群论第一章ppt.ppt

《群论第一章ppt.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《群论第一章ppt.ppt（32页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、群群 论论（学位课 三学分）北京邮电大学理学院杨伯君1总总 序序 数学是一门研究自然和社会现象中的数量关系和空间形式的科学，在人们认识世界和改造世界过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具一直发挥着重要的作用。作为各门科学的重要基础，作为现代化建设的重要武器，作为人类文明的重要支柱，数学科学在很多重要的领域中已起着关键性甚至决定性的作用，数学技术已成为高技术的突出标志和重要组成部分，数学的影响和作用已深入到各行各业.马克斯曾经指出：“一门科学只有当它成功地应用了数学之后，才算达到了真正完善的地步”。在研究生的培养中，重视数学基础的训练，强调数学思想的熏陶，是培养创新型人材的必需,已成为一

2、种时代的需求。数学是我们学习中最重要的基础课，但数学只有当它应用于我们研究 的学科才显示其价值，也只有当你学到的数学知识能用于你的工作，你才能体会到学习数学的乐趣。因此大家不仅要认真学，而且要想法去用。特别是群论,作为研究对称性的理论基础，应能应用于物理和工程的各个方面，目前还有待开发。2前前 言言 物理学理论总的来说分为动力学理论和对称性理论，动力学理论的数学基础是数学物理方法，对称性理论的数学基础是群论。群论确定为物理专业研究生的学位课,这是由于自20世纪60年代以来,对称性的研究在许多物理学的分支中显示其重要性,它一方面是提供一种理论可以统一解释一些实验事实,特别对那些动力学理论还不完善

3、的领域,例如在基本粒子中.另一方面是它的简明性与严格性,给出某些理论结果是动力学理论所不及的,而且还对动力学理论的发展有指导意义。另外，对称性还与守恒定理有密切的联系。正因为如此,对称性的研究在近代物理许多分支中起重要作用。3前前 言言 什么是对称性,对宏观物体来说,对称性就是在一定的变换下物体不变,称对称变换.对一个量子系统来说,对称变换就是在变换中系统的哈密顿量不变。对称变换有一定的数学性质,称为群性质.一定性质变换元素的集合常形成一个群,因此对称性质的研究与群的数学理论直接相联系,要很好地研究系统的对称性质就必需熟悉群论（group theory）。对称性普遍存在,因此群论也用到物理学的

4、很多方面,如 经典振动系统的本征函数与能态的分类,固体空间的点阵排列,晶体的分类，原子,分子,固体能级分类,原子核谱分析,组态,本征函数变换,基本粒子的分类,等等.4前前 言言 另外群论在通信理论中有重要的应用,目前从文献上看到的主要在两个方面:编码与网络.用群论来编码,可以使编码数学结构更清楚.具有群性质的码称为群码.可以是线性码和循环码.网络从数学上看就是一个图,在图中有一类是对称图,对应于对称网络,它具有群的性质.由于在通信理论中主要应用的是有限群,由学时限制,本课程首先介绍有限群及其表示论的基本概念和理论，并介绍群论在通信理论中的某些应用。最后介绍李群与李代数。李群与李代数是群论中研究

5、最多，物理学中应用最广泛的群，它在原子分子物理，核物理和粒子物理中广泛应用.特别值得指出的是李群与李代数在量子调控中有重要的应用。若一个量子系统用 和 来描述，取 ，X（t）的变化利用Schrodinger方程有，其中A对应内部哈密顿量，为外部哈密顿量，为调制函数。量子系统能调控的充分与必要条件是生成李代数u(n)的一个子代数，它对应的群是李群U（n）的子群。5前前 言言 本课程分以下几章本课程分以下几章1，物理学中的对称性，物理学中的对称性;群论是研究对称性的数学工具，要了 解学习群论的意 义，应该对物理系统的对称性有所了解，知道对称性的研究对了解物理系统性质 中的重要性.本章将介绍对称性的

6、意义,对称性与群的关系和 对称性的分类。2，群的基本知识，群的基本知识;本章将介绍群的基本概念，子群，同态与同构，共轭类，不 变子群与商群，群的直积，最后介绍几个简单的群例。3，群的表示理论，群的表示理论;本章将介绍群表示的定义、等价表示、不可约表示、么正表示 和表示直接乘积。然后讲有限群的表示理论、有限群表示的特征标理论、群代 数，作为有限群表示实例，介绍置换群的不可约表示。最后介绍矩阵群。4，点群，点群;点群是三维实正交群的一个有限子群,点群作为有限群的典型实例，对 理解群及群表示论是有价值的。它对研究分子结构和晶体结构有重要意义。5，转动群，转动群;本章将介绍三维转动群SO（3）和二维幺

7、模幺正群SU(2)。6，群论在通信理论中的应用，群论在通信理论中的应用;本章将介绍群论在编码与网络中的应用。7，李群与李代数，李群与李代数;李群是无限群的一类，是当今研究比较多而在物理学中应用最 广泛的群。本章先介绍李群和李代数的基本概念，然后介绍它在物理学中的某些 应用，主要是我在90年前后作过的一些工作。6主要参考书主要参考书 1.韩其智,孙洪洲，群论，北京大学出版社 1987 2.徐婉棠,喀兴林，群论及其在固体物理中的应用，高教出版社 1999 3.马中骐，物理学中的群论,科学出版社 1998 4.E.P Wigner，Group Theory,Acadamic Press New Yo

8、rk 1959 5.马中骐，群论习题精解，科学出版社 2002 6.B.G.怀邦，典型群及其在物理学上的应用，科学出版社 1982.7.S.Sternberg,Group Theory and Physics,Cambridge University Press 19947绪论绪论(preface)“群论”是“近世代数”的一个重要内容，近世代数还有环、域等内容。它们都有一定代数结构数学元素的集合。群概念最早引入是1771年，Lagrange在求代数方程的根时引入的。他发现二次、三次和四次代数方程的解与二元素、三元素与四元素的置换变换有直接联系。后来Gauss(1801)、Abel(1829)和

9、Galois(1831)等进一步发展。Galois(1801-1832)建立了代数方程群的一般理论。他根据代数方程根的置换对称性证明五次和五次以上代数方程不能通过有限消元法求出方程根的精确解。第一次显示群论方法在研究系统对称性中的巨大潜力。他还引入了子群和单纯群的概念，后来Klein(1872)和Lie(1893)将群概念用于数学其它领域。将群论方法和微分方程的研究结合。把有限群概念扩充到无限群，并建立连续群的理论。19世纪末20世纪初，由Frobenius和Burnside独自开创了由线性群（或等价的矩阵群）来描述群的理论（即群的表示论），群论才形成一个完整的理论体系。8绪论绪论(prefa

10、ce)Federov(1890)和Schoenflies（熊夫利）将群论方法用于物理学中的晶体分类。显示晶体点群只有32种，这是群论方法在物理学中第一次成功的应用。我们介绍群论除抽象群外，还介绍群的表示理论，而群的表示理论在物理学中有广泛的应用。群论已成为近代物理专业研究生的必修课之一。近代物理有两个重要基础，一是动力学理论，其数学基础是数学物理方程。电动力学，量子力学，固体物理都应用。另一个是对称性理论，其数学基础就是群论。对称性研究也深入物理学的各个分支。包括分子物理，固体物理，核物理和粒子物理，都利用群论研究其中的对称性质。对称性分析不仅帮助我们求得某些问题的解，也能帮助人们去寻找新的运

11、动规律。9绪论绪论(preface)群论在核物理中的应用最早是1937年,Wigner利用4维幺模幺正群SU(4)去讨论核力的自旋-同位旋的无关性,1949年Racah提出辛群Sp(n),用它研究核中的对效应,1958年Elliatt利用SU(3)群去讨论核的转动性质.1975年后Arima提出原子核振转谱的U(6)模型.在粒子物理中,1959年Sakata等人利用SU(3)群讨论基本粒子的结构模型,1961年Gell-Man和Neuman提出了强作用粒子幺正对称性的八重态模型,并在此基础上提出基本粒子的Quark模型.10绪论绪论(preface）群论已逐步在通信理论中应用。群论用来编码可以

12、使编码数学结构更清楚。线性码可以用有限交换群来讨论，循环码可以用循环群代数的理论来表示.编码理论伴随信息论诞生于20世纪40年代,编码理论和技术的目的是把信息编为符号序列,以使它在传送中具有较好的纠错能力,群论用于编码理论始于20世纪50年代,在70年代有较大的发展.利用群论研究对称性网络,包括无线网，光网和Intel网,目前查到最早的文章是1989年,Akers等人提出对称性互联网的一个群理论模型,后面工作基本上是在这工作基础上的发展。群论在网络优化中的应用是一个值得研究的课题，2008年与2009年两度列入国家自然科学基金重大项目之中。11第一章第一章 物理学中的对称性物理学中的对称性 前

13、面提到群论是研究对称性的数学工具，要了解学习群论的意义，应前面提到群论是研究对称性的数学工具，要了解学习群论的意义，应该对物理系统的对称性有所了解，知道对称性的研究对了解物理系统性质该对物理系统的对称性有所了解，知道对称性的研究对了解物理系统性质中的重要性。中的重要性。对称性是自然界的一个重要特性，它给人们一个和谐优美的感受，如对称性是自然界的一个重要特性，它给人们一个和谐优美的感受，如人长得就比较对称，谁要是少一个胳膊或一个腿，失去对称，失去优人长得就比较对称，谁要是少一个胳膊或一个腿，失去对称，失去优美，生活也不方便。美，生活也不方便。对称性使物理规律具有和谐优美的形式，对称性常常对物理过

14、程带来对称性使物理规律具有和谐优美的形式，对称性常常对物理过程带来某些限制，这限制对解复杂的物理方程带来简化，如多体某些限制，这限制对解复杂的物理方程带来简化，如多体Schrodinger方方程。另一方面，对了解很少的物理系统，如基本粒子，可以从有限的测程。另一方面，对了解很少的物理系统，如基本粒子，可以从有限的测量数据推测它应有的对称性质。因此对称性分析量数据推测它应有的对称性质。因此对称性分析群论方法在近代物理群论方法在近代物理的多个分支中起重要作用。的多个分支中起重要作用。本章分以下几节本章分以下几节:1,对称性的意义；对称性的意义；2，对称性与群；，对称性与群；3，对称性的分类。，对称

15、性的分类。121,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 1.1几何对称性与物理系统对称性几何对称性与物理系统对称性 对称性是一个广泛应用的概念，最简单的几何对称性，即一定的几何图形在某些变动下能够复员。这变动可以是平移、转动或反演，使某一图形复员的变动，称为这图形的对称操作或对称变换。为了描绘一个图形的对称性，一个简单方法是列出它的全部对称操作。图1.1，（a）平面三角形，（b）正四面体。例如，对平面等边三角形，其全部对称操作是绕三角形的中心转0度、120度和240度，对每个角分线的反演，共六种。对正四面体，在其相应对称操作有12个，它有四个正三角形表面和六条棱边。从每个角顶到相对表面中心连线

16、是一个三阶轴。两个相对棱边中点连线是一个二阶轴。三阶轴对应两种变换，二阶轴对应一种变换，共12种。131,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 我们更关心是物理系统的对称性，对物理系统来说，其对称性应与其结构有关，例如，原子具有球对称性，分子具有与其几何形状相应的对称性，晶体具有空间点阵对称性等。但必需指出许多物理对称性并不具有直接的几何意义，例如全同粒子对称性，质子和中子在核力方面表现出来的对称性等。物理系统具有某种对称性的含义是什麽？它是指系统的运动方程在某种变换下的不变性，这些变换称为该系统或运动方程的对称变换。物体系统运动方程通常是描述某个物理量在外场作用下的时空变化，体系的对称性，即

17、是相互作用的对称性，相互作用在某些变换下的不变性。这些变换包括时空变换，粒子的置换变换，正反粒子共轭变换，幺正变换等。141,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 在非相对论量子力学，经常使用外场的概念，外场存在使系统对称性降为外场的几何对称性，全同粒子的置换对称性对多体问题是重要的。因此，这两种对称性对于原子，原子核，分子和固体系统的理论，具有重要的意义。1.2，对称变换，对称变换 在量子力学中，一个系统的状态用波函数（r）来描述，现考查在空间变换和粒子的置换变换下波函数的导出形式，以及对称变换的条件。用f表示坐标空间的一个变化，它使r变成 记为 f 可以是平移a，绕z轴转角，或对原点的反演

18、，具体表示为：平移151,1 1,1 对称性的意义对称性的意义绕z轴转动和反演 当坐标空间发生变化时，系统的状态波函数也会发生变化，变为 ，在 处的值即为在r处的值，可写为 161,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 若将fr记为r，r就变为 ，上式可以写为 （1.2）波函数（r）变为 的变换，也可以用一个算符 来表示，记为 也可写为 ，这式可以看成算符 的定义。当f为空间反演时，便是宇称算符，当f是空间平移时，是平移算符，从（1.2）式出发，利用泰勒展开可以推出平移算符的显式为其中 是动量算符。171,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 当f为空间转动时，取转动矢量为 ，它的方向为转轴方

19、向，是转角的大小，为转动算符。其显式为 ，其中,为角动量算符。对给定系统，变换是否对称变换要由系统的运动方程在 作用下是否改变来决定，即要看和 是否满足同一方程，设满足Schrodinger方程，（1.3）是系统的Hamilton算符。181,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 假定 是一个与t无关的算符，将其作用在方程（1.3）的两边，得 （1.4）从上两式看出，和 满足同一方程要求 （1.5）上式表明，一个变换是对称变换的必要而充分的条件是这变换算符与系统的Hamilton算符对易。在量子力学中，全同粒子是不可区分的，当两个粒子交换时，系统的Hamilton量不变，因此，在任何情况下，全

20、同粒子的置换变换是对称变换。191,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 1.3，对称性与守恒定律，对称性与守恒定律 在物理学的研究中，守恒定律具有非常重要的作用。人们经常观测到某些物理量在变化过程中总是不变的，这些量就是守恒量。守恒定律与对称性之间有密切关系。关于守恒定律与对称性之间的联系，最早由Jacobi在1842年所注意，他用拉氏函数描述经典力学系统时，从拉氏函数在平移下不变，导出线动量守恒。在转动运动下不变，给出角动量守恒。1887年schatz从拉氏函数的时间平移不变，得到能量守恒。现在人们都习惯用Hamilton量而不是用拉氏函数讨论对称性与守恒定律的联系，因它在量子力学中更为方

21、便。不管在经典力学还是量子力学中，线动量，角动量和能量的守恒都来自Hamilton量在平移、转动和时间平移下的对称性，更暜遍地说，物理系统的任一个守恒定律都对应哈密顿量在相应变换群下是不变的。反过来不能说一种对称性一定存在一个守恒定律，例如时间反演对称性就没有相应的守恒定律。201,1 1,1 对称性的意义对称性的意义 Wigner指出，在量子力学中，对称变换都对应一个幺正算符或反幺正算符，对幺正算符则伴随守恒律，若在反幺正变换下就没有明确的守恒律，如时间反演，但会带来其它的限制。如果描述粒子相互作用的哈密顿量，在一个幺正变换下是不变的，则我们能看到系统的散射矩阵在这变换下也不变，即反应截面不

22、变。例如研究两个极化电子束的散射，当极化电子束平行与反平行于束方向时，相互作用哈密顿量不变则马上可以推出这两种反应截面相同。当然这结果可以利用量子场论计算给出。在有些情况下，相互作用性质不清，真实的哈密顿量写不出来，但利用对称性也能预言某些结果，例如，质子质子的散射，核力的细节不清，相互作用H写不出来，但利用对称性仍然能预言极化质子平行与反平行于束方向极化，其散射微分截面相等。对称性的讨论还能给出某些跃迁过程的选择定则，这些选择定则使我们能预言反应是否能发生。例如，在任何反应中，总电荷守恒，即反应中有以下选择定则 。211.2,1.2,对称性与群对称性与群 一个几何图形或物理系统的对称性可以用

23、它的对称变换的集合来描述，这对称变换集合具有明显的数学性质：1)任何两个对称变换接连发生（相乘）所得变换仍是一个对称变换；2）当几个对称变换相继连续发生时，在不改变次序的条件下，可以将其随意组合（结合律）；3）恒等变换是对称变换（单位元素）;4)对称变换的逆变换也是对称变换。具有以上性质的集合，数学中称为群。因此，对称变换的性质可以利用群来研究。221.2,1.2,对称性与群对称性与群例如，绕定点的空间转动，它有以下性质;(1)一个物体连续进行两次转动，一定相当从开始到末了绕某轴的一次转动；(2)如果连续完成三次转动，它可以先完成前一次转动然后完成一个等于后两次的转动，也可以先完成等于前两次转

24、动再完成后一次转动，即转动变换满足结合律；(3)转动角度为零为恒等变换，相当单位元素；(4)如果绕某轴转动角，一定可以绕同轴转动-而复原，第二次转动为第一次转动的逆元素。这样所有的转动的集合构成一个群，称为转动群，记为SO（3）。231.2,1.2,对称性与群对称性与群 空间转动可以连续变化，它是连续群。如果群元素都可以表示为一组参数的函数，而且函数可微，这群称为李群，李群在物理学中广泛使用。几何图形对称变换形成的群常是不连续的，有限的。例如利用以下六种操作可保持平面正三角形不变：e 是不转，a 为 绕轴1转 ，b 为绕轴2转 ，c 是绕轴3转 ，d为 绕垂直轴z逆时钟转2 /3，f是 绕z轴

25、顺时钟转2 /3。它们构成一个6元素的群 ，不难证明 满足群的四点要求。总之对称变换，与代数中的群密切相关，因此人们可以通过研究群的性质来了解物理中的系统各种对称性质。241.3 对称性的分类对称性的分类 在物理学中有多种不同的对称性，根据它们性质与原因不同，可以分为三类:一种是客观存在严格对称性，另一种是不严格的近似对称性，还有一种是为了讨论问题而引入的，称为模型对称性。下面分别介绍。3.1，严格对称性，严格对称性 对我们来说最熟悉的严格对称性是空间、时间平移及空间转动对称性，可以证明它们对应动量、能量和角动量守恒。还有一种对称性是来自相对论的Lorentz变换下的不变性，即两个相对以匀速直

26、线运动坐标系之间变换具有不变性，英语中称为Boost，与Boost有关的物理守恒定律不太有用，因一般物理系统角动量守恒，而角动量算符与Boost相联系的算符不对易，因此不能从Boost联系的守恒定律给出有用的选择定则。以上四种对称性，十个守恒量组合起来称为在非均匀Lerentz变换下的对称性，这种对称性目前在物理领域认为是精确的，相应的时空是平滑的。251.3 对称性的分类对称性的分类 另一类严格对称性是在总体规范变换下的不变性，或称第一类规范不变性。这种对称性联系着电荷（Q）守恒，重子数（B）守恒与轻子数（L）守恒，所谓规范变换，在学习电磁场理论时有一个例子，电磁规律具有Lorentz规范不

27、变性，就是当利用矢势 和标势描述电磁场时，和做以下变换;是任一标量函数，给出同样的电场强度和磁场强度。就说电磁规律在Lorentz规范变换下具有不变性。这种规范变换意味着静电势的零点可以任意取。则在电荷守恒下能量守恒。重子数守恒也是一种规范变换下的不变性，即重子数规范变换下具有不变性，即当 时系统的性质不变。因系统的相互作用能量是依赖于 ，因此与相因子无关，其中B是重子数。即表明不同重子数态的相因子不可区分。261.3 对称性的分类对称性的分类 当 时，相应系统的Hamilton量变换为 若方程不变有 则 ，所以，【B，H】=0。在量子力学中知道，任何一个力学量，若与Hamilton量对易，就

28、为守恒量。因此重子数是守恒量。类似可以证明电荷数和轻子数守恒。重子数、轻子数和电荷数守恒已为大量实验事实所证明。271.3 对称性的分类对称性的分类 除总体规范变换下不变性外，电磁相互作用在定域规范变换下是不变的，如果假定Hamilton量是在总体规范变换下不变，而不是在定域规范变换下不变，则对称性就不是精确的，现在已有一种理论推测重子数、轻子数守恒只是一个近似守恒定律，这理论就是所谓大统一理论。下面介绍与全同粒子交换有关的对称性，由于全同粒子是不可区分的，因此全同粒子系统的所有可观测量都是相对于全同粒子交换是对称的，否则我们可以利用这个可观测量来区分全同粒子。量子力学状态常用一组力学量的本征

29、值来表征，因此，量子力学状态，在全同粒子交换下应有确定的对称性质。从实验所知，具有整数自旋的全同粒子系统，当两个粒子交换时状态是对称的；而具有半整数自旋的全同粒子系统，当两个粒子交换时，状态是反对称的。全同粒子状态这些性质构成一个定律，称自旋-统计定律。281.3 对称性的分类对称性的分类3.2 近似对称性近似对称性 前面讨论严格对称性是对所有相互作用都成立的，至少对强相互作用，电磁作用，和弱相互作用是如此。下面介绍一些对称性只是近似的，或者说只在某些作用下成立，而在另外作用下不成立。但在近代物理中人们对它们具有更大的兴趣。首先要介绍的是坐标空间的反演对称性，它对应的守恒量就是宇称守恒。在19

30、57年以前，人们认为空间左右对称性是严格的，直到李政道和杨振宁提出弱相互作用下宇称不守恒，尔后为吴健雄等人实验所证明时，才知道空间反演对称性是近似的，只在强相互作用和电磁相互作用下成立。另一种近似对称性，是正反粒子相互替换的对称性，或称电荷共轭变换C，与这对称性有关的守恒定律就是电荷共轭宇称，或C宇称。291.3 对称性的分类对称性的分类 它也只在强相互作用和电磁相互作用下成立，而弱相互作用下不成立。至于CP联合变换，P是坐标空间的反演，原来认为CP联合变换在弱相互作用下成立，但1964年人们从 介子衰变中发现它在弱相互作用下也不成立，它也是一个近似对称性。下面考虑时间反演（T）下的对称性，在

31、量子力学中，时间反演是一个反幺正变换，因此，没有相应的守恒定律，人们从 介子衰变实验结果分析中给出T变换在弱相互作用中不是严格对称的。单独证实T违反是困难的，现在都通过CPT定律来证明。在量子场论中，可以证明CPT联合变换是严格对称的，应有CPT定律，若CP不变，T也不变。因C和P相应幺正变换，T相应反幺正变换，则CPT对称性是反幺正的，所以它没有相应的守恒定律。但CPT联合变换下不变性有些重要的推论，例如，一个结果是正反粒子的质量相等。301.3 对称性的分类对称性的分类 3.3 模型对称性模型对称性 在近代物理中，常引入一些模型，原子、分子、原子核或基本粒子，在这模型空间中具有某种对称性，

32、对称性质的研究，可以给出这些微观粒子的结构和能谱的某些知识。例如，基本粒子中的Quark模型，认为基本粒子是由Quank组成，在粲数粒子没发现之前，认为Quark有三味，它们构成SU（3）群基础表示的基矢，基本粒子可以用SU（3）群的一维、八维和十维表示来分类。又如原子核低激发谱的U(6)模型，对于偶偶核，两个核子耦合成玻色子，用玻色子来模拟费米子对，s和d六种玻色子形成SU（6）群的基底，利用玻色子相互作用，而给出原子核的振转能谱。在原子核的相互作用玻色子模型启发下，人们提出了双原子分子的U(4)模型和三原子分子的U(5)模型，用其计算分子的低激发谱和受激Raman都取得较好的效果，有关具体的结果将在课程的最后一章介绍。31第一章习题第一章习题 1.1，考虑一个平面四边形，它存在那几种保持形状不变的对称变换？1,2，构成一个群的对称变换有那四点要求？1.3，物理学中有那几种对称性？32