第15章数系的扩充与复数的引入（理科）.docx

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1、第十五章数系的扩充与复数的引入题型155复数的概念及分类1.（2015天津理9）i是虚数单位,若复数（l-2i）（a + i）是纯虚数，则实数。的值为 1 .解析(1 2i)(+i) = Q + 2+(l 2。是纯虚数，所以。+ 2 =。，即 = 2.2. （2016江苏2）复数z = （l + 2i）（3-i） ，其中i为虚数单位，则z的实部是5解析 由复数乘法法则可得z = 5 + 5i ,故2的实部是5.。I 。3.（2016上海理2）设z = 2-,其中i为虚数单位，则Imz=.i3分析 在部分教材中，Imz表示复数的虚部，Rez表示复数的实部.解析 因为 z = i（3 + 2i）

2、= 2 3i,故 Imz = 3,故填一3.3. （2017天津理9）已知i为虚数单位，若色二1为实数，则a的值为.2 + i4解析 i (a-i)(2-i) (2-1)-(o + 2)i 2a-1 a + 22+i-(2 + i)(2-i)-55-a+2 八，“口=0,解得 a = -2 .4. （2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：P1 ：若复数Z满足LgR ,则211； P/若复数Z满足z2 R,则ZR； z3 ：若复数Z,Z2满足ZZ2 wR ,则4=Z2； 4：若复数zgR,则NeR.其中的真命题为（）.A.P，P3B. P, P4C. P2, P3D. 0，P41 a b5.

3、解析小设2 = Q +力，则=- = -yeR,得到 =0,所以zwR.故乃正确； z a + bi q +。一2：若Z?=1，满足z2R，而2=3不满足z2R，故P2不正确；3：若4=1, z2=2,则zr2=2,满足z/2R,而它们实部不相等，不是共辗复数，故3不正确；0：实数没有虚部，所以它的共辆复数是它本身，也属于实数，故正确.故选B.8. -1解析由题意可得(1 +。(。+。= 4-1 +(4 + 1)1是实数，所以+ 1 = 0,4 = 1.9. (2017北京理2)若复数(1i)(a + i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是().D. (1, + 8)即4一1

4、.故选).A. (-cc,l)B. (-00,-1)C.(L + 9.解析 由(1一0( + 1)= + 1-勿 + 1=( + 1) + (1 )。则9.解析 由(1一0( + 1)= + 1-勿 + 1=( + 1) + (1 )。则a + l0B. 10. (2018北京理2)在复平面内，复数一匚的共飘复数对应的点位于(1 -i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限10.解析因为1 _1 + i 1 J_.Ti(l-i)(l + i)-2 + 21所以它的共辄复数为口2 2(11A对应点为一,-一口在第四象限，故选D.、2 2，题型156与共辗复数、复数相等有关的问题.

5、（2013山东理1）复数z满足（z 3）（2 i） = 5（i为虚数单位），则z的共轨复数三为（）. A. 2 + i B. 2 iC. 5 + iD. 5 i1 . （2013安徽理1）设i是虚数单位，I是复数z的共辄复数，若z，+ 2 = 2z,则2=（）.A. 1 + iB. 1 iC. 1 + iD. -1 i.（2013福建理1）已知复数z的共辄复数1 = l + 2i （i为虚数单位），则z在复平面内对应 的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限.（2013湖北理1）在复平面内，复数z=2- （i为虚数单位）的共辗复数对应的点位于1 + i（）.A.第一象限

6、 B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2013四川理2）如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共钝复数的点是 （ ）A.AB.BC.CD.DMXCO *7B D5. （2013天津理9） 已知，b wR , i是虚数单位 若（a + i）（l + i） =历， 则 a + hi =.6. （2014陕西理8）原命题为“若4*2互为共辄复数，则|a=艮，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）.A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假（2014山东理1）已知。力金R, i是虚数单位，若a i与2 +历互为共胡复数，则（a + bi）2 =（

7、）.A. 5 4iB.5 + 4iC. 3 4iD.3 + 4i（2014江西理1） Z是z的共*厄复数.若z + W = 2, （z-z）i = 2 （i为虚数单位），则2 = （）.A. 1 + iB.-1 iC.1 + i D. 1 i（2014安徽理1）设i是虚数单位，N表示复数z的共貌复数.若Z = l + i，则- + i-z = （） .A. 2B. 21C. 2 D. 21（2014大纲理1）设2 =3_,则z的共辄复数为（）.3 + iA, 1 + 3iB. 13iC. 1 + 3iD. 13i7. （2014福建理1）复数z =（3 2i）i的共胡复数等于（）.A.23iB

8、.2 + 3iC. 2 3i D. 2 + 3i（2015广东理2）若复数z = i（3 2i） （i是虚数单位），则乞=（）A. 2 3iB.2 + 3iC. 3 + 2iD. 3 2i13.解析 因为z = i（3 2i） = 2 + 3i,所以N = 23i.故选A.8. （2015湖北理1） i为虚数单位，i68的共粗复数为（）. A. i B. iC. 1D. 114 .解析 依题意可得： 故选a.15 . （2015 全国二理 2）若。为实数，且（2 + ai）（a 2i） = Ti,则。=（）.A.-l B. 0C.1D. 2.解析 由复数的运算律将左边直接展开可得.因为4。+

9、（/-4）i = -4i,所以4a = 0,/4 = 4,解得 =0.故选B.16 .（2015山东理2）若复数z满足三 =i,其中i为虚数单位，则z =（）1-iA. 1 i B. 1 + i C. 1 iD. 1 + i.解析 因为六 =i,所以N = （li）i = l + i,所以z = li.故选A.16 . （2016山东理1）若复数z满足2z + N = 3 2i,其中i为虚数单位，则2=（）.A. l+2i B. l-2i C. l + 2iD. l2i. B解析设Z = Q +历/eR）,则2z十三二z十（z十三）二 十bi十2a = 3a +历=3 2i,所以4 = 1力二

10、-2,即z = l 2i.故选B.17 .（2016天津理9）已知a/cR ,i是虚数单位，若（l + i）（l历） = Q,则区的值为b18.2 解析用）= l+b + （lb）i = a，则vl + b = a l-b = Oa = 2 a C,所以1,则7 = 2.b = l b（2107山东理2）已知q$R , i是虚数单位，若z = a + J3i, zz = 4,则=（ ）.A.l或1B.币或-币C.-6D.V319.解析 由2 =。+后，zW = 4,得4+3 = 4,所以。=1.故选A.19. （2017浙江11）已知Z?eR, （。+历=3 + 4i （i是虚数单位），则a

11、+ b - 9 db .20 .解析 由（Q + Ai）2=2匕2 + 2，（ +历）2=3 + 4i,所以=3, = 2, 解得 =2乃=1,所以/+。2=5，ab = 2.题型157复数的模1.（2013辽宁理1）复数的z = L的模为（）. i-11a/2rrD. 2A. -B. C. 、/2222 . （2013江苏2）设z = （2 i （i为虚数单位），则复数z的模为.（2013陕西理6）设zp Z2是复数，则下列命题中的假命题是（）.A.若 Z1 Z2 = 0, 则 Z| =z2B,若 Z = Z2 , 则 Z = z2C.若 4 =|z2| ,则 Z - Zj = z2 - z

12、2D.若,=|z2| ,则 z： = z223 .（2013重庆理11）已知复数z = 4- （i是虚数单位），则2=.l + 2i+ z5. （2015全国一理1）设复数z满足 =i,则z =（）1-zA. 1 B. 72 C. V3D. 25.解析由g=得？=三1 =制*甘所以忖=1.故选A6. （2015陕西理11）设复数2 =。-1） +力QR）,若则y.x的概率为（）.31,-+ 一B. C.4 2兀4 2k2兀6 .解析由|z|,l可知,+ y2 麴j n (%-1)2 + y2 1.所以y.x表示所示的阴影部分，112111S 7T X 1X 1 X 1所以P =上= 42= L

13、.故选d.3 总71X14，兀命题意图考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖 性.7. (2015江苏3)设复数z满足z2=3 + 4i (i是虚数单位)，则z的模为.7.解析解法一：设z = 6/ + )i,则 z? =( + bi)2 =(/) + 2历= 3 + 4i,(2_刃2_3a1 b1 =3a2 = 1从而。，-。，即 ，故)或，2ab = 4= 4= 1= -4从而 z = y/a2 +b2 =石.解法二：由题意目=忖2 = ： +倒=行+ 42 = 5,故忖=6.8. (2015重庆理11)设复数 +历(,Z;R)的模为G，则( +历)(一历)=.8 .

14、解析 由题易得而寿=/，故/+=3，(。+历)(一历)=/+/=3.9 .(2016全国乙理2)设(l + i)x = l + yi,其中x, y是实数，则,+刈=().A. 1 B.V2 C.V3 D.2B 解析 由(i + i)x = i + yi,得x=y = l,所以|x+yi| = |l + i卜尤.故选B.9. (2017江苏02)已知复数z = (l + i)(l + 2i),其中i是虚数单位，则z的模 是解析 解法一：z = (l + i)(l + 2i)=-l + 3i,所以闫=&5.故填解法二：|z| = |(l + i)(l + 2i)=|l + i|l + 2i| =

15、JI5.故填J15.10. (2107全国3卷理科2)设复数2满足(l + i)z = 2i,则A. B. C. a/2D. 2222i 2i(l i) 2i + 2) 11. 解析由题意得z = j -Tri= -o- = l + i,则 z =.故选c.l + i (l + i)(l-i)2（2018上海5）已知复数z满足（l + i）z = l 7i （i是虚数单位），则|z= 川z-7i|一同112 .解析因为(l + i)z = l 7i,所以 z = -(2018全国I卷理科1)设z = 上+ 2i,则|z = l+i 1A. 0B. -C. 1D. a/2213.解析 因为 z

16、= 3 + 2i =(1t) + 2i= i+2i=i,所以 Z=1 .故选 C.1 + i (1 + i)(l - i)题型158复数的四则运算1 .（2013全国新课标卷理2）设复数z满足（1 i）z = 2i,则2=（）.A. 1 + iB. 1 iC. 1 + iD. 1 i. (2013浙江理1)已知i是虚数单位，则(l + i)(2 i)=A. 3 + iB. 1 + 3iC. 3 + 3iD. -1 + i（2013广东理3）若复数z满足iz = 2 + 4i,则在复平面内，z对应的点的坐标是（）.A .（2,4）B.（2,fC.（4,-2）D,（4,2）（2014北京理9）复数

17、（产）=.3. （2014江苏理2）已知复数z 2i （i为虚数单位），则z的实部为（2014 四川理 11）复数1 + i7+ i4. （2014天津理1） i是虚数单位，复数二（3+ 4iA.l- iB.- 1+iC.U+卫i25 25D.-17 25.十i778. (2014新课标1理2)(1 + i)3O-O2A. 1 + iB. 1 + iC. 1 iD. -1 + iE. 1 i（2014 辽宁理 2）设复数z满足（z 2i）（2 i） = 5,贝U z =（A. 2 + 3i B. 2 3i C. 3 + 2i D. 3 2i（1-iY9. （2014湖北理1） i为虚数单位，贝

18、ij- =（）. U + iJA. -1 B. 1 C. -i z + i11. （2014湖南理1）满足=i zA 11.口 1 1 .A. - -F iB.12 22 2A. -1 B. 1 C. -i z + i12. （2014湖南理1）满足=i zA 11.口 1 1 .A. - -F iB.12 22 2D. i（i是虚数单位）的复数z=（）.c 1 1 n1 1 .C.1- - iD.12 22 212. （2014广东理2）已知复数z满足（3 + 4i）z = 25,则z =（）.A. 3 + 4i B. -3 4iC. 3 + 4i D. 3 4i13. （2015 北京理

19、1）复数i（2 i）=（）.A. 1 + 2iB. 1 2iC. l + 2i D. 1 2i解析 i（2i） = 2ii?=l + 2i.故选 A.14. （2015 福建理 1）若集合 A = i,i2,i3,i号 （i 是虚数单位），B = L1,则 = （ ）.A. -1B. 1C. 1,-1D. 0 14.解析由已知得=11,1,故AA8 = 1,T .故选C.15. （2015湖南理1）已知=l + i （i为虚数单位），则复数z=（）. zA. 1 + iB. 1iC.-1 + iD.1i15.解析由题意得，z = 9二匚= 2- = 1 i .故选D.1+i1+i（2015四川

20、理2）设i是虚数单位，则复数一2二（）.iA. i B. 3iC. i D. 3i16.解析 依题意可得：i32 = i耳=i + 2i = i.故选C.i j24i16. （2016 全国丙卷 2）若 2 = l + 2i,则=（）.zz-1A.lB. 1C.iD. -124i 4i17.C解析因为z六|z=5,所以= i.故选C.18. （2016四川理2）设i为虚数单位，则（x + i）6的展开式中含/的项为（）.A. 15/B,l 5x4C, -20Lr4 D. 20ix4A解析 二项式（x + i展开的通项Tr+ = Cr6x6-rir ,则其展开式中含f是当6 =4,即r = 2,

21、则展开式中含f的项为6勺2=15/,故选a.17. (2107 全国 2 卷理科 1)=().1 + iA.l + 2iB. 1 2iC. 2 + iD. 2 i19.20.解析 含, )： + ?!：? = 2T .故选D.(2018全国2卷理科1) 1Z1=( l-2iA.A.4 3.15 5B. - + -i5 5C.3 4.15 5D.3 4.F 15 520.解析l + 2i0 + 2i3 4=巳+ i .故选D.5 521. (2018 全国 HI 卷理科 2) (l + i)(2-i)=().A. -3-iB. -3 + iC. 3-iD. 3 + i21.解析(l + i)(2

22、 i) = 2 i + 2i i?=3 + i .故选 D.22. （2018江苏2）若复数满足iz = l + 2i ,其中i是虚数单位，则z的实部为 22解析 z = E2 = 彗更=2-实部为2.i i2（2018天津9） i是虚数单位，复数=.l + 2i23 .解析23 .解析由复数的运算法则得:6 + 7i_(6 + 7i)(l-2i)_20-5i_4 .l + 2i (l + 2i)(l-2i) - 5 一223. （2018浙江4）复数（i为虚数单位）的共规复数是（）.1-iA. 1+iA. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i24. 解析z = 2 =+ 所以三j.

23、故选B.题型159复数的几何意义.（2013湖南理1）复数z = i（l + i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限.（2013福建理1）已知复数z的共规复数W = l + 2i （i为虚数单位），则z在复平面内对应 的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限.（2013湖北理1）在复平面内，复数z=2_ （i为虚数单位）的共枕复数对应的点位于1 + i（）.A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2013四川理2）如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共枕复数的点是 （ ）A. AB.BC.

24、CD.DA. CB.O yD4. （2014新课标2理2）设复数Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，4=2 + i,则A. 5B. 5A. 5B. 5C.一4 + iD. 4 i5. （2014重庆理1）在复平面内表示复数i（l 2i）的点位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2015安徽理1）设i是虚数单位，则复数且在复平面内所对应的点位于（）.1-iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.解析 卷三+其对应的点坐标为（1,1）,位于第二 象限.故选B.6. （2016北京理9）设GER,若复数（l + i）（G + i）在复平面内对应的点位于实轴上，则。=