电磁场与电磁波 chap2电场2-1 [兼容模式].pdf

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1、1第2章静电场本章内容：1.静电场的基本方程2 泊松方程及唯一性定理2.泊松方程及唯性定理3.静电场的边界条件4.恒定电场5.静电场的能量和力一、电场与库仑定律1.库仑定律：真空中电荷q1、q2分别位于P(x,y,z)和P(x,y,z)处，即、处，q2对q1的电场力()P r()P r 121212123200()144q q rrq q eFRrr （：源点指向场点的单位矢量，有些资料上用）204RqEeR Re 不论将q1放在何处，都将受到q2对它的电场力作用，即q在任意点产生的电场2.电场：空间所有点上电场强度的集合就构成了电场，注意矢量与矢量符号。Ra 3.静电场的求解方法a.应用场的

2、叠加原理求电场离散电荷：()1340iiirEirqrr 线电荷分布：线密度：面电荷分布：面密度：30()14lrrEdlrr 0limllql 301()4rrEdsrr 0limsqs 体电荷分布：体密度：3001()11()()44RrrEdrdeRrr 0limq Rrr 331rrRRRrr 局限性：只能求解一些较简单的问题。有些计算很复杂 eg 2.2 P37-38注意：注意：有体电荷分布未必有面电荷分布，有面电荷分布时也未必有体电荷分布。二者是相互独立的概念，不要混淆。P37：例2.2 有限长直线电荷的电场cos=(z-z)r2+(z-z)2-1/2注意书上的更正2矢量积分公式分

3、解为两个标量积分，它们分别为因为cos=(z-z)r2+(z-z)2-1/2因为所以注：第一次印刷的分母上r2后减号应改为加号，第二次印刷已更正 120coscos 4lrErr 2213 2222001sinsin44lllzlzz dzErrzzr例：真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计算球内外的电场。2230001()sin4dadRRE其中球面积元2因不同角的面元解：导体的电荷分布于导体的表面上，孤立导体球的电荷必定均匀分布于球面上，电荷面密度=Q/(4a2)=常量。采用球坐标系，令极轴通过场点P，如下图所示。P点处的电场为注：dS=r2sindd其中球面积元dS=a2s

4、indd，因不同角的面元点电荷在场点产生的合成场只沿极轴方向，即ez方向，故矢量求积分时仅取dE的z分量积分，dEz=dEcos，为上式是右图中球面上法线方向与极轴成角的带状面元在P点产生的电场。22220000cossincoscos22aaE rddRR由于cos=(R2+r2-a2)/(2rR)，cos=(a2+r2-R2)/(2ar)，d(-cos)=(R/ar)dR，所以222222220000(1)444r ar araaraaraaQE()dRRrarRrRrrrra对于rara4.电偶极子 P36 eg 2.1 讲明电偶极子的概念，重点是掌握矢量分析方法。例题例题2.1 真空中

5、有一电偶极子，如右图所示，电偶极子是由一对点电荷组成，一个是正电荷，另一个是负电荷，正负点电荷之间的距离非常小，是一段微分线元l，试求电偶极子在远处产生的场强。解解：选用球坐标系，点电荷的场强为1qqR电偶极子在p点产生的场强为：23001()44RqqRRRE r e01 4qR 011()(2.37)4qrr E r 其中1/2222cos,rrlrllr21/21131 11281xxxx 1/21/221111cos12 cos2cos1lrrrlrrlr利用级数展开式可以写出定义p=ql为电偶极子的电矩矢量，方向规定为由q指向q。则1rr 233000coscossin()2.384

6、24rqlqlqlrrr E ree 3330001cossin()2.39424rpprrr p rE ree把上式代入（2.37）式可得3二、静电场中的物质：1.静电平衡时导体的电特性：a.导体内的场强处处为零b.导体内电位处处相等是等位体，导体表面是等位面导体内无净余电荷电荷只分布在导体表面孤立导体电c.导体内无净余电荷，电荷只分布在导体表面，孤立导体电荷分布与导体曲率成正比d.导体表面附近(很近)场强的方向垂直于导体表面，大小为，为该点的电荷面密度。可简单证明0nEe 说明关于导体的一些说法：导体是拥有大量自由电子的物质，并且认为：自由电子 a.与核是松散联系的 b.通过导体能自由漂移

7、 c.对几乎是无穷小的电场有反应 d.只要它受到力就能连续运动2.静电场中的电介质：复习分类：有极分子：分子内等效正负电荷中心不重合的电介质无极分子：分子内等效正负电荷中心重合的电介质原子类电介质：原子核外的电子云在外电场的作用下可发生位移极化：电介质在外电场的作用下形成电偶极子的现象称为极化极化：电介质在外电场的作用下形成电偶极子的现象称为极化。三种极化方式：有极分子取向整齐化，无极分子出现偶极矩，原子类分子电子云发生位移，出现偶极矩。pql 0limpP 电偶极子的电偶极矩称为分子电矩，即极化强度：(a)(b)介质极化模型图关于极化的几个动画电磁场与电磁波（谢处方第三版）P56图3.8.1

8、 见上页穿出某面S的束缚电荷量为:束缚电荷面密度：体密度：P dsP nds pP n P dsPd pP P E0ePE 与 的关系：|各向同性线性介质e为常数|PE各向同性线性介质：各向异性线性介质:e为矩阵（张量）1112130212223313233xxeeeyeeeyeeezzPEPEPE0000erDEPEEE 三、电通密度（电位移）与高斯定理1.electric flux density 真空中 介质中单位：c/m2 从点电荷场出发说明高斯定理0DEDE 从点电荷场出发说明高斯定理2真空中的高斯定理：意义说明0sqD dsq 在闭合面内q 在闭合面外下面说明定理的意义4立体角的概

9、念：球面上面元ds与球心可构成一个锥体ds/R2=d 整个球面4；球面上任意dsds/R2=d22cosrds edsdRR 非球面：投影到外球面：无界真空中点电荷电场表达式：2014rqeER24rSedsqD dsRq在闭合面内q在闭合面外4004SqqD ds说明为什么q在闭合面外积分为零。P点在封闭面内的情况ppP点在封闭面外的情况ppP点在封闭面外的情况pp推广：多个点电荷时可写为闭合面包围的总电荷连续电荷分布时可写作积分：iSiD dsqSD dsd 强调：强调：这是自由自由电荷.如果将积分式中的电位移改为电场强度，等号右边的电荷应该不应该再加上极化电荷？先思考，后面会有答案。由散

10、度定理或数学上的高斯定理：（为S面所围体积）SD dsDdSD dsDdd 故：取极限0，即所构成的闭曲面内的体积极小，趋于零时()()D 即：空间任一点电位移矢量的散度等于该点自由电荷体密度.即：空间任一点电位移矢量的散度等于该点自由电荷体密度.所以()()D rr积分式描述了宏观性质(整体性)微分式：局部性(任意点)SD dsd()()D rr 53.介质中的高斯定理：介质在电场中被极化，出现分子电矩。分子电矩产生次级电场叠加于原电场之上，对原电场产生影响。所以(其中为自由电荷为极化电荷)0()spE0ePE (其中s为自由电荷，p为极化电荷)0()sP 0()ssEPD sD dsd 与

11、真空中的形式相同电位移矢量的散度等于自由电荷体密度自由电荷体密度，这里已包含了极化电荷的影响.真空中是因为真空中(无极化)，所以利用0/sE0P sDsD dsd 比利用方便，它直接包含了极化对场的影响。电场基本方程DEDED dsq 介质本构关系sD电场强度的又一种求解方法：(方法b)应用范围：电位移具有面、球、柱对称性时，可用高斯定理求解(1).无限大均匀分布带电平面：（D、E均为面对称）做底面平行于带电平面并包含带电平面的极扁圆柱(立方体也行，要便于积分)，由于底面，故D11222D dsD dsDdsDSS 所以2D00(0)202zze zEez(2)球对称时作球形高斯面，柱对称时作

12、柱形高斯面eg2.2 及后面一例题（自己再思考）P32-34为何与导体性质d结果不同?三.静电场的旋度与环路定理：仍由真空中点电荷电场导出把q放在原点，即则，所以2014RqEeR 204ReqER 2iireee 0r Rr 球坐标系下见P344附2200sinsin044sinrrrrrqeqErrErErE录3，这里E=E=0，Er=1/r2也可以用31RRR 2001044rqeqErr 因为四.静电场基本方程：积分式微分式0E由Stokes定理：0lsE dlE ds因此，静电场是无旋场。0sD dsdE dl 0DEDE介质本构方程：由亥姆霍兹定理知：一个矢量的散度和旋度一定时，该

13、矢量即唯一确定，故只要知道电荷分布，即可求解静电场。（原则上可以）求解静电场问题就是求解上面的方程组的问题五.电位：可引入电位，令0EE 因标量函数的梯度为一无旋场，也可写作()Ec 即由电场强度来定义 时可相差个常数而对电场无影响故ABE即由电场强度来定义时可相差一个常数而对电场无影响，故需选电位参考点才能使电位唯一。BBAAE dlBBAAE dl即（A可看作电位参考点）6点电荷电场的电位：若选无穷远为电位参考点，则，连续分布电荷的电位：20200444PPrPrPpqeE dldlrqeqdlrR OPPRdlre001144ddRR 014dsR014ldlR通常情况下选无穷远为电位参考点，但当电荷分布空间无限大时参考点不能选无穷远，只能选某定点为电位参考点。通常情况下选无穷远为电位参考点，但当电荷分布空间无限大时参考点不能选无穷远，只能选某定点为电位参考点。第三种求解电场的方法：若求电位方便，可先求出电位表达式，再用来求电场。总结三种电场求解方法：(a)用叠加原理:E 31E4RdR (b)利用高斯定理：(c)先求电位，再求电场。04RE 014dcR P36 eg：2.1通过E求电偶极子的电位Task:阅读第二章 思考：2-1 2-5 2-7 作业：2-3 2-4 2-6 2-8