)+)+(EBEB2 2)sinsin s sins sin t t =2 2 coscos(t-st-s)2.4 随机过程的数字特征EA2=(EA)2+DA=2 EAB=EA EB

48、=0coss cost+sins sint=cos(t-s)例例例例 2.4.2 2.4.2 设设X X(t t)=acos=acos(t+t+),),t t+,其中其中a a和和 是是常数，常数，是服从是服从0,20,2 上均匀分布的随机上均匀分布的随机变变量，求量，求 X X(t t),),t t+的数字特征的数字特征.解解解解 由于由于 的概率密度函数的概率密度函数为为2.4 随机过程的数字特征 于是于是 2.4 随机过程的数字特征 2.4 随机过程的数字特征例例例例 2.4.3 2.4.3 设设X X(t t)=A+Bt,=A+Bt,t t+,其中其中A,BA,B是相互独立的随是相互独

49、立的随机变量，且均值为机变量，且均值为0 0，方差为，方差为1 1，求，求 X X(t t),),t t+的数的数字特征字特征.解解解解 m mX X(t t)=)=E E X X(t t)=)=E E A+BtA+Bt=EA+tEBEA+tEB=0,=0,t t+R RX X(s,ts,t)=)=E E(A+BsA+Bs)()(A+BtA+Bt)=)=EAEA2 2+(s+ts+t)EAB+stEBEAB+stEB2 2 =1 1+st,+st,t t+C CX X(s,ts,t)=)=R Rx x(s,ts,t)-)-m mx x(s s)m mx x(t t)=1+)=1+st st ,

50、t t+D DX X(t t)=)=C CX X(t,tt,t)=1)=1+t+t2 2,t t+X X(t t)=)=R RX X(t,tt,t)=1)=1+t+t2 2,t t+2.4 随机过程的数字特征第2章 随机过程的基本概念2.1 2.1 2.1 2.1 随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义随机过程的定义2.2 2.2 2.2 2.2 随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例随机过程的分类和举例2.3 2.3 2.3 2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族2.4 2.4 2.4 2.4