数理方程 热传导方程的导出幻灯片.ppt

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1、数理方程 热传导方程的导出第1页，共12页，编辑于2022年，星期六记记与与Laplace算子相关的另一算子算子相关的另一算子(梯度算子梯度算子(grad)或或(Laplace算子算子)则有则有显然显然梯度算子梯度算子第2页，共12页，编辑于2022年，星期六其中其中,k 是导热系数是导热系数,u(x,y,z)是导热体中的温度是导热体中的温度,付里叶热传导定律付里叶热传导定律:在在dt时段内时段内,通过面积元通过面积元dS流入体积流入体积元的热量元的热量 dQ 与沿面积元外法线方向的温与沿面积元外法线方向的温度变化率度变化率 成正比成正比,也与也与 dS 和和dt成正比成正比通过曲面进入导热体

2、的总热量通过曲面进入导热体的总热量:三维热传导方程推导三维热传导方程推导第3页，共12页，编辑于2022年，星期六通过曲面进入导热体的总热量通过曲面进入导热体的总热量:温度升高所需热量温度升高所需热量:Q1=Q2第4页，共12页，编辑于2022年，星期六三维热传导方程三维热传导方程:ut=a2uxx+uyy+uzz Q1=Q2记记 a2=k/(c)第5页，共12页，编辑于2022年，星期六初始条件初始条件:u(x,y,z,0)=(x,y,z)ut=a2uxx+uyy+uzz=uII.第二类边界条件第二类边界条件:III.第三类边界条件第三类边界条件:I.第一类边界条件第一类边界条件:(已知边界

3、已知边界温度温度)(边界上有边界上有热流热流进入进入)(边界上有边界上有热交换热交换)热传导问题三类边界条件热传导问题三类边界条件第6页，共12页，编辑于2022年，星期六一维热传导方程一维热传导方程:ut=a2uxx热传导方程的初边值问题热传导方程的初边值问题(第一类边界条件第一类边界条件)例如例如第7页，共12页，编辑于2022年，星期六L长的细杆边界上有长的细杆边界上有热流进、出热流进、出u(x,t)LO1.在在 x=L 处有热流处有热流 q 流出流出 ux|x=L=q/k2.在在 x=L 处有热流处有热流 q 流入流入 ux|x=L=q/k3.在在 x=0 处有热流处有热流 q 流出流

4、出 ux|x=L=q/k4.在在 x=0 处有热流处有热流 q 流入流入 ux|x=L=q/k 这里这里 为沿热流方向的方向导数为沿热流方向的方向导数边界上有边界上有热交换热交换第8页，共12页，编辑于2022年，星期六拉普拉斯方程与拉普拉斯算子拉普拉斯方程与拉普拉斯算子二维热传导方程二维热传导方程:ut=a2uxx+uyy三维热传导方程三维热传导方程:ut=a2uxx+uyy+uzz 热传导问题中热传导问题中,如果物体内部没有热源如果物体内部没有热源,物体外围温度物体外围温度不随时间变化不随时间变化,则经过相当长时间以后则经过相当长时间以后,物体内部的温度将不物体内部的温度将不再改变再改变,趋于稳定状态。趋于稳定状态。ut=0uxx+uyy+uzz=0(Laplace方程方程)或或第9页，共12页，编辑于2022年，星期六正方形区域上第一边值问题正方形区域上第一边值问题 准确解准确解:O1x1y第10页，共12页，编辑于2022年，星期六习题习题2.6（P.26）1第11页，共12页，编辑于2022年，星期六高斯公式高斯公式格林公式与高斯公式格林公式与高斯公式Oxyzsv第12页，共12页，编辑于2022年，星期六