10 第9讲 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题.docx

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1、第9讲 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题L 析考点砂国0考点II证明问题(师生共研)22他IUJ (2018高考全国卷m节选)已知斜率为左的直线/与椭圆C： 3+5=1交于43两点，线段45的中点为(1, m)(m0).(1)证明：k；(2)设尸为C的右焦点，。为C上一点，且而+说+港=0.证明：|茂|, FP, |港|成等差 数列.【证明】 设4(乃，9)，8(X2,)，则卷+5=1,亍+经=1.两式相喊，开由=2仔一1一+-攵=0.Xi-X243由题设知矛：Q=1,=于是人=一.3 由题设得。加,3 由题设得。加,故 k2）= - 2m0,%20.y=k (x2) ,2由 1 9 c得6

2、 22y44=0,可知 y+)，2=/, 1=一4.y 2xk直线BM, 3N的斜率之和为二 1212)|+即 + 2 ()“+”)Gm+v-Xi+2+X2+2-(汨+ 2)(及+2)将无尸号+2, X2=1+2及yi+如的表达式代入式分子，可得咫1+为m+2(+、2yly2+4攵(yi+小)-8 + 8 八)=%一s =一所以kBM+kBN=0,可知BM, 3N的倾斜角互补，所以NA8W=NA3N.综上，NABM=/ABN.3.设椭圆C弓+产=1的右焦点为 过/的直线/(异于x轴)与。交于A, 3两点,点M的坐标为(2, 0).(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程;(2)设。为坐标原点，

3、求或筹的值.X- U1V1D解：(1)由已知得尸(1, 0), /的方程为x=l,点A的坐标为(1, )或(1，所以AM的方程为y=一当x+也或尸乎x-也.当/与工轴垂直时，NOMA=/OMB,所以ZOMA=1ZOMB当/与x轴不垂直时，设/的方程为y=Mx-l)(ZWO), A(X1, y), Bg),直线MA, MB的斜率之和为如a +如产之+言,由 y=Z(xi 1), y?=k(X2- 1)得2kxlx?-3k (xi+%2) +4k 如A + kMB=-(x2)(X22)一将 y=Z(x 1)代入歹+丁2= 1,得(23+143工+23-2=0,所以%1+%2 =2-22Zr+r X

4、1X2=2+r贝2kxxi-3kxi + X2)+4Z:=4 炉一 4 左一 12K+8 /+4%2S+1=0,yBoH解：(1)由已知得0.设 4(为，yi), 8(X2,/)，P(xo, yo),则 Xi+%2 =2+r8乒一4XlX2=2/r+r2k _出_ _2Zr _=诟乔x1 F= 一则 m)=(xi+x2)= -27+ ，yo=A(xo+2) =2k直线EM的斜车kEM=-*2k,所以直线EM的方程为y=2&+2Z,即y=2Z(x+l), 直线A”的方程为y=-k(x+2)9所以点所以点33到直线/: /ay+2k=0的距离d=42一水+#+2ZM+l/4、/1AB=y 1 +|

5、xi X2=yj 1(为+及)?4光 1尤2= 牛2+，12a/ 1 +Zr|”|=押|=七MAP 的面积 S=APd= 271+k22F+1 # V+i=2+1 =2|川+因4工尸= 当且仅223，当且仅当网=当时取等号.所以MAP面积的最大值为好.(2019福州市质量检测)在三角形MA8中，点4-1, 0), 8(1, 0),且它的周长为6,记点M的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)设点0( 2, 0),过8的直线与后交于P, Q两点，求证：NPOQ不可能为直角.解：(1)依题意得,MA + MB + AB = 6,所以|M4| + |MB|=4|AB|,所以点”的轨迹E是以4一1, 0

6、), B(l, 0)为焦点且长轴长为4的椭圆，由于M, A, 8三点不共线，所以yWO,92所以E的方程为+上=1(卢。).(2)证明：设直线 PQ 的方程为 x=my+1,代入 3x2+4y2= 12,得(3z2+4)y2+62y9 = 0, ,6m+”=才育设夕(为，)，1), (9(X2,m)，则3)的右焦点为F,右顶点为4已知|OA| |OF|=1,其中。为坐标原点.(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线/与椭圆交于8(5不在x轴上)，垂直于/的直线与/交于点与y轴交于点”.若3尸，且NMOAWNM4。，求直线/的斜率的取值范围.【解】(1)设尸(c, 0),由题知 一

7、c=l,所以。=l+c, 4/2=1+2c+c2,又 “2 = 3 +，所以 3=l+2c,得 c=l,所以 4=2,丫2 V2c 所以椭圆的方程为+=1, e=j=j.(2)设直线/的斜率为攵W0),则直线/的方程为 =十-2),设8(加，冲),联立方程得彳消去y,得(43+ 3)氏2163+16标-12 = 0,则2冲=y=k (x2)y=k (x2)16-124 9+3 解得xb=解得xb=8合一6 4F+3 12k 从而班=痔耳由(1)知，F(l, 0),设(0, yH),则尸”=(一1,由(1)知，F(l, 0),设(0, yH),则尸”=(一1,_ 19-4k2卅)，3F=l而转由

8、BFLHF,得赤丽=0,所以卡涓+黑g=。,由BFLHF,得赤丽=0,所以卡涓+黑g=。,94於解得W=-k，因此直线MH194后的方程为y = vx+ 1Q,. K1乙Ky=k (x2),设加)，联立方程，得( 19-4ZrL 讲+r，、消去y,解得xm=201c+912 (F+l),在MA。中，ZMOAMAOMAMO,即(%-2)2+心4+)您 化简得 即20F+912 (F+1)1,解得W乎或女三小.所以直线/的斜率的取值范围为j -卦净+8)规律I司法解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数

9、的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等 量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数 的取值范围.鼠变式训练已知椭圆C +胃=1(。/?0)的焦距为4且过点(陋，-2).求椭圆。的方程;过椭圆焦点的直线/与椭圆。分别交于点, F,求无日的取值范围.72解：椭圆C: 5+方=1(。)的焦距是4,所以焦点坐标是(0, -2), (0, 2), 2a=V?+d2+ (2 + 2) 2=4隹所以。=2吸，b=2,22

10、即椭圆C的方程是总+5=1.o 4若直线/垂直于x轴，则点E(0, 2、，F(0, -22),赤 (9F=-8.若直线/不垂直于x轴，不妨设/过该椭圆的上焦点，则/的方程为丁=丘+2,设点E(xi,yi), F(X2, J2),将直线/的方程代入椭圆。的方程得到(2+Q)f+4辰一4=0,则 X+X2 =则 X+X2 =4k42+P汨应=2 +胃，-441c 8920所以。尸=%112+y 12=(1 + 4)为及+2k(x +及)+4 = 2 + Q20f f因为分所以一8石bW2,所以OE 。尸的取值范围是-8, 2.考点3最值问题(师生共研)+方=1(。0)经过点尸(1,tx2例3 (2

11、019武汉市武昌区调研考试)已知椭圆 C： 2y2 且离心率为弊.(1)求椭圆。的方程；(2)若直线/： y=x+机与椭圆。交于两个不同的点4, B,求O4B面积的最大值(。为 坐标原点).【解】由题意，知卜+蚩=1,C啦解得储=2,a 2 0,得 加20)的右顶点A且斜率为攵的直线交椭圆C于另一个点b19且点5在x轴上的射影恰好为左焦点R若泰%导 则椭圆离心率的取值范围为(1 31 A.1,4C.fo, |解析：选B.由题意知：c, =1-6.又为%|,“ a a-c所以k= j=c+q aI 213所以eq,解得W0,。0）的右焦点/作圆，+丁2=2的切线尸m（切点为M）,交y轴于点P.若

12、M为线段尸尸的中点，则双曲线的离心率是（）A巾B .小C. 2D邛解析：选A.因为OMLPF,且MF=PM,所以0P=0尸，所以NO/尸=45 ,所以|OM|= OF-sin 45 ,即 4=c,所以 e=*=也. /aX2一 一3. （2018高考浙江卷）已知点P（0, 1）,椭圆彳+丁2=加加1）上两点4 8满足则当根=时，点5横坐标的绝对值最大.-2%2解析：设 A（X1, J1）, 8（X2, yi）,由AP=2PB,得 1即 xi = -2x2, y1yi=2 （”一1）,=3 - 2m.因为点4 3在椭圆上，所以0孥 + (3-2”)2m -22 y+造4m,13得丫2=干%+不所

13、以送=根一1591（3 2”）2=一中加-W=-5）?+4bO）的离心率为里 焦距为2啦.斜率为k的直线I与椭圆 M有两个不同的交点A, B.求椭圆M的方程；若=1,求|AB|的最大值.6Z2 = Z?2 + c2,解：(1)由题意得1(=坐，解得。=s, b=l,2=1.设直线/的方程为y=x+/n, A(%i, y),比 ). (y=x-m,由 得4f + G/nx+B/n?3 = 0.所以%1+%2 =3m3加23XX2=4AB=yj (x2xi) 2+ (m-y) 2=72 (检Xl) 2=yj2 (xi+x2)24xi%2 /12-3 注=V2当m=0,即直线/过原点时，|AB|最大

14、，最大值为玳.6 .(2018高考浙江卷汝口图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C： /=4x 存在不同的两点A, 3满足山, 的中点均在。上.设A3中点为M,证明：垂直于y轴；(2)若P是半椭圆l(x0)上的动点，求以3面积的取值范围.解：设尸(Xo, Vo),AB22、 2为方程2, J =42 即y22yoy + 8xo)78=0的两个不同的实根.所以)“十了2 = 2乂)，因此，PM垂直于y轴.(2)由(1)可知，y+y2=2yo, jiy2=8xo-jo,13所以 |PM| =+页）-xo=飘-3xo，ly yi=2y2 （此一4xo）.I3、历 3因此，XPNB的面积Sp

15、ab=PM 伙一”|=甫-4工0y.因为看+胃=1(尤0。)，所以此一4x()=-4看一4xo+44, 5,因此，B43面积的取值范围是6也,综合题组练(综合型)(2019益阳、湘潭市调研)已知椭圆E：率为;.(1)求椭圆E的方程；(2)设点4尸分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点歹作直线交椭圆于C,。两点，求 四边形OCAD面积的最大值(。为坐标原点).Q+2 1q2 十 4/-1， = 2,解：由题设得解得卜=小，a T1lc=l.a2=Z?2+c2,_22所以椭圆E的方程为?+4=1.(2)设直线CD的方程为工=母+1, C(xi, y), 0(X2,)， 72与椭圆方程+,= 1联立得(3乒+42+66一9=0.u、，、6k9所以)十”=_萨或，)？=一互不了所以 S 四边形 OCAD = SOCA + SODA =|x2X|yi|+|x2X|y2|=lyiJ2I=4（m+竺）2-4yly212+1=3M+412t= 3?+7