2019-2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题42点、线、面的位置关系.pdf

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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 42 点、线、面的位置关系【热点聚焦与扩展】平面的基本性质、点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，关于平行关系、垂直关系的证明，多是解答题的一问平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，因此，要加强基本判定定理、性质定理的理解与记忆.本专题通过例题说明点、直线、平面之间的位置关系问题求解方法,为解答更为复杂的问题提供坚实基础.（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则

2、过这条直线的平面与已知平面的交线 和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若 平面外的一条直线l与平面上的一条直线平行，则l（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线l与平面上的两条 相交 直线垂直，则l（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线

3、的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交 直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线,a b对应的法向量为,a b，平面,对应的法向量为,m n（其中,a b在,外）（1）abab（2）abab（3）aam（4）aam（5）mn（6）mn3、有关向量

4、关系的结论（1）若,ab bc，则ac平行+平行平行（2）若,ab bc，则ac平行+垂直垂直（3）若,ab bc，则,a c的位置关系不定.4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假【经典例题】例 1.【2017 课标 1，文 6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）AB推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料CD【答案】A【解析】例 2.【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三9 月测试】设是两条

5、不同的直线，时一个平面，则下列说法正确的是（）A.若则 B.若则C.若则 D.若则【答案】C【解析】对于A，若还可以相交或异面，故A是错误的；对于 B.若，可以是平行的，故B是错误的；对于 C.若则，显然 C是正确的；对于 D.若则，显然 D是错误的.故选：C.例 3.【2018 届河北省邢台市高三上第二次月考】已知直线l平面，直线/m平面，则下列命题正确的是（）A.若，则/lm B.若lm，则/C.若/l，则m D.若/，则lm【答案】D【解析】对于A，若，直线l平面，直线/m平面，则l与m可能平行、相交、异面，故不推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料正确；对于B，若lm，直线l平面，直

6、线/m平面，则与可能平行也可能相交，故B不正确；对于 C,若/l,m与的位置不确定，故C不正确；对于D，若/，直线l平面，则直线l平面，又因直线/m平面，则lm正确；故选D.例 4.【2018 届云南省昆明市5 月检测】在正方体中，分别是的中点，则（）A.B.C.平面 D.平面【答案】D 平行的一条直线，证其垂直于平面.故分别取的中点 P、Q，连接 PM、QN、PQ.可得四边形为平行四边形.进而可得.正方体中易得，由直线与平面垂直的判定定理可得平面.进而可得平面.详解：对于选项A，因为分别是的中点，所以点平面，点平面，所以直线 MN是平面的交线，又因为直线在平面内，故直线MN与直线不可能平行，

7、故选项A错；对于选项B，正方体中易知，因为点是的中点，所以直线与直线不垂直.故选项B不对；对于选项C,假设平面，可得.因为是的中点，所以.这与矛盾.故假设不成立.所以选项C不对；对于选项D,分别取的中点 P、Q，连接 PM、QN、PQ.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料因为点是的中点，所以且.同理且.故选 D.点睛：在立体图形中判断直线与直线、直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线平行、垂直的判定定理、性质定理，直线与平面平行、垂直的判定定理、性质定理.注意直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直之间的互相推导.要判断选项错误，可用反证法得到矛盾.例 5.【2017 课标 3，文

8、 10】在正方体1111ABCDA B C D中，E为棱CD的中点，则（）A11A EDCB1A EBDC11A EBCD1A EAC【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A EDC，那么11D EDC，很显然不成立；B.若1A EBD，那么BDAE，显然不成立；C.若11A EBC，那么11BCB C，成立，反过来11BCB C时，也能推出11BCA E,所以C 成立，D.若1A EAC，则AEAC，显然不成立，故选C.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 6.【2018 届安徽省六安市毛坦厂中学四月月考】已知是两个不同的

9、平面，是一条直线，给出下列说法：若，则；若，则；若，则；若，则.其中说法正确的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】分析：若，则，或或与相交且与不垂直.故选 C.例 7【2018 届福建省三明市5 月测试】如图，已知正方体的棱长为2，则以下四个命题中错误的是A.直线与为异面直线 B.平面C.D.三棱锥的体积为推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】D【解析】分析：在A中，由异面直线判定定理得直线A1C1与 AD1为异面直线；在 B中，由 A1C1AC，得 A1C1平面 ACD1；在 C中，由 AC BD，AC DD1，得 AC 面 BDD1，从而 BD1AC；在 D

10、中，三棱锥D1ADC的体积为 在 D中，三棱锥D1ADC的体积：=，故 D错误故选：D例 8.【2018 届广西钦州市第三次检测】如图，在四棱柱中，平面，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，则下列结论正确的是_对于任意的点，都有对于任意的点，四边形不可能为平行四边形存在点，使得为等腰直角三角形存在点，使得直线平面【答案】【解析】分析：根据面面平行的性质判断A，B，使用假设法判断C，D推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料详解：（1）AB CD，AA1DD1，平面 ABB1A1平面 CDD1C1，平面 APQR 平面 ABB1A1=AP，平面 APQR 平面 CDD1C1=RQ，AP

11、QR，故 A正确例 9.【2017 山东，文 18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（）证明：1AO平面B1CD1;（）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.【答案】证明见解析.证明见解析.【解析】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料试题分析：（）取11B D中点F,证明1/AOCF,（）证明11B D面1A EM.(II)因为ACBD,E，M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,因为ABCD为正方形,所以AOBD,又1A E平面ABCD,BD

12、平面ABCD所以1,A EBD因为11/,B DBD所以11111,EMB DA EB D又1,A E EM平面1A EM，1A EEME.所以11B D平面1,A EM又11B D平面11B CD,所以平面1A EM平面11B CD.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料点睛：证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书

13、写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行例 10.【2017 北京，文18】如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】详见解析【解析】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由（I）知，PA平面PAC，所以DE平面PAC.所以三棱锥EBCD的体积1163VBD DC DE.点睛：线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证

14、明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.【精选精练】1.如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料A.B.C.D.【答案】D【解析】2【2018 届河南省南阳市第一中学第十五次考】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（）若则；若，则；若，则；若，则.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B 【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定和性质，即可判定命题的真

15、假.详解：对于中，若，则或，所以不正确；对于中，若，则，又由，所以是正确；对于中，若，则或与相交，所以不正确；对于中，若，则，又由，所以是正确的，综上正确命题的个数为2 个，故选B.3.【2018 届东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）三模】已知互不相同的直线，和平面，则下列命题正确的是（）A.若与为异面直线，则；B.若，则；C.若，则；D.若，则推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】C 4【2018 届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知互不相同的直线和平面,则下列命题正确的是(）A.若与为异面直线,则 B.若.则C.若,则 D.若.则【答案】C.【解析】分析：对于，可利用面

16、面平行的判定定理进行判断；对于，可利用线面平行的判定定理进行判断；对于，可利用面面垂直的性质进行判断.详解：若与为异面直线，则与平行或相交，错，排除；若，则与平行或异面，错，排除；若，则或相交，错，排除，故选 C.5.【2018 届广东省湛江市二模】下列命题正确的是：三点确定一个平面；两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面.A.B.C.D.【答案】C 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确.综

17、上可得：命题正确的是：.本题选择C选项.6.【2018 届河北省武邑中学一模】已知平面，直线，且有，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则，其中正确命题个数有（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】分析：利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行判断即可.详解：有l，m?，给出下列命题：若，l ，又 m?，则 l m，正确；若 l m，m?，则，正确；若，则 l m或异面直线，不正确；若 l m，则 或相交，因此不正确其中，正确命题个数为2故选：B7.【2016 高考新课标2 理数】,是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,/mn mn，那么.（2）如果,

18、/mn，那么mn.（3）如果/,m，那么/m.（4）如果/,/mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有(填写所有正确命题的编号）【答案】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】8.如图，在正方体中，过对角线的一个平面交于点，交于.四边形一定是平行四边形；四边形有可能是正方形；四边形在底面内的投影一定是正方形；四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）【答案】【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：如图所示：由于平面BCB1C1平面 ADA1D1，并且 B、E、F、D1，四点共面，故ED1 BF，同理可证，F

19、D1EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故正确；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料9【2018 届江苏省南京市三模】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，有如下四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题为_（填所有真命题的序号）【答案】【解析】分析：，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误详解：对于，当l ，l 时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知，正确；对于，l ，时，有 l 或 l?，错误；对于，l ，l 时，根据线

20、面平行的性质与面面垂直的定义知，正确；对于，l ，时，有 l 或 l 或 l?或 l 与 相交，错误综上，以上真命题为故答案为：10.【2017 江苏，15】如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC.【答案】（1）见解析（2）见解析推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】证明：（1）在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.11.如图，已知菱形的边长为，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，

21、点是棱的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）由题意知，为的中点，为的中点，又平面，平面，平面（2）由题意结合勾股定理可得由菱形的性质可得；结合线面垂直的判断定理可得平面，则平面平面详解：（1）由题意知，为的中点，为的中点，又平面，平面，平面推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（2）由题意知，点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题12【2018 年山东省烟台市春季高考一模】如图，在四棱锥中，平面，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设点为的中点，点为中点，求证平面【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【解析】分析：（1）由题意得，利用线面垂直的判定定理，即可得到面（2）由题意，又面，得，证得平面，利用面面垂直的判定定理，即推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（2），又面，面，又，又面，面面（3）在中，为中点，为中点，又 面，面，面