2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修2.ppt

《2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修2.ppt（82页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2.3.2平面与平面垂直的判定 1.1.二面角二面角(1)(1)定义定义:从一条直线出发的两个半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形所组成的图形叫做二面角叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面这两个半平面叫做二面角的面叫做二面角的面.(2)(2)图示和记法图示和记法图图示示记记法法 二面角二面角-l-或或二面角二面角P-AB-QP-AB-Q或或二面角二面角P-P-l-Q-Q【思考思考】根据根据“从一条直线出发的两个半平面从一条直线出发的两个半平面”,想一想想一想,能否能否用运动的观点定义二面角用运动的观点定义二面角?提示提示:二面角也可以看作是一个半平面以

2、其棱为轴旋转二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成而成.2.2.二面角的平面角二面角的平面角文字文字语语言言在二面角在二面角-l-的的棱棱l上上任取一点任取一点O,O,以以点点O O为为垂足垂足,在半平面在半平面和和内内分分别别作作垂垂直于棱直于棱l的射的射线线OAOA和和OB,OB,则则射射线线OAOA和和OBOB构成的构成的AOBAOB叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角图图形形语语言言 符号符号语语言言=l,O,Ol,OA,OA,OB,OB,OA,OAl,OBOBlAOBAOB为为二面角二面角-l-的平面角的平面角规规定定二面角的大小可以用它的平面角来度量二面角的大小可以用它的平

3、面角来度量,二面角的平面角是多少度二面角的平面角是多少度,就就说这说这个二面个二面角是多少度角是多少度.平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角【思考思考】二面角的平面角的定义中二面角的平面角的定义中,“,“棱棱l上上”、“在半平面在半平面和和内内”、“垂直于棱垂直于棱”可以缺少一个吗可以缺少一个吗?提示提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不缺一不可可.实际上实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两角的两边必须分别在两个半平面内边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直角的两边必须都与

4、棱垂直,这三个缺一不可这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小第三个要素决定了二面角的平面角大小的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直.3.3.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)定义定义:两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是直二直二面角面角,就说这两个平面互相垂直就说这两个平面互相垂直.平面平面与平面与平面垂直垂直,记作记作.(2)(2)画法画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成

5、与水平平面的画成与水平平面的横边横边垂直垂直.如图所示如图所示.(3)(3)判定定理判定定理:文字文字语语言言一个平面一个平面过过另一个平面的垂另一个平面的垂线线,则这则这两个两个平面垂直平面垂直图图形形语语言言 符号符号语语言言l,l【思考思考】(1)(1)由面面垂直的定义中由面面垂直的定义中“直二面角直二面角”可以想到线线垂可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系直和面面垂直有什么关系?提示提示:作出二面角的平面角作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直推出两个平面垂直,反之反之,由两个平面垂直也可以推出由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角二面角

6、的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化的相互转化.(2)(2)由面面垂直的判定定理中由面面垂直的判定定理中“l,l”,”,可以想可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系到线面垂直和面面垂直有什么关系?提示提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为通常我们将其记为:线面垂直线面垂直,则面面垂直则面面垂直.因此证明面因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直面垂直可转化为证明线面垂直.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个相交平面组成的

7、图形叫做二面角两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)(2)对于确定的二面角而言对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱平面角的大小与顶点在棱上的位置有关上的位置有关.()(3)(3)异面直线异面直线a,ba,b分别和一个二面角的两个半平面垂直分别和一个二面角的两个半平面垂直,则则a,ba,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(4)(4)如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一条直内的一条直线线,则则.()提示提示:(1).(1).由二面角的定义由二面角的定义:从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成

8、的图形叫做二面角半平面所组成的图形叫做二面角,所以所以(1)(1)不对不对,实质上实质上它共有四个二面角它共有四个二面角.(2)(2).对于确定的二面角而言对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同在其棱上任取两个不同的点的点,分别作这两个二面角的平面角分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同且它们的方向相同,所所以这两个角相等以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关无关,只与二面角的张角大小有关只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误所以该命题错误.(3).(3)

9、.由由a,ba,b垂直于两个面垂直于两个面,则则a,ba,b都垂直于二面角的棱都垂直于二面角的棱,故故(3)(3)正确正确.(4)(4).如图所示如图所示,长方体中平面长方体中平面内有一条直线内有一条直线l垂直垂直于平面于平面内的一条直线内的一条直线m,m,但是平面但是平面与平面与平面不垂直不垂直.2.2.在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,二面角二面角A-BC-AA-BC-A1 1的平面角是的平面角是()A.ABCA.ABCB.ABBB.ABB1 1C.ABAC.ABA1 1D.ABCD.ABC1 1【解析解析】选选C.C.因为因为ABBC

10、,BABBC,B1 1BBC,BBC,B B1 1BAB=B,BAB=B,所以所以BCBC平面平面ABBABB1 1A A1 1,又因为又因为A A1 1B B 平面平面ABBABB1 1A A1 1,所以所以BCABCA1 1B,B,所以所以ABAABA1 1是二面角是二面角A-BC-AA-BC-A1 1的平面角的平面角.3.3.如图所示如图所示,在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,若若ADBC,ADBD,ADBC,ADBD,则有则有()A.A.平面平面ABCABC平面平面ADCADCB.B.平面平面ABCABC平面平面ADBADBC.C.平面平面ABCABC平面平面DBCDBCD

11、.D.平面平面ADCADC平面平面BCDBCD【解析解析】选选D.D.因为因为ADBC,ADBD,ADBC,ADBD,BDBC=B,BDBC=B,且且BC,BDBC,BD 平面平面BCD,BCD,所以所以ADAD平面平面BCD.BCD.因为因为ADAD 平面平面ADC,ADC,所以平面所以平面ADCADC平面平面BCD.BCD.类型一二面角的概念及其大小计算类型一二面角的概念及其大小计算【典例典例】如图所示如图所示,四边形四边形ABCDABCD是正方是正方形形,O,O是正方形的中心是正方形的中心,PO,PO底面底面ABCD,ABCD,侧棱侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角的正切值

12、所成的角的正切值为为 .求侧面求侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角的大小所成的二面角的大小.【思维思维引引】一方面借助侧棱一方面借助侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为 ,求底面边长和棱锥高的关系求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面另一方面要作出侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角的平面角所成的二面角的平面角,并解直角三角形求并解直角三角形求正切值正切值.【解析解析】取取ADAD中点中点M,M,连接连接MO,PM,MO,PM,因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形,所以所以OA=OD,OA=

13、OD,所以所以OMAD,OMAD,因为因为POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以POA=POD=90POA=POD=90,所以所以POAPOD,POAPOD,所以所以PA=PD,PA=PD,所以所以PMAD,PMAD,所以所以PMOPMO是侧面是侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角的平面角所成的二面角的平面角,因为因为POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以PAOPAO是侧棱是侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角所成的角,所以所以tanPAO=,tanPAO=,设正方形设正方形ABCDABCD的边长为的边长为a,a,则则AO=a,AO=a,所以所以PO

14、=AOPO=AOtanPAO=atanPAO=a =a,=a,所以所以tanPMO=,tanPMO=,所以所以PMO=60PMO=60.故侧面故侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角是所成的二面角是6060.【素养素养探探】在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中,经常利经常利用核心素养中的逻辑推理用核心素养中的逻辑推理,依据二面角的平面角的定义依据二面角的平面角的定义在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小.将本例的条件将本例的条件“侧棱侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角的正切

15、值所成的角的正切值为为 ”改为改为“底面边长为底面边长为a,Ea,E是是PCPC的中点的中点.若二面角若二面角E-BD-CE-BD-C为为30”,30”,求四棱锥求四棱锥P-ABCDP-ABCD的体积的体积.【解析解析】取取OCOC的中点的中点F,F,连接连接EF,OE,EF,OE,如图所示如图所示,因为因为E E为为PCPC的中点的中点,所以所以EFEF为为POCPOC的中位线的中位线,所以所以EFPO,EFPO,因为因为POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以EFEF底面底面ABCD,ABCD,BDBD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以EFBD,EFBD,因为因为OFBD,EFBD

16、,OFEF=F,OFBD,EFBD,OFEF=F,所以所以BDBD平面平面EOF,OEEOF,OE 平面平面EOF,EOF,所以所以BDOE,BDOE,所以所以EOFEOF为二面角为二面角E-BD-CE-BD-C的平面角的平面角,所以所以EOF=30EOF=30,因为因为OF=OC=AC=a,OF=OC=AC=a,所以在所以在RtEOFRtEOF中中,EF=OFEF=OFtan 30tan 30=a,=a,所以所以OP=2EF=a,OP=2EF=a,故故V VP-ABCDP-ABCD=a a2 2 a=a a=a3 3.【类题类题通通】1.1.求二面角大小的步骤求二面角大小的步骤简称为简称为“

17、一作二证三求一作二证三求”.2.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角的方法方法一方法一:(:(定义法定义法)在二面角的棱上找一个特殊点在二面角的棱上找一个特殊点,在两在两个半平面内分别作垂直于棱的射线个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示如图所示,AOB,AOB为二面角为二面角-a-a-的平面角的平面角.方法二方法二:(:(垂线法垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线面的垂线,过垂足作棱的垂线过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足连接该点与垂足,利用线利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示如图所示,AFE

18、,AFE为二面角为二面角A-BC-DA-BC-D的平面角的平面角.方法三方法三:(:(垂面法垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面过棱上一点作棱的垂直平面,该平面该平面与二面角的两个半平面产生交线与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角这两条交线所成的角,即为二面角的平面角即为二面角的平面角.如图所示如图所示,AOB,AOB为二面角为二面角-l-的平面角的平面角.提醒提醒:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.【习练习练破破】1.1.在正方体在正方体ABCD-AABC

19、D-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,截面截面A A1 1BDBD与底面与底面ABCDABCD所成所成锐二面角锐二面角A A1 1-BD-A-BD-A的正切值为的正切值为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示,连接连接ACAC交交BDBD于点于点O,O,连接连接A A1 1O,O,O O为为BDBD的中点的中点,因为因为A A1 1D=AD=A1 1B,B,所以在所以在A A1 1BDBD中中,A,A1 1OBD.OBD.又因为在正方形又因为在正方形ABCDABCD中中,ACBD,ACBD,所以所以A A1 1OAOA为二面角为二面角A A

20、1 1-BD-A-BD-A的平面角的平面角.设设AAAA1 1=1,=1,则则AO=.AO=.所以所以tanAtanA1 1OA=OA=2.2.如图如图,已知锐二面角已知锐二面角-l-,A-,A为面为面内一点内一点,A,A到到的的距离为距离为2,2,到到l的距离为的距离为4.4.求二面角求二面角-l-的大小的大小.【解析解析】作作AOAO于于O,ODO,ODl于于D,D,易证易证l平面平面AOD,AOD,所以所以ADADl,所以所以ADOADO是二面角是二面角-l-的平面角的平面角,在在RtAODRtAOD中中,因为因为sinADO=sinADO=所以所以ADO=30.ADO=30.所以二面角

21、所以二面角-l-的大小为的大小为30.30.【加练加练固固】一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面两个半平面,则这两个二面角的大小关系为则这两个二面角的大小关系为()A.A.相等相等B.B.互补互补C.C.相等或互补相等或互补D.D.不确定不确定【解析解析】选选D.D.反例反例:如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,FE,F分别是分别是CD,CCD,C1 1D D1 1的中点的中点,二面角二面角D-AAD-AA1 1-E-E与二面角与二面角B B1 1-AB-DAB-

22、D的两个半平面就是分别对应垂直的的两个半平面就是分别对应垂直的,但是这两个二但是这两个二面角既不相等面角既不相等,也不互补也不互补.类型二证明平面与平面垂直类型二证明平面与平面垂直【典例典例】1.(20191.(2019长春高一检测长春高一检测)如图所示如图所示,在四面体在四面体ABCDABCD中中,ABC,ABC是边长为是边长为2 2的正三角形的正三角形,ACD,ACD是直角三角是直角三角形形,且且AD=CD,AD=CD,且且BD=2,EBD=2,E为为DBDB的中点的中点.(1)(1)求证求证:平面平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)(2)求二面角求二面角E-AC-BE-AC-B

23、的大小的大小.2.2.如图如图,四棱柱四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面为菱形的底面为菱形,四边形四边形BBBB1 1D D1 1D D是矩形是矩形,证明证明:平面平面BDDBDD1 1B B1 1平面平面A A1 1C C1 1CA.CA.【思维思维引引】1.(1)1.(1)作出二面角作出二面角D-AC-BD-AC-B的平面角的平面角,并证明二面角并证明二面角D-AC-D-AC-B B是直二面角推出平面是直二面角推出平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)(2)作出二面角作出二面角E-AC-BE-AC-B的平面角的平面角,在三角形中求解即可在

24、三角形中求解即可.2.2.依据题目条件依据题目条件,要证平面要证平面BDDBDD1 1B B1 1平面平面A A1 1C C1 1CA,CA,只要证只要证BDBD平面平面A A1 1C C1 1CA.CA.【解析解析】1.(1)1.(1)取取ACAC的中点的中点O,O,连接连接OB,OD,OB,OD,因为因为ABCABC是是边长为边长为2 2的正三角形的正三角形,ACDACD是直角三角形是直角三角形,且且AD=CD,AD=CD,所以所以OBAC,ODAC,OBAC,ODAC,所以所以DOBDOB是二面角是二面角D-AC-BD-AC-B的平面角的平面角.因为因为OD=1,OB=,BD=2,OD=

25、1,OB=,BD=2,所以所以ODOD2 2+OB+OB2 2=BD=BD2 2,即即OBOD,OBOD,所以二面角所以二面角D-AC-BD-AC-B是直二面角是直二面角,因此因此,平面平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)(2)连接连接OE,OE,由由(1)(1)可得可得ACAC平面平面BOD,BOD,且且OBD=30OBD=30,所以所以ACOE,ACOE,所以所以EOBEOB是二面角是二面角E-AC-BE-AC-B的平面角的平面角.在直角在直角BODBOD中中,因为因为E E是是BDBD的中点的中点,所以所以OE=EB,OE=EB,所以所以BOE=OBD=30BOE=OBD=30

26、,即二面角即二面角E-AC-BE-AC-B的大小是的大小是3030.2.2.由于四边形由于四边形BBBB1 1D D1 1D D是矩形是矩形,所以所以BDBBDB1 1B.B.又又A A1 1ABAB1 1B,B,所以所以BDABDA1 1A.A.又四棱柱又四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCDABCD是菱形是菱形,所以所以BDAC.BDAC.因为因为ACAACA1 1A=A,A=A,所以所以BDBD平面平面A A1 1C C1 1CA.CA.因为因为BDBD 平面平面BDDBDD1 1B B1 1,所以平面所以平面BDDBDD1 1B B

27、1 1平面平面A A1 1C C1 1CA.CA.【内化内化悟悟】证明平面与平面垂直的关键是什么证明平面与平面垂直的关键是什么?提示提示:找到其中一个平面中与另一平面垂直的直线找到其中一个平面中与另一平面垂直的直线.【类题类题通通】证明平面与平面垂直的两个常用方法证明平面与平面垂直的两个常用方法(1)(1)利用定义利用定义:证明二面角的平面角为直角证明二面角的平面角为直角,其判定的方其判定的方法是法是:找出两相交平面的平面角找出两相交平面的平面角;证明这个平面角是直角证明这个平面角是直角;根据定义根据定义,这两个相交平面互相垂直这两个相交平面互相垂直.(2)(2)利用面面垂直的判定定理利用面面

28、垂直的判定定理:要证面面垂直要证面面垂直,只要证线只要证线面垂直面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直面垂直.这是证明面面垂直的常用方法这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是其基本步骤是:【习练习练破破】1.1.如图如图,正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中(底面是正三角形底面是正三角形,侧棱侧棱垂直于底面垂直于底面),),侧棱长侧棱长AAAA1 1=2,=2,底面边长底面边长AB=1,NAB=1,N是是CCCC1 1的中的中点点.求证求证:平面平面ANBANB1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B

29、.B.【证明证明】取取ABAB中点中点E,ABE,AB1 1的中点的中点M,M,连接连接ME,CE,MN,ME,CE,MN,则有则有MENC,MENC,且且ME=NC,ME=NC,所以四边形所以四边形MECNMECN是平行四边形是平行四边形,所以所以MNCE,MNCE,因为因为AAAA1 1平面平面ABC,CEABC,CE 平面平面ABC,ABC,所以所以AAAA1 1CE,CE,又又CEAB,AACEAB,AA1 1AB=A,AB=A,所以所以CECE平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,所以所以MNMN平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,又又MNMN 平面平面ANBANB1 1,

30、所以平面所以平面ANBANB1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.2.2.已知在三棱锥已知在三棱锥P-ABCP-ABC中中,PC,PC底面底面ABC,AB=BC,D,FABC,AB=BC,D,F分别分别为为AC,PCAC,PC的中点的中点,DEAP,DEAP于于E.E.(1)(1)求证求证:AP:AP平面平面BDE.BDE.(2)(2)求证求证:平面平面BDEBDE平面平面BDF.BDF.【证明证明】(1)(1)因为因为PCPC底面底面ABC,BDABC,BD 底面底面ABC,ABC,所以所以PCBD;PCBD;又又AB=BC,DAB=BC,D为为ACAC的中点的中点,所以所以BDA

31、C,PCAC=C,BDAC,PCAC=C,所以所以BDBD平面平面PAC,PAPAC,PA 平面平面PAC,PAC,所以所以PABD,PABD,又又DEAP,BDDE=D,BD,DEDEAP,BDDE=D,BD,DE 平面平面BDE,BDE,所以所以APAP平面平面BDE.BDE.(2)(2)由由APAP平面平面BDEBDE知知,APDE;,APDE;又又D,FD,F分别为分别为AC,PCAC,PC的中点的中点,所以所以DFDF是是PACPAC的中位线的中位线,所以所以DFAP,DFAP,所以所以DFDE,DFDE,即即EDF=90EDF=90,由由BDBD平面平面PACPAC可知可知,DEB

32、D,DFBD,EDF,DEBD,DFBD,EDF为平面为平面BDEBDE与平面与平面BDFBDF的二面角的平面角的二面角的平面角,又又EDF=90EDF=90,所以平面所以平面BDEBDE平面平面BDF.BDF.【加练加练固固】如图所示如图所示,在矩形在矩形ABCDABCD中中,已知已知AB=AD,EAB=AD,E是是ADAD的中点的中点,沿沿BEBE将将ABEABE折起至折起至ABEABE的位置的位置,使使AC=AD,AC=AD,求证求证:平面平面ABEABE平面平面BCDE.BCDE.【证明证明】如图所示如图所示,取取CDCD的中点的中点M,BEM,BE的中点的中点N,N,连接连接AM,A

33、N,MN,AM,AN,MN,则则MNBC.MNBC.因为因为AB=AD,EAB=AD,E是是ADAD的中点的中点,所以所以AB=AE,AB=AE,即即AB=AE.AB=AE.所以所以ANBE.ANBE.因为因为AC=AD,AC=AD,所以所以AMCD.AMCD.在四边形在四边形BCDEBCDE中中,CDMN,CDMN,又又MNAM=M,MNAM=M,所以所以CDCD平面平面AMN.AMN.又又ANAN 平面平面AMN,AMN,所以所以CDAN.CDAN.因为因为DEBCDEBC且且DE=BC,DE=BC,所以所以BEBE与与CDCD相交相交.所以所以ANAN平面平面BCDE.BCDE.又又AN

34、AN 平面平面ABE,ABE,所以平面所以平面ABEABE平面平面BCDE.BCDE.类型三线面垂直、面面垂直的综合应用类型三线面垂直、面面垂直的综合应用【典例典例】(2019(2019淄博高一检测淄博高一检测)已知四棱锥已知四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,底面底面ABCDABCD为等腰梯形为等腰梯形,ABCD,AB=AD=BC=1,CD=2.,ABCD,AB=AD=BC=1,CD=2.(1)(1)若点若点M M在棱在棱PDPD上上,满足满足DM=2MP,DM=2MP,证明证明:PB:PB平面平面MAC.MAC.(2)(2)若若PDAC,PDAC,证明证明:平面平面PADPAD平面平面AB

35、CD.ABCD.【思维思维引引】(1)(1)由由ABCDABCD可在底面可在底面ABCDABCD中作辅助线构造相似三角形中作辅助线构造相似三角形,结合结合DM=2MPDM=2MP可用平行线分线段成比例定理证明线线平可用平行线分线段成比例定理证明线线平行行;(2)(2)在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中证明中证明ACAD.ACAD.【证明证明】(1)(1)连接连接BDBD交交ACAC于点于点O,O,连接连接OM,OM,因为因为ABCD,ABCD,所以所以AOBCOD,AOBCOD,所以所以 又因为又因为DM=2MP,DM=2MP,所以所以 ,所以所以OMPB,OMPB,又又PBPB 平面平面

36、MAC,OMMAC,OM 平面平面MAC,MAC,所以所以PBPB平面平面MAC.MAC.(2)(2)取取CDCD的中点的中点E,E,连接连接AE,AE,因为因为AB=1,CD=2,ABCD,AB=1,CD=2,ABCD,所以所以ABCE,ABCE,且且AB=CE,AB=CE,所以四边形所以四边形ABCEABCE是平行四边形是平行四边形,所以所以AE=BC=1,AE=BC=1,所以所以EA=ED=EC=1,EA=ED=EC=1,所以所以ACAD,ACAD,又又PDAC,PDAD=D,PDAC,PDAD=D,所以所以ACAC平面平面PAD,PAD,又又ACAC 平面平面ABCD.ABCD.所以平

37、面所以平面PADPAD平面平面ABCD.ABCD.【内化内化悟悟】证明面面垂直的关键是在一个平面内找另一个平面的证明面面垂直的关键是在一个平面内找另一个平面的垂线垂线,通常应找什么样的平面的垂线通常应找什么样的平面的垂线?若要作辅助线若要作辅助线,需需要注意什么要注意什么?提示提示:通常水平放置和竖直放置的平面的垂线更容易找通常水平放置和竖直放置的平面的垂线更容易找到到;作辅助线时应有理论根据并有利于证明作辅助线时应有理论根据并有利于证明,不能随意不能随意添加添加.【类题类题通通】线面、面面垂直的综合问题的解题策略线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)(1)重视转化重视转化涉及线面垂直、面面

38、垂直的综合问题的解题关键是转涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化化,即证面面垂直即证面面垂直,转化为证线面垂直转化为证线面垂直;证线面垂直转化证线面垂直转化为证线线垂直为证线线垂直.(2)(2)充分挖掘线面垂直关系充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时解答线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出通常要先证出一个关键的线面垂直关系一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用中的枢纽作用.【习练习练破破】如图如图,在直三棱柱在直三棱柱

39、ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,D,E,D,E分别为分别为AB,BCAB,BC的中点的中点,点点F F在侧棱在侧棱B B1 1B B上上,且且B B1 1DADA1 1F,AF,A1 1C C1 1AA1 1B B1 1.求证求证:(1)(1)直线直线DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.(2)(2)平面平面B B1 1DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.【证明证明】(1)D,E(1)D,E分别为分别为AB,BCAB,BC的中点的中点,所以所以DEAC,DEAC,在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,A A1

40、1C C1 1AC,AC,则则DEADEA1 1C C1 1.又因为又因为DEDE 平面平面A A1 1C C1 1F,F,A A1 1C C1 1 平面平面A A1 1C C1 1F,F,故故DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.(2)(2)由题意可得由题意可得,在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中有中有AAAA1 1AA1 1C C1 1,又因为又因为A A1 1C C1 1AA1 1B B1 1,AAAA1 1AA1 1B B1 1=A=A1 1,所以所以A A1 1C C1 1平面平面A A1 1ABBABB1 1,而而B B1 1D D

41、平面平面A A1 1ABBABB1 1,所以所以A A1 1C C1 1BB1 1D.D.因为因为A A1 1C C1 1BB1 1D,AD,A1 1FBFB1 1D,D,A A1 1C C1 1 平面平面A A1 1C C1 1F,AF,A1 1F F 平面平面A A1 1C C1 1F,AF,A1 1C C1 1AA1 1F=AF=A1 1,所以所以B B1 1DD平面平面A A1 1C C1 1F,F,又因为又因为B B1 1D D 平面平面B B1 1DE,DE,所以平面所以平面B B1 1DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.【加练加练固固】如图如图,直三棱柱直三棱柱ABC

42、-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面是边长的底面是边长为为2 2的正三角形的正三角形,E,F,E,F分别是分别是BC,CCBC,CC1 1的中点的中点.(1)(1)证明证明:平面平面AEFAEF平面平面B B1 1BCCBCC1 1.(2)(2)若直线若直线A A1 1C C与平面与平面A A1 1ABBABB1 1所成的角为所成的角为45,45,求三棱锥求三棱锥F-AECF-AEC的体积的体积.【解析解析】(1)(1)因为三棱柱因为三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱是直三棱柱,所以所以AEBBAEBB1 1,又因为点又因为点E E是正三角形是正三

43、角形ABCABC的边的边BCBC的中点的中点,所以所以AEBC,AEBC,又又BCBBBCBB1 1=B,=B,所以所以AEAE平面平面B B1 1BCCBCC1 1,又又AEAE平面平面AEF,AEF,所以平面所以平面AEFAEF平面平面B B1 1BCCBCC1 1.(2)(2)设设ABAB的中点为的中点为D,D,连接连接A A1 1D,CD,D,CD,因为因为ABCABC是正三角形是正三角形,所以所以CDAB,CDAB,又三棱又三棱柱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱是直三棱柱,所以所以CDAACDAA1 1,又因为又因为AAAA1 1AB=A,AB=A,所以所以CDCD平面平面A A1 1ABBABB1 1,于是于是CACA1 1D D为为直线直线A A1 1C C与平面与平面A A1 1ABBABB1 1所成的角所成的角,由题设知由题设知CACA1 1D=45D=45,所以所以A A1 1D=CD=AB=,D=CD=AB=,在在RtAARtAA1 1D D中中,AA,AA1 1=,=,所以所以FC=AAFC=AA1 1=,=,故三棱锥故三棱锥F-AECF-AEC的体积为的体积为V=SV=SAECAECFC=FC=