也谈轻绳、轻弹簧、轻杆模型及其应用.doc

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1、也谈轻绳、轻弹簧、轻杆模型及其应用轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，这三个模型既有相同又有相异，由于不同模型呈现的物理情景不同，因而具有不同的性质和规律。此类问题在高中物理中占有相当重要的地位，且涉及到的问题情景综合性较强、物理过程复杂，从受力的角度看，这类弹力可能是变力；从能量的角度看，可以通过弹力做功实现能量的转移、转化。因此，此类问题，能很好的考查学生的分析综合能力，备受高考命题专家的青睐。现归纳总结如下，以期对参加高考的师生有所助益。一、力的方向有异图11、轻绳产生的弹力只能沿绳并指向绳收缩的方向；2、轻弹簧产生的弹力只能沿弹簧的轴线方向，与弹簧发生形变的方向相反3、轻杆产生的

2、弹力不一定沿杆的方向，可以是任意方向。例1、如图1所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为0，小球的重力为12N，绳子的拉力为10N，水平轻弹簧的拉力为9N，求轻杆对小球的作用力。解析：以小球为研究对象，受力分析如图2所示，小球受四个力作用：重力、绳子的拉力、弹簧的拉力，轻杆的作用力，其中轻杆的作用力的方向不能确定，重力、弹力、轻绳的拉力三者的合力为：N10N=5N方向与竖直方向成0斜向下，这个力与轻绳的拉力恰好在同直线上。根据物体平衡的条件，可知轻杆对小球的作用力大小为5N，方向与竖直方向成0斜向上。 点评：由于轻杆作用力的方向具有多向性的特点，先确定其余力的合力，然后再根据平

3、衡条件判定轻杆作用力的大小和方向。例2.（2008山东）用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体，静止时弹簧伸长量为L.现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L0斜面倾角为300，如图3所示。则物体所受摩擦力A.等于零B.大小为，方向沿斜面向下C.大小为，方向沿斜面向上D.大小为mg，方向沿斜面向上解析：由平衡条件和胡克定律得，对竖直悬挂的物体，有 对斜面上的物体，设摩擦力的方向沿线面方向向下，有 由两式解得：，故选项A正确。点评：竖直悬挂物体时，弹簧的拉力在竖直方向上；弹簧沿斜面方向拉物体时，弹簧的拉力在沿斜面方向上。可见，在沿弹簧的轴线方向上利用平衡条件便可迅速解决弹簧关

4、联物的平衡问题。二、力的效果有异1、轻绳只能提供拉力。2、轻杆、轻弹簧既可以提供拉力，又可以提供推力。例3用长为的轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动，要使小球能做完整的圆周运动，则小球在最低点的速度最小为多少？若把轻绳改为轻杆，要使小球在竖直平面内能做完整的圆周运动，则小球在最低点的速度最小为多少？解析：因小球在轻绳约束下在竖直平面内能做完整的圆周运动，所以小球在最高点时有一个临界速度0，此时绳子的拉力恰好为零，由重力提供向心力有 设小球在最低点时的速度为，由机械能守恒定律得 由两式解得： 小球在最低点的速度必须大于等于。因小球在轻杆约束下在竖直平面内能做完整的圆周运动，所以小球在最高点时的速

5、度稍微大于零即可，这时轻杆提供支持力。由机械能守恒定律，求出小球在最低点的速度为，小球在最低点的速度必须大于。点评：轻绳约束下的物体在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时绳子的弹力可以为零，绳子呈现虚直状态；轻杆约束下的物体在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时轻杆的弹力既可以提供拉力，又可以提供推力。例4.（09江苏理综）如图4所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为的相同小球，小球之间用劲度系数均为的轻质弹簧绝缘连接。当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为。已知静电力常量为，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为A B C D解析：把第三个小球隔离出来，对其受力分析如图5所示，由平衡条

6、件得，解得：所以每根弹簧的原长为 点评：小球在静电力的作用下使弹簧在水平方向伸长，弹簧的拉力在水平方向上，在沿弹簧的轴线方向上利用平衡条件和库仑定律便可迅速求解。三、力的突变性有异1、轻绳、轻杆的弹力可以发生突变。2、轻弹簧的弹力在大多数情况下不能发生突变（发生渐变），极少数情况下可以发生突变。例5、如图6所示，中、用轻绳相连系于天花板上；中、用轻杆相连置于水平面上；中、用轻弹簧相连置于水平面上；中、用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。现在中剪断系于天花板的绳；在、中撤掉支持面；在中剪断系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大？解

7、析：在a、b两种情景中，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，、均做自由落体运动，故有。 在c情景中，解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能发生突变，仍为原来的值（这是由于弹簧恢复原状需要时间），受到的合力仍为零，受到的合力为，故，；在d情景中解除外界约束的瞬间，受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为，而系于、之间的弹簧的弹力不能发生突变，仍为原来的值，受到的合力仍为零，故，。 点评：解此类问题的关键是判断轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力是发生突变还是发生渐变。轻弹簧的弹力，只有在解除与弹簧关联物的约束时才发生突变。例6（2008全国）如图7所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮

8、，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m， 用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为Ah Bl.5h C2h D2.5h解析：从静止开始释放b到落到地面时，由机械能守恒定律得，解得。a球上升h后，做竖直上抛运动，上升的高度为，故a上升的的最大高度为l.5h。故正确的选项为B点评：本题主要考查对物理情景的分析，轻绳连接的两小球，在轻绳绷紧的状态下遵守机械能守恒，抓住在b到落到地面时两球速度大小相等是解此题的关键；在b到落到地面后，轻绳呈现松弛状态，a球做竖直上抛运动。例7.（2009江苏物理）.如图8所示，两质量相等的物块A、B通

9、过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有A当A、B加速度相等时，系统的机械能最大B当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C当A、B的速度相等时，A的速度达到最大D当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 解析:对A、B两物在水平方向受力分析如图9所示，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为时，对有，对有，得，在整个过程中，A的加速度一直减小而的加速度一直增大，在达到共同加速度之前A的加速度一直大于的加速度，之后A的加速度一直小于的加

10、速度。两物体运动的v-t图象如图9所示，tl时刻两物体加速度相等，速度差最大，t2时刻两物体的速度相等，速度达到最大值，两实线之间围成的面积有最大值，即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，tl时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。所以本题正确的选项为BCD。点评：这类两端均有关联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。解决此类问题的关键是对物体进行

11、受力分析和运动过程分析，利用图象法分析物理过程能起到了“柳暗花明又一村”的效果。四、模型连接效果有异同1、串联轻弹簧与并联轻弹簧（1）两个劲度系数分别为1、2的轻弹簧，设串联后的劲度系数为，则有： ，即 （2）两个原长相等、劲度系数分别为1、2的轻弹簧，并联后的劲度系数设为，则有：例8.（09广东）某缓冲装置可抽象成图10所示的简单模型。图中为原长相等，劲度系数不同的轻质弹簧。下列表述正确的是A缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变解析：不同弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关，A错误

12、；在垫片向右运动的过程中，由于两个轻质弹簧相连，则它们之间的作用力大小相等，B正确；由于两弹簧的劲度系数不同，由胡克定律可知，两弹簧的形变量不同，则两弹簧的长度不相等，C错误；在垫片向右运动的过程中，由于弹簧的弹力做负功，弹簧的弹性势能增加且两弹簧增加的弹性势能也不同，D正确。故本题的正确选项为BD。点评：两弹簧虽然串在一起，但并未考查到串联轻弹簧（或并联轻弹簧）的劲度系数的变化关系（中学物理不做要求），解此类问题的关键是明确由于两个轻质弹簧相连时它们之间的作用力大小关系，明确弹簧的形变量与弹力和弹性势能的关系。2、固定轻杆与铰链轻杆（1）固定轻杆即不可转动的轻杆。例9如图11所示，轻杆的一端

13、固定在竖直的墙上，另一端装有一光滑的小滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的点。现把拴于墙上点的绳端向上移动，则轻杆的作用力如何变化？解析： 以绳与滑轮相接触点为研究对象，根据矢量的合成法则作出平行四边形，可知两段绳的拉力的合力变小，且与水平面间的夹角也变小。再由平衡条件可知：固定轻杆对悬绳的作用力变小，方向与水平面的夹角也变小。点评：解本题的关键是抓住：轻绳上各点的拉力大小相等，在点绳端向上移动的过程中，绳上拉力的大小不变，但两段绳的拉力的夹角变大。固定轻杆作用力的方向不一定沿杆。（2）铰链轻杆即可转动的轻杆例10如图12所示，轻杆的一端铰链连接于墙壁上，另一端装有一光滑的小

14、滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的点，整个系统处于平衡状态。现把拴于墙上点的绳端向上移动，并保证系统始终处于平衡状态，则轻杆的作用力如何变化？解析：把墙上点的绳端向上移动时，轻杆的作用力始终沿杆的方向；由于两段绳的作用力大小相等，故轻杆总是处在两绳夹角的角平分线上。点向上移动时，两段绳的夹角增大，轻杆必须顺时针方向转动达到新的对角线位置才可以使系统平衡。以轻绳与滑轮相接触点为研究对象，由平行四边形定则，可知两段绳的拉力的合力变小。铰链轻杆的作用力变小，方向与水平面的夹角也变小。点评：当轻杆以铰链形式连接时，要使轻杆处于平衡状态，则两段轻绳的作用力的合力必须沿轻杆轴线方向。此

15、题与例9中的情形是相同，但相异的是轻杆的作用力始终沿杆的方向，这是区分固定轻杆和铰链轻杆得关键。五能量的转化有异同在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态，从而引起运动和受力在短时间内发生急剧的变化，物理学上称之为突变问题。在突变的瞬间往往伴随着能量的转移、转化或耗散。1.轻绳在沿径向张紧瞬间，在其方向上的能量耗散；2.轻杆往往将其能量发生转移。3.在突变和渐变的过程中，轻弹簧将释放或储存弹性势能，与其他形式的能之间转移或转化。例11轻杆长为L，一端用光滑轴固定，另一端系一个可视为质点，质量为的小球，把小球拉至图13所示的位置，无初速度地自由释放到最低处的过程中，小球做什么运动？到最低处时速

16、度多大？弹力多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力为多少？解析：杆与球相连，做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部分，只有重力做功，由机械能守恒，选取最低处为零势能面，则： 由牛顿第二定律得 由两式解得： 绳连接时，球由到做自由落体运动，关于水平线对称，设处的速度为，且方向竖直向下，选取点为零能面， 在处 按图示的方向分解，在绳突然拉紧的瞬间，将径向的动能损耗掉，由到的过程中，有机械能守恒，选取点为零能面， 由速度的分解得 由牛顿第二定律得 由式解得点评：轻杆与球相连时，只有重力势能向动能的转化；无能量损耗。轻绳与球相连时，在绳突然拉紧的瞬间，沿径向

17、的动能将耗散掉，转化为其他形式的能。 例12如图14所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内开始时杆竖直，A、B两球静止由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动已知A球的质量为mA，B球的质量为mB，杆长为L则：（1）A球着地时的速度为多大?（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大?（3）若mA=mB，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大?A球机械能的最小值为多大?（选水平面为参考平面）解析：（1）A球着地时，B球的速度为0设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得 解得 （2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为

18、0，则杆对球的作用力为0设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得 N = mBg（3）设杆与竖直方向间夹角为，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，则 且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，即 联立解得 令y=，当y的导数=0时，A球机械能最小，vB达最大值，即 解得：， 则A球机械能的最小值 =点评：两球在轻杆的约束下分别在竖直光滑轨道和水平光滑轨道内运动，由于只有重力做功，满足机械能守恒定律。解此问题的关键：是分析物理情景，弄清A球着地时和A球机械能最小时，B球的运动状态；是抓住杆在下落的过程中，两球在沿杆方向的分速度相等。本题还较好的考查了学生应用数学处理物理问题的能力。例13.（2

19、009山东）图15示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ） AmMBm2M C木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度 D在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能解析：由受力分析和牛顿第二定律可知，下滑时加速度为，上滑时加速度为，选项C正确。设下滑的距离为，根据能量守恒定律有，解得m2M，选项

20、B正确。在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和摩擦体间的内能，选项D错。所以本题正确选项为BC。点评：本题以某探究活动小组设计的节能运动系统为背景，体现研究性学习小组的探究活动，又与生产、生活相联系。解本题的关键是理清木箱下滑压缩弹簧储存弹性势能与上滑过程中释放的弹性势能相等，整个过程中货物减少的机械能转化为摩察体间的内能。例14（2009福建）如图16甲所示，在水平面上固定一倾角为的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度为E、方向沿斜面向下的匀强电场中，一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m，带电量为q（q0）的滑块从距

21、离弹簧上端为s0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变。设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度范围内，重力加速度为g。（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触时所经历的时间t1；（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm的过程中弹簧的弹力所做的功W；（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t图像。图中横坐标上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量。

22、（本小题不要求写出计算过程）解析：（1）滑块从静止释1放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有 联立可得 （2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为，则有 从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得 联立可得 （3）分析：物体先匀加速下滑，碰到弹簧后往下做加速度不断减小的加速运动，当a=0时速度达到最大值，以后往下做加速度不断增大的减速运动直至速度为0。答案：如图17所示： 点评：对于此类只有一端有关联物体或一端固定的弹簧，其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认识，突出过程的周期性、对称性。本题以物体与弹簧的相互作用为背景，考查带点粒子在电场中的运动，应用牛顿运动定律和运动学公式、动能定理可迅速得到答案，还考查分析物理过程和画图象的能力。抓住物体的速度最大的条件加速度a=0是解本题的关键。7