第九章 方差分析与回归分析.ppt

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1、Copyright 2006 NJUFE第九章 方差分析与回归分析本章研究的主要问题：1.有关单因素和多因素非简单试验的统计分析方法 多处理的正态总体参数估计和均值比较。2.对输入变量与试验指标之间存在的统计因果关系和协同变异问题进行统计分析的方法 回归分析和相关分析。涉及的理论模型：线性模型所用到主要方法：最小二乘法Copyright 2006 NJUFE第一节 单因素试验的方差分析单因素随机试验：只考察一个因素A，试验的水平有 a 个：A1，A2，Aa。设Ai的重复数（样本容量）为ri，i=1，2，a。总试验次数为前提假设：所有试验单元的试验条件一致（无系统误差）。方差分析的作用：1.通过

2、对试验数据的统计分析，推断造成试验数据间的差异的原因是试验水平差异还是随机误差的影响。术语：试验指标、因素、水平 教材p270Copyright 2006 NJUFE2.推断哪些因素的影响是显著的。3.分析出“最佳”的试验水平（固定模型）；或估计总体变量的参数（随机模型）。方差分析与假设检验的区别：方差分析能同时检验多个总体的某个参数（如均值）是否相等，而假设检验每次只能检验两个总体的某个参数是否相等。方差分析与回归分析的区别：1.回归分析主要是为了得到自变量与因变量之间的定量关系 回归方程。回归系数显著性讨论的目的，是把影响不显著的自变量从回归方程中剔除，以提高回归方程的稳健性，使预测更加精

3、确可靠。Copyright 2006 NJUFE 方差分析则是用于区分因素对试验指标影响的显著程度及影响大小，从而找出“最佳”的试验水平。2.回归分析要求因素（输入）变量是定量的，而方差分析则不要求因素（输入）变量是定量的。3.回归分析要求对所有试验水平都进行相应的试验，而方差分析则只需有选择地对某些试验水平进行试验（如正交设计）。一、单因素完全随机等重复试验的方差分析1.试验的线性模型设因素A的a 个试验水平为：A1，A2，Aa，每个试验水平的重复数（样本容量）均为r。Copyright 2006 NJUFE试验目的：针对固定模型，对A1，A2，Aa 比较寻优。设 是水平Ai下第j次重复的试

4、验指标观察值，设i是水平Ai下试验指标的真值，是水平Ai下第j次重复试验产生的随机误差。对随机误差的前提假设：1.相互独立；2.均服从正态分布；2.3.方差齐性（同质性）：D()=2。对随机误差是否满足三条假定的检查及校正：1.对随机误差方差齐性的检验：2.快速检验随机误差方差齐性的方法：3.非正态分布数据的校正：Copyright 2006 NJUFE固定试验模型(见教材p274 公式(1.1）)检验假设H0：i=0，i=1，a；HA：i不全为零。若拒绝H0，则对每对i，j，ij，检验H0：i=j；HA：i j.Copyright 2006 NJUFE2.参数，i的估计 3.对效应的显著性检

5、验计算方法见教材275.Copyright 2006 NJUFE说明：组内变差SSe 反映随机干扰对输出产生的效应；组间变差SSA 反映不同输入水平对输出产生的效应。可以证明：SST=SSe+SSA，且SST的自由度 fT=ar-1，SSe的自由度 fe=a(r-1)，SSA的自由度 fA=a-1。此外，在随机误差方差齐性的假设之下，有 E(SSe)=a(r-1)2。Copyright 2006 NJUFE问题：FA服从什么分布？结论：FAF(a-1，a(r-1)。对给定的显著性水平，查F分布表得到临界值F(a-1，a(r-1)，再由样本观察值计算出FA的值，若FA F(a-1，a(r-1)，

6、接受H0；若FA F(a-1，a(r-1)，拒绝H0 。参见教材p276-278。Copyright 2006 NJUFE第三节 一元线性回归社会经济现象中相互影响或相互联系的关系一般可分为三类：函数关系、相关关系、不确定关系。相关关系：现象之间存在着数量上的依存关系，但这种关系间的数值是不确定的。Copyright 2006 NJUFE相关关系的分类：因果关系、平行关系平行关系：互为因果或由共同的外因所影响（协同变异）。统计分析的任务：1.对因果关系，建立回归方程，进行预测和控制。2.对平行关系，估计相关系数，确定相关程度。一、回归概念 对因果关系，一般把条件因素(可控制或可观察)作为自变量

7、x(普通变量)，将结果作为因变量Y(随机变量)。Copyright 2006 NJUFE 对确定的x，Y=Y(x)是随机变量，设其期望存在，记(x)=E(Yx)，称(x)为Y(x)对x的回归函数，简称回归。回归函数描述了x与Y(x)的平均值的依存关系。（E(Yx)表示对于固定的x，Y(x)的数学期望。）估计(x)：求Y(x)对x的回归问题。Copyright 2006 NJUFE二、直线回归模型y=+xx1x2设x与Y(X)之间有因果关系，且直线相关设 (x)=E(Yx)=+x ，称其为总体回归方程，称 为回归系数。Copyright 2006 NJUFE 由于、是未知的，设想通过样本观察值得

8、出、的估计值a、b。于是称其为经验回归方程或样本回归方程。问题：如何估计a、b的值？三、参数估计 设抽样得到一组样本观察值(x1，y1)，.，(xn，yn)，则样本回归方程的值为Copyright 2006 NJUFE 根据最小二乘法的原理，选择a、b使回归值与观察值的误差平方和达到最小，即由 可得（教材p299-300）Copyright 2006 NJUFE四、残差分析可以证明：（教材p302-303）Copyright 2006 NJUFE五、参数的统计性质由正态分布的性质和a，b的表达式，可得Copyright 2006 NJUFEa、b是、的最小方差线性无偏估计，一般称为最佳线性无偏

9、估计，简记为BLUE。总离差平方和Syy和剩余离差平方和Q、回归离差平方和U之间有如下关系：Syy=Q+U 。Copyright 2006 NJUFE可以证明：Syy的自由度fT=n-1，Q的自由度 fe=n-2，U的自由度fU=1。从而，fT=fe+fU ，且有结论：1.Q/(n-2)是2的无偏估计；2.设H0：=0，H1：0.若H0成立，则直线回归不存在，若H1成立，则存在直线回归。并且，当H0成立，U与Q相互独立，且Copyright 2006 NJUFE六、统计推断 由关系式Syy=Q+U 可见，U在Syy中占的比重越大(即U/Q的值大)，线性回归的效果越佳。而H0的检验统计量故当FF

10、(1，n-2)，拒绝H0，即线性回归的效果显著。由于 b=Sxy/Sxx，相关系数可以证明：Copyright 2006 NJUFE故H0的检验统计量也可写成说明：1.通常的做法是先由获得的样本观察值，计算出相关系数r，再检验假设H0，当拒绝H0后，才求回归方程。2.也可对H0进行t-检验，其效果和F-检验等价。3.若拒绝H0，则的置信度为1-的置信区间为Sb为b的样本标准差。（教材P305）Copyright 2006 NJUFE系数a的显著性检验：Copyright 2006 NJUFE对任何给定的x0，理论回归直线(x)=+x的点估计和1-置信区间分别为（教材P306）七、预测与控制由此，可根据不同的研究目的进行预测或控制。直线回归的进一步分析：非线性关系的拟线性回归：对一些常用的非线性关系，可通过变量代换将其变成线性关系用线性回归的方法得到线性回归方程，再用逆变换变成非线性回归方程。（具体内容见教材p309-312.）