《章末总结》课件.ppt

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1、3.5 章末总结课件一、合情推理与演绎推理一、合情推理与演绎推理1.1.归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理(1)(1)定义及特征定义及特征(2)(2)对归纳推理的认识对归纳推理的认识归纳是依据特殊现象推断一般现象归纳是依据特殊现象推断一般现象.因而，归纳所得的结论因而，归纳所得的结论超越了前提所包括的范围超越了前提所包括的范围;归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质象，因而结论具有猜测的性质;归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的

2、基础之上；实验的基础之上；由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它具有由特殊由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的用的.一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠么推广的一般性命题就越可靠.(3)(3)对类比推理的认识对类比推理的认识类比是用人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的类比是用人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以原有认识作为基础，类比出新的结果事物的

3、属性，它以原有认识作为基础，类比出新的结果;类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;类比的结果具有猜测性，不一定可靠类比的结果具有猜测性，不一定可靠.一般情况下，如果类比一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠得出的命题就越可靠.类比推理的结论具有偶然性，既可能真，类比推理的结论具有偶然性，既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值；实用

4、价值；两个系统可作类比的前提是，它们各自的部分之间在其可以清两个系统可作类比的前提是，它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上是一致的，因此，类比的关键是能把两个系楚定义的一些关系上是一致的，因此，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性统之间的某种一致性(相似性相似性)确切地表述出来，也就是要把相关确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，这不同于比喻对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，这不同于比喻.2.2.合情推理合情推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理是根据实归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和

5、直觉、已有的事实和正确的结验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论论(定义、公理、定理等定义、公理、定理等)推测出某些结果的推理方式推测出某些结果的推理方式.3.3.演绎推理演绎推理演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程则得到新结论的推理过程.演绎推理的一般模式：演绎推理的一般模式：“三段论三段论”：(1)(1)大前提：已知的一般原理大前提：已知的一般原理(M(M是是P);P);(2)(2)小前提：所研究的特殊情况小前提：所研究的特殊情况(S(S是是M);M);(3)(3)结论：由一般原

6、理对特殊情况做出判断结论：由一般原理对特殊情况做出判断(S(S是是P).P).4.4.对演绎推理模式的认识对演绎推理模式的认识(1)(1)三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理组成的演绎推理.(2)(2)三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式推理形式(即即S S与与M M的包含关系的包含关系)是否正确是否正确.(3)(3)运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结

7、论作为下一个三段论的前提的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.【辨析辨析】合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 归纳推理：由部分到整体，由个别到一般归纳推理：由部分到整体，由个别到一般 类比推理：由特殊到特殊类比推理：由特殊到特殊演绎推理：由一般到特殊演绎推理：由一般到特殊.(2)(2)合情推理的前提为真时，结论不一定为真；演绎推理的前合情推理的前提为真时，结论不一定为真；演绎推理的前提为真时，结论必定为真提为真时，结论必定为真.(3)(3)演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路提供方向和思路.(1)

8、(1)合情推理合情推理二、综合法和分析法二、综合法和分析法1.1.综合法综合法(1)(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法.(2)(2)其推理方式可用框图表示其推理方式可用框图表示其中其中P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q Q表示所要表示所要证明的结论，证明的结论，Q Q1 1,Q

9、,Q2 2,表示中间结论表示中间结论综合法常用的表达格式综合法常用的表达格式P P，Q Q1 1;又又Q Q1 1，Q Q2 2;又又Q Qn n，Q.Q.(3)(3)对综合法的认识对综合法的认识所谓综合法，是指所谓综合法，是指“由因导果由因导果”的思维方法，即从已知条件的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法综合法的思维过出发，不断地展开思考，去探索结论的方法综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：程的全貌可概括为下面形式：“已知已知可知可知1 1可知可知2 2结结论论”综合法的每一步都是三段论综合法的每一步都是三段论(或其简略形式或其简略形式)，大前提一定要，大前提一

10、定要正确，否则证明易出错正确，否则证明易出错2.2.分析法分析法(1)(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，我们把这样的思维方法称为分析法定义、公理、定理等，我们把这样的思维方法称为分析法.(2)(2)其推理方式可用框图表示其推理方式可用框图表示其中其中Q Q表示要证明的结论表示要证明的结论.(3)(3)对分析法的认识对分析法的认识所谓分析法，是指所谓分析法，是指“执果索因执果索因”的思维方法，即从结

11、论出发，的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法分析法的不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论结论需知需知1 1需知需知2 2 已知已知”使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析分析”的的语气对待的，因而证明格式上应体现出语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析分析”探讨性探讨性(“(“要证要证，只需证，只需证”)”)，而非直接肯定结论，而非直接肯定结论【辨析辨析】综合法与分析法的比较综合法与分析法的比较综合法与分析法是直接证明的两

12、种基本方法，两种方法各有优综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点缺点.分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简便地解决问题，但不便于思考简便地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程程.三、反证法三、反证法1.1.反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛反证法

13、是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适用范围注意证明步骤和适用范围.2.2.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导(综合综合法法)，甚至难于寻求到使之成立的充分条件，甚至难于寻求到使之成立的充分条件(分析法分析法)的的“疑难疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立了原命题成立【备选答案

14、备选答案】A A合情推理合情推理 B B间接证明间接证明 C C归纳推理归纳推理 D D综合法综合法 A AB BC CD D 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理【技法点拨技法点拨】合情推理与演绎推理的应用合情推理与演绎推理的应用(1)(1)归纳推理和类比推理是常用的合情推理，归纳推理是由部归纳推理和类比推理是常用的合情推理，归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，它在教学研究或分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，它在教学研究或数学学习中有着发现新知识、探索真理、预测答案、探索解题数学学习中有着发现新知识、探索真理、预测答案、探索解题思路等重要的作用；类比推理是由特殊到特殊

15、的推理，它以比思路等重要的作用；类比推理是由特殊到特殊的推理，它以比较为基础，有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题较为基础，有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等等.(2)(2)演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理.演绎演绎推理的前提是一般性原理，而结论是蕴含于前提之中的个别、推理的前提是一般性原理，而结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实特殊事实.在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的真实的，推理形式是正确的，结

16、论必定是正确的.【典例典例1 1】(1)(1)给出一个给出一个“三角形三角形”的数表如下：的数表如下：此表构成的规则是：第一行是此表构成的规则是：第一行是0 0，1 1，2 2，999999，以后下一行，以后下一行的数是上一行相邻两个数的和的数是上一行相邻两个数的和.问：第四行的数中能被问：第四行的数中能被999999整除整除的数是什么？的数是什么？(2)(2)已知点已知点O O是是ABCABC内任意一点，连结内任意一点，连结AOAO，BOBO，COCO并延长交边并延长交边于于AA，BB，CC，则，则 ，这是一道平面几何，这是一道平面几何题，其证明常采用题，其证明常采用“面积法面积法”：那么在

17、空间四面体那么在空间四面体A-BCDA-BCD中存在怎样的结论？并证明中存在怎样的结论？并证明.【解析解析】(1)(1)首先找出第四行数的构成规律首先找出第四行数的构成规律.通过观察、分析，通过观察、分析，可以看出：第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的可以看出：第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关，具体关系可以从上表看出：如果用数有关，具体关系可以从上表看出：如果用a an n表示第四行的第表示第四行的第n n个数，那么个数，那么a an n=8n+4.=8n+4.现在要找出现在要找出a an n=8n+4=999k=8n+4=999k的的a an n，显然，显然k k应

18、是应是4 4的倍数的倍数.注意到第四行中最大的数是注意到第四行中最大的数是7 98099987 9800)=2px(p0)的焦点的弦为直径的的焦点的弦为直径的圆必与直线圆必与直线 相切相切.【证明证明】如图所示，过点如图所示，过点A A，B B分别作分别作AAAA，BBBB垂直准线于点垂直准线于点AA，BB，取，取ABAB的中点的中点M M，作作MMMM垂直准线于点垂直准线于点M.M.方法一：方法一：(分析法分析法)要证以要证以ABAB为直径的圆与准线相切，只需证为直径的圆与准线相切，只需证|MM|=|AB|.|MM|=|AB|.由抛物线的定义得由抛物线的定义得|AA|=|AF|AA|=|AF

19、|，|BB|=|BF|BB|=|BF|，所以所以|AB|=|AA|+|BB|AB|=|AA|+|BB|，因此只需证，因此只需证|MM|=|MM|=根据梯形的中位线原理可知上式是成立的根据梯形的中位线原理可知上式是成立的.所以以过抛物线所以以过抛物线y y2 2=2px=2px焦点的弦为直径的圆必与直线焦点的弦为直径的圆必与直线 相切相切.方法二：方法二：(综合法综合法)由题意知由题意知MMMM为梯形为梯形AABBAABB的中位线，所的中位线，所以以|MM|=(|AA|+|BB|).|MM|=(|AA|+|BB|).又又ABAB过抛物线的焦点过抛物线的焦点F F，故，故|AA|=|AF|AA|=

20、|AF|，|BB|=|BF|.|BB|=|BF|.由由，知，知|MM|=(|AF|+|BF|)=|AB|.|MM|=(|AF|+|BF|)=|AB|.又又MMABMMAB，因此以，因此以ABAB为直径的圆与准线相切，故命题成为直径的圆与准线相切，故命题成立立.【归纳归纳】综合法证题的关键点及分析法证题应注意的问题综合法证题的关键点及分析法证题应注意的问题.提示：提示：(1)(1)证题时要广泛地联想已知条件所具备的各种性质，证题时要广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导到结论逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导到结论.(2)(2)当用综合法证明很困难时，可采用分

21、析法，用分析法证题当用综合法证明很困难时，可采用分析法，用分析法证题时注意步骤的书写时注意步骤的书写.反证法反证法【技法点拨技法点拨】对反证法的认识对反证法的认识(1)(1)如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑运用反证如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑运用反证法法.通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立原结论成立.(2)(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提原结论

22、的否原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明往采用反证法证明.所以反证法在数学证明中有着广泛的应用所以反证法在数学证明中有着广泛的应用.(3)(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的出的“正难则反正难则反”的解决问题的思想方法更为重要的解决问题的思想方法更为重要.反证法主反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几

23、何问题要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.【典例典例3 3】已知已知a,b,c,dRa,b,c,dR，且，且ad-bc=1,ad-bc=1,求证求证a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+ab+cd1.cd1.【证明证明】假设假设a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd=1.+ab+cd=1.ad-bc=1,ad-bc=1,aa2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd=ad-bc,+ab+cd=ad-bc,aa2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd+bc-ad=0+ab+cd+bc-a

24、d=0，2a2a2 2+2b+2b2 2+2c+2c2 2+2d+2d2 2+2ab+2cd+2bc-2ad=0+2ab+2cd+2bc-2ad=0，a+b=0,b+c=0,c+d=0,a-d=0,a+b=0,b+c=0,c+d=0,a-d=0,a=b=c=d=0a=b=c=d=0，ad-bc=0,ad-bc=0,这与已知矛盾这与已知矛盾.从而假设不成立，原命题成立，从而假设不成立，原命题成立，即即a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd1+ab+cd1成立成立.【思考思考】反证法证题的理论基础是什么？证明时常犯的错误是反证法证题的理论基础是什么？证明时常犯的错误是什

25、么？什么？提示：提示：(1)(1)理论基础是命题理论基础是命题p p与命题与命题p p真假相反真假相反.(2)(2)在用反证法证明时常出现反设错误而导致证明错误在用反证法证明时常出现反设错误而导致证明错误.化归与转化的思想化归与转化的思想【技法点拨技法点拨】化归与转化的思想化归与转化的思想(1)(1)化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法.数学中数学中一切问题解决都离不开化归与转化，化归与转化的原则是：将一切问题解决都离不开化归与转化，化归与转化的原则是：将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的易解的或已解决的问题；不熟悉的或难解的问题转化为熟知的易

26、解的或已解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的问题；将实际问题简单的问题；将一般性的问题转化为直观的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决转化为数学问题，使问题便于解决.(2)(2)在进行有关推理与证明时，当所研究问题不好证明时，常在进行有关推理与证明时，当所研究问题不好证明时，常常将其转化为另一问题，使问题明朗、简单常将其转化为另一问题，使问题明朗、简单.如分析法、反证如分析法、反证法等都是运用了这种思路，通过合理转化，往往能简捷地得到法等都是运用了这种思路，通过合

27、理转化，往往能简捷地得到解题思路解题思路.【典例典例4 4】已知函数已知函数f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的增函数，上的增函数，a,bR,a,bR,求求证：若证：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则则a+b0.a+b0.【证明证明】已知原命题的逆否命题为已知原命题的逆否命题为:已知已知f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的上的增函数，增函数，a a，bRbR，若，若a+ba+b0,0,则则f(a)+f(b)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).f(-a)+f(-b).若若a+ba+b0,0,则则a a-b,b-b,b-a

28、,-a,f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上是增函数，上是增函数，f(a)f(a)f(-b),f(b)f(-b),f(b)f(-a),f(-a),f(a)+f(b)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),f(-a)+f(-b),逆否命题为真，故原命题成立逆否命题为真，故原命题成立.【归纳归纳】证明本题的基本思路及易忽视的问题证明本题的基本思路及易忽视的问题.提示：提示：(1)(1)证明本题的思路为利用原命题与其逆否命题同真同证明本题的思路为利用原命题与其逆否命题同真同假，证明其逆否命题成立假，证明其逆否命题成立.(2)(2)本题易出现直接证明原命题成立而导致思路受阻无法证明本题易出现直

29、接证明原命题成立而导致思路受阻无法证明.【跟踪训练跟踪训练】1.1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a a所表示的所表示的数是数是()()(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析解析】选选C.C.根据数组中数的排列规律，不难发现除了每行两根据数组中数的排列规律，不难发现除了每行两端的数据，其他数据都等于它端的数据，其他数据都等于它“两肩两肩”上的数字之和，故上的数字之和，故a=3+3=6.a=3

30、+3=6.2.2.观察下列式子，归纳得出的一个一般的正确结论是观察下列式子，归纳得出的一个一般的正确结论是_._.2+2=42+2=4；22=422=4；【解析解析】观察各恒等式中的数之间的关系可归纳为：观察各恒等式中的数之间的关系可归纳为：(n1,n(n1,n是正整数是正整数).).答案：答案：3.3.在在ABCABC中，已知中，已知(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)=(a)sin(A-B)=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B)sin(A+B)，求证：，求证：ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.【证明证明】方法一：由条件可得方法一：由条件可得a a

31、2 2sin(A-B)-sin(A+B)sin(A-B)-sin(A+B)+b b2 2sin(A-B)+sin(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)=0=0，即即a a2 2cosAsinB=bcosAsinB=b2 2sinAcosB.sinAcosB.由正弦定理可得由正弦定理可得sinsin2 2AcosAsinB=sinAcosAsinB=sin2 2BsinAcosB.BsinAcosB.sinAsinB0,sin2A=sin2B,sinAsinB0,sin2A=sin2B,2A=2B2A=2B或或2A=-2B,2A=-2B,A=BA=B或或A+B=.A+B=.ABCABC为等

32、腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.方法二：由条件可得方法二：由条件可得a a2 2sin(A-B)-sin(A+B)sin(A-B)-sin(A+B)+b+b2 2sin(A-B)sin(A-B)+sin(A+B)+sin(A+B)=0,=0,即即a a2 2cosAsinB=bcosAsinB=b2 2sinAcosB.sinAcosB.由余弦定理和正弦定理得由余弦定理和正弦定理得整理得整理得a a4 4-a-a2 2c c2 2+b+b2 2c c2 2-b-b4 4=0=0，(a(a2 2-b-b2 2)(a)(a2 2+b+b2 2-c-c2 2)=0)=0，a=ba=b或

33、或a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.4.4.设设a a，b b，c c，d d是正数，求证下列三个不等式：是正数，求证下列三个不等式：a+bc+d a+bc+d (a+b)(c+d)ab+cd (a+b)(c+d)ab+cd (a+b)cdab(c+d)(a+b)cdab(c+d)中至少有一个不正确中至少有一个不正确.【证明证明】假设不等式假设不等式都成立，都成立，因为因为a a，b b，c c，d d都是正数都是正数.所以所以与与相乘，得相乘，得(a+b)(a+b)2 2ab+cdab+cd，由由得得(a+b)cdab(c

34、+d)(a+b)cdab(c+d)a+ba+b0 0，4cd(a+b)4cd(a+b)(c+d)(c+d)，结合结合得得4cdab+cd,4cdab+cd,所以所以3cdab,3cd00矛盾，矛盾，所以假设不成立，故不等式所以假设不成立，故不等式中至少有一个不正确中至少有一个不正确.5.5.在锐角三角形在锐角三角形ABCABC中，求证：中，求证：tanAtanB1.tanAtanB1.【证明证明】分析法：分析法：A A，B B，C C都是锐角都是锐角.要证要证tanAtanB1,tanAtanB1,只需证只需证只需证只需证sinAsinBcosAcosB,sinAsinBcosAcosB,只需

35、证只需证sinAsinB-cosAcosB0,sinAsinB-cosAcosB0,只需证只需证cos(A+B)0,cos(A+B)0,只需证只需证cos(-C)0,cos(-C)0,只需证只需证-cosC0,-cosC0.cosC0.因为因为cosC0cosC0成立，成立，所以所以tanAtanB1.tanAtanB1.综合法：综合法：在锐角三角形在锐角三角形ABCABC中，因为中，因为cosC0,cosC0,所以所以-cosC0,-cosC0,所以所以cos(-C)0,cos(-C)0,所以所以cos(A+B)0,cos(A+B)0,sinAsinB-cosAcosB0,所以所以sinAsinBcosAcosB,sinAsinBcosAcosB,所以所以所以所以tanAtanB1.tanAtanB1.