计算流体力学2011-ch2 [兼容模式].pdf

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1、1第二章模型方程及其基本性质模型方程及其基本性质用简单的模型方程分析计算方法的性用简单的模型方程分析计算方法的性质，将它和精确解比较，检验计算方法的质，将它和精确解比较，检验计算方法的质，将它和精确解比较，检验计算方法的质，将它和精确解比较，检验计算方法的可靠性，然后推向实际控制方程。可靠性，然后推向实际控制方程。2.1 2.1 偏微分方程的分类偏微分方程的分类2.1 2.1 偏微分方程的分类偏微分方程的分类2.1.1 2.1.1 物理分类物理分类物理分类物理分类（1）平衡问题边值问题（状态不随时间改变）-数学上属于椭圆型方程Example 2.1:均匀介质中的温度平衡问题可以求出解析解,分离

2、变量法得到两个ODE02222)0,(0)1,(),1(),0(1010,0TxTxTyTyT y x yTxT=+0101000 0 0/0 )()(),(0222)Y()X(T)Y()X(YYXXYYXXYXXYYXTXYTyYxXyxTyyxx=+=+=sinh1)1(2)1(sinh)sin(),()1(sinh0)(0 21 )sin)(01010122nnTAynxnAyxTynYYnYYY,.,nx(AxX)Y()X(nnnn=Example 2.2:已知水平速度V，求流函数和势函数VVk 22=+=yuxvyvxu涡度速度散度VVVkVV V -k+=yuxv涡度（2 2）演变

3、（发展）问题）演变（发展）问题波动问题波动问题传输（传导）问题传输（传导）问题由初始状态出发向前计算（初值问题或由初始状态出发向前计算（初值问题或者初边值问题）者初边值问题）Example 2.3 一维固体热传导问题22xTatT=0)0,(),1(0),0(0=xTTtTtT一维波动方程Example 2.4 一维波动方程22222xTatu=0/)0,(,sin)0,(0),(),0(=txuLxxutLTtu22.1.2 2.1.2 数学分类数学分类数学分类数学分类PDE 的三种标准型:双曲型 Hyperbolic抛物型 Parabolic抛物型 a abo c椭园形 Elliptic不

4、同的类型有不同的定解条件和数值解法不同的类型有不同的定解条件和数值解法a,b,g 是常数或者(x,y)的函数.两个自变量的线性二阶 PDE 的一般形式(可以推广到多个变量):),(yxgfedcbayxyyxyxx=+双曲型if b2 4ac 0,抛物型if b2 4ac=0,椭圆型if b2 4ac 0.Note:分型只依赖最高阶导数。实际上，分型是依据他们特征线性质。Example:HyperbolicParabolicElliptic为什么会有这样的分类标准为什么会有这样的分类标准?-根据特征线来确定根据特征线来确定.特征线特征线(characteristic curves):二阶偏微分

5、方程的特征方程：二阶偏微分方程的特征方程：ady2-bdxdy+cdx2=0 或或 a(dy/dx)2-b(dy/dx)+c=0特征方程的积分曲线称为特征线。实特征线个数决定方程类型。双曲：全部为实特征线；椭圆：没有实特征线特征方程的积分曲线称为特征线。实特征线个数决定方程类型。双曲：全部为实特征线；椭圆：没有实特征线aac-bbdy/dx242=定义:如果对算子 L()，L(u+v)=L(u)+L(v)成立（，为常数），称算子 L为线性算子。例如：线性算子：2.2 线性和非线性线性和非线性2222)(yuxuuL+=非线性算子：线性方程（c为常数）：非线性方程：xuuuL=)(0=+xuut

6、u0=+xuctu2.3 一阶PDE的特征方程2.3 一阶PDE的特征方程一阶PDE的一般形式:A ux+B uy=C解是 3D 空间的曲面：u=u(x,y)，假设 A,B C 为常数.由 u=u(x,y)?du=uxdx+uydy （称辅助方程）寻找满足上述两方程的 ux和 uy不唯一（不确定）解。写为矩阵形式：=duCuudydxBAyx3要使(ux，uy)的解不唯一,系数矩阵的行列式必须为零：要求存在有界解，必然有：BdyAdx dydxBA=0ddBC或或AdxCdu dudxCABdyCdu dyduBC=0 0CduBdyAdx=得到两个独立的常微分方程，比原偏微分方程容易求解。方

7、程 dy/dx=B/A称为特征方程。如果 A 和 B 为 常数,得到一束平行直线，沿此直线u满足：Adu/dx=Aux+Buy=C (du=uxdx+uydy）例如,A=1,B=,C=0,将 x表示为t,y表示为x,方程是特征方程：,0=+xutu0 xtxdtdx+=积分得特征线沿特征线解u守恒,即 dudt=0 因为0)/(/=+=xudtdxtudtdu对前面方程，若知道 I.C.和 B.C.,可用特征线法Method of Characteristics(MOC）找到解空间任一点(x1,t1）的解：用公式表示为：u(x1,t1)=u(x0，0)=f(x0)=I.C.由x1-t1=x0

8、x0=x1t1得到：得到：u(x1,t1)=u(x0，0)=f(x1-t1)通解：u(x，t)=u(x0,0)=f(x-t)2.4 2.4 一阶方程组一阶方程组2.4 2.4 一阶方程组一阶方程组(Systems of First(Systems of First-order Equations)order Equations)流体动力学中更经常遇到的是一阶偏微分方程组,通常一个高阶偏微分方程可以改写为一组等价的低阶方程，反之亦然。例如波动方程:可以按照前面的办法(计算b2-4ac)对方程分类并给出特征线方程。对于方程组还可以给出一种替代的方程类型定义方法和特征线产生方法，它基于方程的系数矩阵

9、特征值，称为特征值法。系数矩阵特征值，称为特征值法。将上面的方程组写成矩阵形式:u/t+A u/x=0 (5.3)这里=00 and ccwv Au4定理:双曲型：n阶矩阵A 有n个不相等的实特征值；抛物型：矩阵A 至少有一个实特征值，但是实特征值个数dx/dt=c,和前面得到结果相同!导出兼容性方程(用矩阵右端代替行列式一列让它为零得到)该方法的物理解释不如矩阵方法清楚.Example Problem1-D 线性化无粘性浅水方程:u/t+Uu/x+gh/x=0(1)h/t+Uh/x+Hu/x=0(2)U 和 H 分别是平均流速和未扰动的流体深度(常数）问题问题:1)判断方程组类型并且给出标准

10、型;2)找出特征方程;3)如果存在实特征线,给出相应的兼容性方程5方程(1),(2)改写为:u/t+Uu/x+0 h/t+g h/x=0(3)0u/t+Hu/x+h/t+Uh/x=0(4)增加两个辅助方程:du=utdt+uxdx+0ht+0hx (5)dh=0ut+0ux+htdt+hxdx (6)写成矩阵形式:(7)=dhduhhuudxdtdxdtUHgUxtxt0000001001方程组线性相关(解不唯一),则行列式为零,得到(dx)2-2Udxdt+(U2-Hg)(dt)2=0两边同除(dt)2得到(dx/dt)2-2Udx/dt+(U2-Hg)=0(8)是(dx/dt)的2次代数方

11、程,解是(9)积分得到两族特征方程:(10)gHUdtdx=/21)()(ctgHUxctgHUx+=+=是重力外波相速度(两个方向)，U是平流速度.由于有两簇实特征线,方程是双曲型。gH兼容性方程兼容性方程方程（方程（7）的系数矩阵最后一列用方程右端项代替并令对应行列式为零）的系数矩阵最后一列用方程右端项代替并令对应行列式为零:Hdu+(dx/dt)dh-Udh=0将(8)中的(dx/dt)代入得到:=0000010001dhdtdudxdtHU是两个兼容性方程.沿特征线守恒,称为Riemann(黎曼）不变量。0),04,3chgHHuhgH d(HudhgHHdu=因而hgHHu.有关运用

12、特征线和兼容性方程的建议：沿特征线有关运用特征线和兼容性方程的建议：沿特征线 PDE 往往可以简化为往往可以简化为 ODE,它更容易求解，例如上面的例子可以找到两个守恒量，沿著它更容易求解，例如上面的例子可以找到两个守恒量，沿著特征线追踪到边界或者初始时间特征线追踪到边界或者初始时间(那里的值是已知的那里的值是已知的)，可以决定积分常数，因而内部区域的解可以决定，这种方法称为特征线法。，可以决定积分常数，因而内部区域的解可以决定，这种方法称为特征线法。下面给出这一问题的另一种替代解法（特征值法）:改写(1)和(2)为矩阵形式:v/t+Av/x=0(12)其中=UHgUhu Av and 两个特

13、征值是方程是双曲型。找出相应的特征向量(通过下面的方程)Ax=x(13)gHU=2,16他们是因而有矩阵=gHgH/1,/121xx=gHgHT/11Hg/11它的逆:于是=HgHgT/1/1211用T-1乘(12):0111得到=+xTATTtTvv由(16)得到兼容性方程:特征线21/0)/,CHghuHgh d(u=)(4,3CtgHUx=和用第一种方法得到的结果一致，这样方程(16)变成两个独立方程可以分别求解。2.5 初、边值条件2.5 初、边值条件I Initial conditions(I.C.)and boundary conditions(B.C)nitial conditi

14、ons(I.C.)and boundary conditions(B.C)(后面有一节专门讨论边界条件,现在只是概述)I.C.初始时间规定变量本身的值或者导数；B.C 空间边界规定变量本身的值或者导数。B.C 空间边界规定变量本身的值或者导数。I.C and B.C-为得到唯一解所需要；-物理计算 所要求。=+ntutu),(),(xxu/n：u 在边界上的法向梯度，为常系数。Dirichlet or 1st B C0（给定值），二阶二阶 PDEs 边界条件一般形式边界条件一般形式Dirichlet or 1st B.C.=0?（给定值），Neumann or 2nd B.C.=0,（规定导数

15、）；Robin or 3rd B.C.,均不为零。Note：Possions Eq.?2 u=f，如果在所有边界上都规定梯度条件，解不唯一（容许差一个常数）。2.6 2.6 适定性（适定性（适定性（适定性（wellwell-posednessposedness）概念概念）概念概念称一个微分方程定解问题（包括方程和定解条件）是适定的，如果满足:-称一个微分方程定解问题（包括方程和定解条件）是适定的，如果满足:-解存在解存在解存在解存在-解唯一-解连续依赖于定解条件-解唯一-解连续依赖于定解条件7解的存在性和唯一性不满足往往是定解条件不恰当造成的,但是我们一般只能对一些很简单的问题证明解的存在和唯

16、一性。个证明解唯性的例子一个证明解唯一性的例子:ut=Kuxx (K 0,0 x L)I.C.u(x,0)=f(x)B.C.u(0,t)=u(L,t)=0反证法:假设有 2 个解:u1和 u2,令 u3 u1 u2证明:u3(x,t)=0满足()K()(K0 0L)u3满足:(u3)t=K(u3)xx(K 0,0 x L)I.C.u3(x,0)=0B.C.u3(0,t)=u3(L,t)=0定义“能量”:E 是正定的，并且只有在整个区间0,L上 u=0 时 E才为零。用u 乘PDE并积分=ldxutE0221)(（能量方程）E随时间减少。根据 I.C.，u3=0=t=0时 E3=0由于E3非负，

17、它只能是零。dxuKtExl20)(/=对定解条件的连续依赖：I.C.or B.C.小的扰动造成解的扰动也是小的或者有界的。一个经典的非连续例子Laplaces equation:uxx+uyy=0，x 0n 是一个系数。运用分离变量法得到解：u(x,y)=sin(nx)sinh(ny)/n2它是否连续依赖 B.C.?n，初始条件 u(x,0)=0 andu(x 0)=sin(nx)cosh(0)/n=sin(nx)/n 0uy(x,0)=sin(nx)cosh(0)/n=sin(nx)/n 0然而n 时，解：u(x,y)=(1/n2)sin(nx)(eny-e-ny)/2 eny/n增长（无

18、界）!2.7 线性模型方程线性模型方程用单波方程模拟非定常Euler方程，用Burgers方程模拟N-S方程。(1)单波方程=+x-)()0(,0 xx,uuctu在（x，y)平面上的直线族 x-ct=const 上有du/dt=0.(直线族斜率dx/dt=c),方程的解u(x,t)=(x-ct)。直线族x-ct=const 是特征线。有限区域边界条件如何给？依赖于特征线方向。xt8在0 xL,t0内求解(2)热传导方程热传导方程方程的解：=x-)()0(,022xx,uxutud)()(1)(2x+d )(4)(exp41),(txttxu=(3)线性Burgers方程(双曲抛物型）=+x-

19、)()0(,0 ,022xx,uxuxuctu解：解：d)()(exp1)(2ctxtxu+d)(4)(exp4),(tttxu=（4）Laplace方程椭圆型 ,02222=+yuxu更为一般的变系数方程边值问题：三类，不同区段可取不同类型。0),(),(),(),(=+yxayxfyuyxayxuyxax更为般的变系数方程2.8 非线性模型方程非线性模型方程非线性Burgers方程初始条件Lxuxuutu=+x0 ,0 ,022)(0 x,t)u(=周期边条件，能够得到准确解（参见：邱崇践 郭秉荣，1984，非线性平流方程计算不稳定的初步研究，数值天气预报文集，气象出版社）本章内容要点本章内容要点二阶偏微分方程的标准型和分类一阶偏微分方程和方程组分类找出特征线方程和兼容性方程的方法二阶偏微分方程的标准型和分类一阶偏微分方程和方程组分类找出特征线方程和兼容性方程的方法运用特征线方法求解简单问题依赖域和影响域的概念I.C.和 B.C.的类型微分方程定解问题的适定性运用特征线方法求解简单问题依赖域和影响域的概念I.C.和 B.C.的类型微分方程定解问题的适定性