数学分析研究什么问题.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页引言数学分析研究什么问题?与初等数学有何联系？使用什么方法？学习的特点和方法有哪些？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.瞬时速度瞬时速度 设一质点作直线运动设一质点作直线运动,质点的位置质点的位置 s 是是当当 t 越来越接近越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近时，平均速度就越来越接近 t0时间时间 t 的函数的函数,即其运动规律是即其运动规律是 则在某则在某时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.但总是近似值，不是精确值。但总是近似值，不是精确值。时刻时刻 t0 及邻近时刻及邻近时刻 t 之间的平均速度是之间的平均速度是返回返回返回

2、返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.切线的斜率切线的斜率 如图所示如图所示,其上一点其上一点 P(x0,y0)处处的切线的切线点击上图动画演示点击上图动画演示点点 Q,作曲线的割线作曲线的割线 PQ，这这PT.为此我们在为此我们在 P 的邻近取一的邻近取一需要需要寻找曲线寻找曲线 y=f(x)在在 条割线的斜率为条割线的斜率为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页答答:它就是曲线在点它就是曲线在点 P 的切线的切线 PT 的斜率的斜率.无限靠近的值无限靠近的值会是什么呢？会是什么呢？设想一下设想一下,当动点当动点 Q 沿此曲线无限接近点沿此曲线无限接近点 P 时，时，以上两个问题

3、的特点是：部分的以直代曲，以不变（平均）代替变化。返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3.3.面积计算问题面积计算问题 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形面积梯形面积返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动 目录 上页 下页 返回 结束 返回返回返回返回后页

4、后页后页后页前页前页前页前页3)近似和近似和.机动 目录 上页 下页 返回 结束 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变常代变.得已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3)近似和近似和.上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,常代变,近似和 ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由

5、上可见初等数学由上可见初等数学 与数学分析区别在于与数学分析区别在于 初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.数学分析 研究对象为变量变量,运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数,运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯恩格斯笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、如何学习数学二、如何学习数学 分析分析?1.认识数学分析的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学

6、习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节 目录 上页 下页 返回 结束 华罗庚华罗庚返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第一章实数集与函数1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义的函数,因此我们首先要熟悉实数的基本概念与性质.返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、实数的稠密性六、实数与数轴上的点一一对应七、实数的绝对值与三角形不等式三、实数的四则运算四

7、、实数的阿基米德性一、实数的十进制小数表示二、实数的大小返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 记号与术语返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.任何一个实数都可以用十进制小数表示任何一个实数都可以用十进制小数表示.若若其中其中2.有限小数有限小数又可又可表示为表示为一、实数的十进制小数表示返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.即即:若若则则用无限小数表示实数，称为用无限小数表示实数，称为正规表示正规表示.x 可用循环十进制小数表示，可用循环十进制小数表示，3.表示

8、有理数集表示有理数集.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4.无理数为无限不循环小数无理数为无限不循环小数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、实数的大小定义定义1 若若是是正规的十进制小数表示正规的十进制小数表示,规定规定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页实数的大小关系有以下性质实数的大小关系有以下性质:三者必有三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立其中之一成立，且只有其中之一成立.即即大小关系具有传递性大小关系具有传递性.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、实数的四则运算实数集实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除

9、（除数不为 0）亦是）亦是有理数集有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）是）是实数的四则运算与大小关系实数的四则运算与大小关系,还满足还满足:封闭的封闭的.封闭的封闭的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性:理由如下：设理由如下：设 为第一个不为零的正整数为第一个不为零的正整数,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 证证阿基米德阿基米德(Archimedes,287B.C.212B.C.,希腊希腊 )返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页阿基米德阿基米德 阿基米德

10、阿基米德(Archimedes，约公元前287212)古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。在力学方面，系统并严格的证明了杠杆定律，为静力学奠定了基础，并利用这一原理设计制造了许多机械。他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律；在数学方面，阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法，创立了“穷竭法”；在天文学方面，他提出地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，这一观点比哥白尼的“日心地动说”要早一千八百年。返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、实数的稠密性数又有数又有无理数无理数.证证 返回返

11、回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2证证的无理数的无理数.设设k k是满足是满足的最大整数的最大整数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页六、实数与数轴上的点一一对应实数集实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系与数轴上的点可建立一一对应关系.1.这种对应关系，粗略地可这样描述：这种对应关系，粗略地可这样描述：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页反之反之,任何一实数也对应数轴上一点任何一实数也对应数轴上一点.2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性完备性.我们将在后面有关章节中作进一步讨论我们将在后面有关章节中作进一步讨论.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页七、实数的绝对值与三角形不等式2.实数的绝对值性质实数的绝对值性质:定义为定义为:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(三角形不等式三角形不等式).的的证明：证明：3.三角形不等式三角形不等式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题循环节不超过循环节不超过 q 的循环小数？的循环小数？2.为什么为什么 1 和和 0.99 表示同一个数表示同一个数?在在 R 中稠密中稠密.3.如何定义数集如何定义数集 在在 中稠密中稠密?按你的定义证明按你的定义证明