Matlab在《数值分析》教学中的作用.pdf

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1、第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月数学教学研究4 7M a t l a b 在数值分析教学中的作用郭效芝1，吴慧2(1 装备学院基础系，北京怀柔1 0 1 4 1 6；2 青岛农业大学理学与信息学院，山东青岛2 6 6 1 0 9)摘要：为了提高数值分析的教学效果，本文主要阐述了应用M a t l a b 辅助教学的好处，把教学的互动性、可视性、生动性以及实践性等完美结合在一起，并给出一些相应实例进行理解关键词：数值分析；M a t l a b；教学模式中图分类号：0 2 4 1数值分析是理工科大学生和研究生必须掌握的课程数值分析又称为计算方法或科学计算，是数学的一个分支，可以概括为

2、用计算机求解数学问题的数值方法和理论，它的主要内容包括插值、逼近、数值积分、数值微分、解线性方程组、非线性方程求根、常微分方程的数值解 1 它的显著特点就是与计算机使用密切结合，并且实践性和理论性都很强M a t l a b 软件就为学生更好的掌握并应用该课程提供了很好的平台M a t l a b 的名字是由M a t r i x 和I。a b o r a t o r y 两个词的前三个字母组合而成的，1 9 8 4 年由美国M a t h w o r k s 公司推出的用于数值计算、图形处理和符号计算等，它是一种交互式语言，随时输入指令，即时给出运算结果是它的工作方式，有“科学演算纸”的美誉

3、1M a t l a b 是数值分析教学中最为普遍和功能强大的科学计算工具1)利用M a t l a b 平台可以实现人机通信功能和互动，有利于学生对课本知识的理解，也有利于老师的课堂讲解，促进学生的学习兴趣老师和学生一起并且鼓励他们把数值分析中的一些算法 2 在计算机上实现，并分析它们的优劣比如我们在讲解插值的时候，将拉格朗日插值法、埃特金插值法、牛顿插值法、差分与等距节点插值法以及埃尔米特插值法用M a t l a b 语言编写出来；在讲解逼近时，用M a t l a b 语言将勒让德多项式逼近与切比雪夫多项式逼近的程序编写出来；在讲解数值积分时，把龙贝格求积算法和三点的高斯一勒让德求积算

4、法在M a t I a b 环境下展示出来；在讲解求解线性方程组的数值解时，为了更好的理解消去法和迭代法，可以写出列主元高斯消去法、列主元高斯一约当消去法以及雅克比迭代法、高斯一赛德尔迭代法、逐次超松弛迭代法的M a t l a b 程序；在讲解非线性方程求根时，把牛顿迭代法和弦截法的程序编写出来；在讲解常微分方程的数值解时，欧拉公式，欧拉预估一校正法以及经典的四阶龙格一库塔法都很容易在M a t l a b 平台上实现如果把以上这些程序流畅的写出来，就会对知识有一个更深程度的把握，课程内容自然就会学得很好并且M a t l a b 还提供了很多内置函数，灵活运用这些函数可以为程序设计带来收稿

5、日期：2 0 1 4 一0 1 2 2作者简介：郭效芝(1 9 7 5 一)，女，山东安丘人，硕士，讲师，研究方向：计算数学与国防系统分析E-m a i l：g u o x j a o z h i 9 9 9 1 6 3 m万方数据4 8数学教学研究第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月很大方便，同时也提高了程序的可读性2)利用M a t l a b 的可视化功能可以进行数值数据和图形的比较，两者结合相得益彰，通过这种可视化的方法引导学生理解所学的内容，促进学生热爱学习比如在讲解拉格朗日插值的时候，我们可以根据已知的数据分别编写线性插值、抛物线插值和扎次插值的程序，然后对数值结果进行比较

6、还有在讲解数值积分的时候，可以分别利用梯形公式、S i m p s o n 公式、G a u s S-I。o b a t t o 法计算同一个问题，将输出的结果与精确值放在一起进行比较，很容易发现G a u s s I。o b a t t o 法最精确，S i m p s o n 公式次之，梯形公式最差再有在讲解微分方程数值解的时候，对于同一个问题，有欧拉法、欧拉预估一校正法以及经典的四阶龙格一库塔法等几种不同的算法可以实现，我们可以把这些算法放在一起，将输出的数值结果和误差估计结果放在同一个表格中，将这些数值解的图形展示在同一个坐标系中，学生可以比较分析每种算法的优劣3)利用M a t l

7、a b 的直观性功能将一些仅靠理论推导感觉抽象的收敛性和稳定性问题进行直观展示，可以达到更好的效果，促进学生的积极性比如：在讲解高次插值并不一定带来更好的近似效果时，为了说明这种现象，R u n g e 给出了一个有名的例子 1 ：厂(z)一1(1+z 2)(一5 z 5)，我们用M a t l a b 在同一坐标系下分别作函数的图像和高次L a g r a n g e 插值多项式做演示：解X O=一5+1 0*o：l o 1 0；y o 一1(1+X O 2)；x=一5：0 5：5；i i 一1：l e n g t h(x O)；y z e r o s(s i z e(x)；f o ri=i

8、 ii j f i n d(i i 一i)；y 1 1；f o ri 一1：l e n g t h(i j)y 1 一y 1*(x X o(i j(j)；e n dy=y+y 1*y 0(i)p r o d(x O(i)一x O(i j)；e n dy a 一1(1+x 2)；p l o t(x，y a，x，y，：)由图1 可见对于较大的I z l，随着起的增大，L a g r a n g e 插值多项式震荡越来越大，得出的结果和精确值相差甚远，因此对此例L a g r a n g e 插值算法失效高次插值多项式的这个缺陷，促使人们转而寻求简单的分段低次多项式插值，使学生探讨到另外的方法上来图

9、2 采用三次H e m i t e 插值c u b ic，和三次分段样条插值s p l i n e 算法进行插值，则效果很好y l=i n t e r p l(X 0，y o，x，c u b i c)；y 2=i n t e r p l(x O，y O，x，7 s p l i n e)；p l o t(x，y a，x，y 1，：，x，y 2，。)图2 三次H e m i t e 插值和三次分段样条插值在我们所学的数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等，就是用的分段线性插值万方数据第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月数学教学研究4 94)利用M a t l a b 的生动

10、性和实践性功能进行优化课程教学，为学生搜集数学知识应用的情境，将教学变得动态形象，促进学生爱动手、爱实践，从而获得成就感、满足感比如：在讲授微分方程数值解时，以导弹追击问题为例，设位于坐标原点的甲舰向位于z 轴上点A(1，o)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度功(是常数)沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是5，求导弹运行的轨迹，以及乙舰行驶多远时，导弹将它击中?程序如下：c l e a ra l l；m 一0；舯=O；X j=1；y j 一0；p l o t(x m，y m，*)；g r i do n；h 0 1 do n；p l o t(X j，y j，7 r*)；h

11、 o l do n；f o r j 一1：1 0 0 0t j 3 0 0 0；d t 一1 3 0 0 0；导弹运动微分方程：d 煳=5*(卜m)s q r t(卜m)2+(t m)2)；d y m 一5*(t y T n)s q r t(1 一m)2+(t y m)2)；敌方军舰运动微分方程：d X j O；d y j 一1；煳一m+d x m*d t；y m=y m+d y m*d t；X j=X j+d X j*d t；y j=y j+d y j*d t；p l o t(舯，y m，7*)；h o l do n；p l o t(X j，y j，r*。)；h o l do n；F(j)i

12、 g e t f r a m e；根据导弹和乙舰的距离，判断如果导弹与敌方军舰遭遇，则退出循环i f(s q r t(m X j)*(x m X j)+(y m y j)*(y m y j)0 0 0 1)S t r i n 9 1 一，遭遇点，乙舰运动距离为n u m 2 s t r(y j)；t e x t(!n，y m，s d n g l，协r i Z，c 饥t e D；b r e a k：e n de n d程序运行之后，可以看到导弹追击敌舰的过程正好就是数值解的离散动态可视化过程，将导弹追逐过程用图像动态地显示出来，使教学效果事半功倍还比如在讲完数据拟合之后，可以设计案例：人口预测模

13、型，温室中的绿色生态臭氧病虫害防治模型等，这些模型充分体现了对所学知识的应用，应当在老师的引导下，安排学生查找资料分组讨论，然后进行评价，学生既得到实践，也得到满足5)利用M a t l a b 提供的强大的数值计算和符号运算工具箱功能可以简化计算，节省时问和精力，减轻学生学习负担，解决问题带来方便比如在求常微分方程的数值解中，M a t I a b 的工具箱提供了几个解非刚性常微分方程的功能函数，如o d e 4 5，o d e 2 3，o d e l l 3，其中o d e 4 5 采用四五阶R K 方法，是解非刚性常微分方程的首选方法，o d e 2 3 采用二三阶R K 方法，o d

14、e l l 3 采用的是多步法，效率一般比o d e 4 6 高M a t l a b 的工具箱提供了几个解刚性常微分方程的功能函数，如o d e l 5 s，o d e 2 3 s，o d e 2 3 t，o d e 2 3 t b，这些函数的使用同非刚性微分方程的功能函数还有在求常微分方程的解析解中，M a t l a b 符号运算工具箱提供了功能强大的求解常微分方程的符号运算命令d s 0 1 v e 再有采用最小二乘法拟合曲线较人工画图准确性高，但最小二乘法复杂的计算过程学生很难接受M a t l a b 工具箱提万方数据数学教学研究第3 3 卷第4 期2 0 1 4 年4 月供了命令

15、c f t o o l，该命令给出了一维数据拟合的交互式环境，包含了各种常用的数据拟合方法具体执行步骤如下：把数据导入到工作空间；运行c f t o o l，打开用户图形界面窗口；对数据进行预处理；选择适当的模型进行拟合；生成一些相关的统计量，并进行预测可以通过帮助(运行d o cc f t 0 0 1)熟悉该命令的使用细节2 结束语以上仅从5 个方面予以阐述，其实将M a t l a b 应用于数值分析教学中的好处多多，尤其是在提倡应用型人才的大环境下学生亲自动手和老师亲自示范，增加师生信心，消除畏惧心理，提高学生敢于动手实践，创造了师生间、学生间的一个多维互动的教学情境，还通过各有所长的学

16、员取长补短，充分调动和挖掘学生的智慧，经过思维的撞击，给课堂注入生机活力，教与学绝不再是枯燥，是一种真正意义上的互动式教学模式，对教学质量起到事半功倍的作用另外学生在解决涉及数学问题的过程中还能感受到数学的魅力和作用，切实体会到它的实用性，从而逐渐改变师生对数学课程的传统认识当然这些在今后的教学实践中还应该不断完善和提高参考文献 1 封建湖，车刚明，聂玉峰数值分析原理 M 北京：科学出版社，2 0 0 1 2 周品，何正风，等M A T L A B 数值分析 M 北京：机械工业出版社，2 0 0 9(上接第4 3 页)(I)求，(z)在区间z o，+)的最小值()求证：若R，则不等式，(z)g

17、(z)对于任意z R 恒成立解()一种自然而然的思路是构造函数：F(z)=，(z)一g(z)1一e 红一2 垃+z 2 2 r+2，一去厶现在对F(z)求导，解不出来，转变思路，换种形式来解：由于R，z R，所以转变思想，把t 看成变量，z 看成常数F()一厂()一g(f)一e 缸一2 纽+z 2 2 r+2 2 一去，F(z)一厂()一g()一2 f 2+2(z+r)+(e 红+z 2 一丢)，=4(z+r)2 4 2(e 红+z 2 一丢)=一4(r z+1)(r z 一1)，容易判断0 所以，V z R，V R，不等式厂(z)g(z)恒成立(收稿日期：2 0 1 3 一0 8 1 0)万方数据