教育专题：高考数学_解排列组合问题的常用方法课件.ppt

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1、排列组合应用题解法综述 计数问题中排列组合问题是最常见的，计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活因此方法灵活多样多样,不同解法导致问题难易变化也较大，不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现而且解题过程出现“重复重复”和和“遗漏遗漏”的错的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。并把握一些常见解题模型是必要的。基本原理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应用问题 知识结构网络图：知识结构网络图：名称内容分类（加法）原理分类（加法）原理分步（乘法）原理分步

2、（乘法）原理定定 义义相同点相同点不同点不同点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，

3、个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法完成事件的完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法都可以都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。1.1.排列和组合

4、的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数2.解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类,或是分步

5、与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是还是 组合组合(无序无序)问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合则集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某铁路

6、线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次握手相互问候，共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点

7、中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景个风景点的游览顺序点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题3.合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；不漏；按按事情的发生的连续过程分步，事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚做到分步层次清楚.分析：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例：例

8、：6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相，2个老个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 种方法种方法.2）若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有 种，种，1位的排法位的排法有有 种种,第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 种种，根据分步计数，根据分步计数原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。3）再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。（1）0，1，2，3，4

9、，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？练练 习习 题题分类：个位数字为分类：个位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的组成的无重复数

10、字的五位数中大于五位数中大于31250，小于，小于50124的数共有多少个？的数共有多少个？（3）有不同的数学书）有不同的数学书7本，语文书本，语文书5本，英语书本，英语书4本，由其中取出不是本，由其中取出不是同一学科的书同一学科的书2本，共有多少种不本，共有多少种不同的取法？同的取法？（75+74+54=83）回目录回目录解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。基本方法基本方法(一一)特殊元素和特殊位置问题特殊元素和特殊位置问题特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先

11、策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为若以元素分析为主主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再处理其它元

12、素再处理其它元素.若以若以位置分析为主位置分析为主,需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求,再再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（的三位数，其中偶数共有（）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特

13、殊”元素，应优元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；1)0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2)0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；3)由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.B小结：小结：1 1、“在在”与与“不在不在”可以相互转化。可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用解决某些元素在某些位置上用“定位法定位法”，解，解决某些元素不在某些位置上一般用决某些元素不在某些位置上一般用“间接法间接法”或转化为或转化为“在在”的问题求解。的

14、问题求解。2 2、排列组合应用题极易出现、排列组合应用题极易出现“重重”、“漏漏”现象，而重现象，而重”、“漏漏”错误常发生在该不该错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重重”堵堵“漏漏”，在做题时需认真分析自己做，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案核对答案基本方法基本方法(二二)相邻相间问题相邻相间问题1.1.相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略例：例：7 7人站成一排人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.

15、甲甲乙乙丙丙 丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将

16、需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.2.2.2.2.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例：例例：一一个个晚晚会会的的节节目目有有一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4 4 4个个舞舞蹈蹈个个舞舞蹈蹈,2 2,2 2个个相相声声个个相相声声,3 3,3 3个个个个 独独唱唱

17、独独唱唱,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场,则则节节目目的的出出则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？场场顺顺序序有有多多少少种种？解解解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2 2 2个相声和个相声和个相声和个相声和3 3 3 3个独唱共个独唱共个独唱共个独唱共 有有有有 种，种，种，种，第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独

18、独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端插入中间和两端插入中间和两端插入中间和两端（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：插空

19、法：插空法：（3）用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有有_个（用数字作答）个（用数字作答）练练 习习(3)(2005 辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有这样的八位数共有_个（用数字作答）个（用数字作答）将与，与，与捆绑在一起排成一列将与，与，与捆绑在一起排成一列有有 种，再将、插入种，再将、插入4个空位中的两个个空位中的两个有有 种

20、，故有种，故有 种种（4 4）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（乙都不与丙相邻，则不同的排法有（）种）种960960种种 （B B）840840种种 （C C）720720种种 （D D）600600种种解：解：另解：另解：（5 5）某人射击）某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中枪命中恰好有恰好有3 3枪连在一起的情形的不同种数枪连在一起的情形的不同种数为为（）20小结：小结：以元素相邻为附加条件的以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即应把相邻元素视为一个整体，即采用采用“捆绑法捆绑

21、法”；以某些元素不；以某些元素不能相邻为附加条件的能相邻为附加条件的,可采用可采用“插空法插空法”。“插空插空”有同时有同时“插插空空”和有逐一和有逐一“插空插空”,并要注并要注意条件的限定意条件的限定.回目录回目录定序问题倍缩、空位、插入策略定序问题倍缩、空位、插入策略基本方法基本方法(三三)定序问题定序问题定序问题倍缩、空位、插入策略定序问题倍缩、空位、插入策略例：例：7 7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:(倍缩法倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先

22、把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是：（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 1思考思考:可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有1 1种排法种排法,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6

23、*74*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理空模型处理练习题1010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？练习：练习：期中安排考试科目期中安排考试科目9 9门门,语文要在数学之前考语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序有多少种不同的安排顺序?结论结论 对等法对等法:在有些题目中在有些题目中,它的限制条件的肯定与它的限制条件的肯定与否定是对等的否定是对等的,各占全体的二分之一各占全体的二分之一.在求解中只要求在求解中只

24、要求出全体出全体,就可以得到所求就可以得到所求.基本方法基本方法(四四)分房问题分房问题又名：住店法，又名：住店法，重排问题求幂策略重排问题求幂策略例：例：七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.B.C D.分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：对此类问

25、题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？呢？用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。回目录回目录允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯,下电梯的方

26、法下电梯的方法（）练习题回目录回目录基本方法基本方法(五五)环排问题和环排问题和多排问题多排问题环排问题线排策略环排问题线排策略例例1.51.5人围桌而坐人围桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！一般地一般地,n n个不同元素作圆形排个不同元素作圆形排列列,共有共有(

27、n-1)!n-1)!种排法种排法.如果从如果从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素作个元素作圆形排列共有圆形排列共有练习题6 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？60多排问题直排策略多排问题直排策略例例2.82.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的

28、个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.回目录回目录有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，现安排个座位，现安排2 2人就座规定前排人就座规定前排中间的中间的3 3个座位不能坐，并且这个座位不能坐，并且这2 2人人不左右相邻，那么不同排法的种数不左右相邻，那么不同排法的种数是是_346练习题基本方法基本方法(六六)小集团问题小集团问题小集团问题

29、先整体局部策略小集团问题先整体局部策略例：计划展出例：计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画,排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为端，那么共有陈列方式的种数为_练习：练习：5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相男生相邻邻,女生也相邻的排法有女生也相邻的排法有_种种 基本方法基本方法(七七)元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略1.1.应用背景：应用背景：相同元素的名额分配问题。相同元素的名额分配问题。2.隔板法的使用特征：

30、隔板法的使用特征：相同的元素分成若干相同的元素分成若干部分，每部分至少一个。部分，每部分至少一个。元素相同问题隔板策略例例.有有1010个运动员名额，分给个运动员名额，分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四

31、班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为例例 高二年级高二年级8 8个班个班,组织一个组织一个1212个人的年级学生分会个人的年级学生分会,每班要求至少每班要求至少1 1人人,名额分配方案有多少种名额分配方案有多少种?解解 此题可以转化为此题可以转化为:将将1212个相同的白球分成个相同的白球分成8 8份份,有有多少种不同的分法问题多少种不同的分法问题,因

32、此须把这因此须把这1212个白球排成一个白球排成一排排,在在1111个空档中放上个空档中放上7 7个相同的隔板个相同的隔板,每个空档最多每个空档最多放一个放一个,即可将白球分成即可将白球分成8 8份份,显然有显然有 种不同的放法种不同的放法,所以名额分配方案有所以名额分配方案有 种种.结论结论 转化法转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体将其化归为简单的、具体的问题来求解的问题来求解.分析分析 此题若直接去考虑的话此题若直接去考虑的话,就会比较复杂就会比较复杂.但如果但如果我们将其转换

33、为等价的其他问题我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚就会显得比较清楚,方法简单方法简单,结果容易理解结果容易理解.练练 习习（1 1）将）将1010个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给7 7个不同个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有案共有 （）种。）种。（2 2）1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少一每盒至少一 个，共有（个，共有（）种装法）种装法。小结：小结：把把n n个相同元素分成个相同元素分成m m份每份份每份,至至少少1 1个元素个元素,问有多少种不同分法的问题问有多少种不同分

34、法的问题可以采用可以采用“隔板法隔板法”得出共有得出共有 种种.基本方法（八）基本方法（八）平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略“分书问题分书问题”平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例：6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解:分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),

35、(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为为均分的组数均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队,有多少分法？有多少分法？2.2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排

36、到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 基本方法（九）基本方法（九）间接法解题间接法解题正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略例例1.1.我们班里有我们班里有4343位同学位同学,从中任抽从中任抽5 5人人,正、副班长、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解解 4343人中任抽人中任抽5 5人的方法有人的方法有 种种,正副班长正副班长,团支部团支部书记都不在内的抽法有书记都不在内的抽法有 种种,所以正副班长所以正副班长,团支部书团支部书记至少有记至

37、少有1 1人在内的抽法有人在内的抽法有 种种.分析分析 此题若是直接去考虑的话此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几就要将问题分成好几种情况种情况,这样解题的话这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重容易造成各种情况遗漏或者重复的情况复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不不但容易理解但容易理解,而且在计算中也是非常的简便而且在计算中也是非常的简便.这样就可这样就可以简化计算过程以简化计算过程.有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的可以先求出它的反面反

38、面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.例例2 2：将将5 5列列车车停停在在5 5条条不不同同的的轨轨道道上上，其其中中a a列列车车不不停停在在第第一一轨轨道道上上，b b列列车车不不停停在在第第二二轨轨道道上上，那么不同的停放方法有（那么不同的停放方法有（）（A A）120120种种 （B B）9696种种 （C C）7878种种 （D D）7272种种解：解：五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（二个位置，那么不同的站法有（）A.120 B.96 C.78 D.72直接练练 习习分清排列、组合、等分的算法区别分

39、清排列、组合、等分的算法区别例例 (1)(1)今有今有1010件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6 6件分给甲一件分给甲一件件,乙二件和丙三件乙二件和丙三件,有多少种分法有多少种分法?(2)(2)今有今有1010件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6 6件分给三人件分给三人,其中其中1 1人一件人一件1 1人二件人二件1 1人三件人三件,有多少种分法有多少种分法?(3)(3)今有今有1010件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6 6件分成三份件分成三份,每每份份2 2件件,有多少种分法有多少种分法?解：（1）（2）(3)十、构造模型策略十、构造模型策略例例.马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,

40、4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若

41、4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120基本方法（十一）基本方法（十一）先选后排问题先选后排问题排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例.有有5 5个不同的小球个不同的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至少装一个球每盒至少装一个球,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法.再把再把5 5个元素个元素(包含一个复合包含一个复合 元素元素)装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_

42、种方法种方法.根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务,每人每人完成一种任务完成一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种1921923 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所所学校为学生体检学校为学生体检,每校分配每校

43、分配 1 名医生名医生和和 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多不同的分配方法共有多少种少种?先选后排问题的处理方法先选后排问题的处理方法 解法一：先组队后分校（先解法一：先组队后分校（先分堆后分配）分堆后分配）解法二：依次确定到第一、解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和第二、第三所学校去的医生和护士护士.练习练习 某学习小组有某学习小组有5 5个男生个男生3 3个女生，从中个女生，从中选选3 3名男生和名男生和1 1名女生参加三项竞赛活动，每名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有项活动至少有1 1人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：

44、采用先组后排方法:小结：小结：本题涉及一类重要问题：问本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后问题，一般是先元素（即组合）后排列。排列。基本方法（十二）基本方法（十二）实验法（穷举法），（枚举法）实验法（穷举法），（枚举法）实验法（穷举法）实验法（穷举法）题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。步寻求规律有时也是行之有效的方法。例例 将数字将数字1 1，2 2，3 3，4 4填入标号为填入标号为1 1，2 2，3 3，4 4的的四个方格内，每个

45、方格填四个方格内，每个方格填1 1个，则每个方格的标号与个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。可用实验法逐步解决。第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中内可填1或或3或或4。若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3。若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第

46、三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填1。同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填，则第三方格只能填1，第四方格应，第四方格应填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3种方法。种方法。不难得到，当第一格填不难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。注意区别注意区别“恰好恰好”与与“至少至少”从从6 6双不同颜色的手套中任取双不同颜色的手套中任取4 4只，其中恰好有一双只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（同色的手套的不同取法共有（）(A)480(A)480种（种（B B）240240种种 （C C）180180种种 （D D

47、）120120种种小结：小结：“恰好有一个恰好有一个”是是“只有一个只有一个”的意思。的意思。“至少有一个至少有一个”则是则是“有一个或一个以上有一个或一个以上”，可，可用分类讨论法求解，它也是用分类讨论法求解，它也是“没有一个没有一个”的反面，的反面，故可用故可用“排除法排除法”。解：练习练习 从从6双不同颜色的手套中任取双不同颜色的手套中任取4只，其中至只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有少有一双同色手套的不同取法共有_种种解：解：小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学解题策略加以复习巩固。排列组合历来是

48、学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同我们就可以选取不同的技巧来解决问题的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为问题简单化，举一反三，触

49、类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。后续学习打下坚实的基础。排列组合应用题解法综述（目录目录）基本概念和考点基本概念和考点基本概念和考点基本概念和考点合理分类和准确分步合理分类和准确分步特殊元素和特殊位置问题特殊元素和特殊位置问题特殊元素和特殊位置问题特殊元素和特殊位置问题相邻相间问题相邻相间问题相邻相间问题相邻相间问题定序问题定序问题分房问题分房问题环排、环排、多排问题多排问题多排问题多排问题小集团问题小集团问题小集团问题小集团问题先选后排问题先选后排问题平均分组问题平均分组问题构造模型策略构造模型策略实验法（枚举法）实验法（枚举法）其它特殊方法其它特殊方法 高考对这部分的要求还是比较高的高考对这部分的要求还是比较高的.要重视要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合组合.画一画，数一数，算一算，是基本的计数画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃方法，不可废弃.