线性代数之第4章.向量空间与线性变换.ppt

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1、第第4章章 向量空间与线性变换向量空间与线性变换第第4章章 向量空间与线性变换向量空间与线性变换Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标我们知道1)Rn中的n个单位向量i=(0,0,1,0,0)(i=1,n)是线性无关的；2)一个n 阶实矩阵A=(aij)nn，如果|A|0，则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的；3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向量都可用Rn中n个线性无关的向量来表示

2、，且表示法唯一。Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基基”与“坐标坐标”的概念。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标定义：定义：设有序向量组B1,2,n属于Rn，如果B线性无关，且Rn中任一向量均可由B线性表示，即a11a22+ann就称B是Rn的一组基基（或基底基底），有序数组(a1,a2,an)是向量关于基B（或说在基B下）的坐标坐标，记作：B(a1,a2,an)或B(a1,a2,an)T并称之为的坐标向量坐标向量。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的

3、坐标显然Rn的基不是唯一的，而关于给定的基的坐标是唯一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自自然基然基或标准基标准基。在三维几何向量空间R3中，i,j,k是一组标准基，R3中任一个向量可以唯一地表示为：a1i+a2j+a3k有序数组(a1,a2,a3)称为在基i,j,k下的坐标。如果的起点在原点，(a1,a2,a3)就是的终点P的直角坐标（以后我们常利用R3中向量与空间点 P 的一一对应关系，对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用

4、列向量的形式(a1,a2,an)T表示，=a11+a22+ann可表示为：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例求向量关于基的坐标举例例1：设Rn的两组基为自然基B1和B2=1,2,n,其中：求向量=(a1,a2,an)T分别在两组基下的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例求向量关于基的坐标举例解：关于自然基B1=1,2,n显然有=a11+a22+ann，所以：设关于B2有：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例求向量关于基的坐标举例将以列向量形式表示的,1,2,n代

5、入上式，得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例求向量关于基的坐标举例解上式非齐次线性方程组，即得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是中同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题。为了得到Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的关系，先证明下面的定理。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换定理：定理：设B=1,2,n是Rn的一组基，且：则1,2,n线性无关的充要条件是：4

6、.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换证：由定理中方程式得：1,2,n线性无关的充要条件是方程：只有零解xj0(j=1,2,n)。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换由于1,2,n线性无关，由上式得：因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等于零，即定理中条件式成立。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换设B11,2,n,和B2=1,2,n是Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下所示：将其表示成矩阵形式4

7、.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换记上式右面的矩阵为A（注意：A是1,2,n的系数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作：(1,2,n)=(1,2,n)A4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换定义：定义：设Rn的两组基B1=1,2,n和B2=1,2,n满足下式式的关系，则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵过渡矩阵（或称A是基B1变为基B2的变换矩阵）。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换根据前面定理，过渡矩阵A是可逆的，A中第j列是新基的基向量j在旧基1,2,n下

8、的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换定理定理：设向量在两组基B1=1,2,n和B2=1,2,n下的坐标向量分别为：基B1到基B2的过渡矩阵为A，则Ay=x 或 y=A-1x4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换基之间的变换证：由已知条件，可得：(1,2,n)=(1,2,n)A故：由于在基1,2,n下的坐标是唯一的，所以：Ay=x 或 y=A-1x4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例例2：已知R3的一组基B2 1,2,3为1=(1,2,1)T，2=(1,-1,0)

9、T，3=(1,0,-1)T，求自然基B1=1,2,3到基B2的过渡矩阵A。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例解：由即得4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例由例2可见，在Rn中由自然基B1=1,2,n到基B2=1,2,n 的过渡矩阵A，就是将1,2,n按列排成的矩阵。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例例3：已知R3的两组基为B1=1,2,3 及B2=1,2,3，其中：1）求基B1到基B2的过渡矩阵A；2）已知在基B1下的坐标为(1,-2,

10、-1)T，求在基B2下的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例解：1）设：将以列向量形式表示的两组基向量代入上式，得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例故过渡矩阵4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例2）根据前面的定理得在基B2下的坐标另一解法：先求出，即：然后按=y11+y22+y33，解出坐标(y1,y2,y3)T。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例利用前面定理中关于不同基下坐标

11、的关系的结论，容易得到平面直角坐标系中坐标轴旋转的坐标变换公式。设平面直角坐标系逆时针旋转角（见课本165页图4.1），在Oxy坐标系中，取基1=i,2=j；在Oxy坐标系中取基1=i,2=j，则：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例基之间的变换举例即：于是向量在基1,2和1,2下的坐标(x1,y1)和(x1,y1)满足关系式4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间在前面讨论的n维实向量空间中，我们只定义了向量的线性运算，它不能描述向量的度量性质，如长度、夹角等。在三维

12、几何空间中，向量的内积内积（即点积或数量积）描述了内积与向量的长度及夹角的关系。由内积定义：ab=|a|b|cos可以得到：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间若a=a1i+a2j+a3k，简记为a=(a1,a2,a3)；b=b1i+b2j+b3k，简记为b=(b1,b2,b3)。由内积的运算性质和内积的定义，可得：a b=a1b1+a2b2+a3b3现在我们把三维几何向量的内积推广到n维实向量，在n维实向量空间中定义内积运算，进而定义向量的长度和夹角，使n维实向量具有度量性。4.2 Rn中向量的

13、内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间定义：定义：设=(a1,a2,an)T 和=(b1,b2,bn)T Rn，规定与的内积内积为：(,)=a1 b1+a2 b2+an bn 当,为列向量时，(,)=T=T4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间根据定义，容易证明内积具有以下的运算性质：1)(,)=(,)2)(+,)=(,)+(,)3)(k,)=k(,)4)(,)0，等号成立当且仅当=0 其中,Rn,kR。由于向量与自身的内积

14、是非负数，于是我们如三维几何空间中那样，用内积定义n维向量的长度。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间定义：定义：向量的长度长度：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间定理：定理：向量的内积满足：|(,)|此式称为柯西施瓦茨（柯西施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式）不等式。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内

15、积，欧式空间证：证：1）当=0时，(,)=0，|=0，|(,)|显然成立。2）当0时，作向量+t(tR)，由性质4)得：(+t,+t)0再由性质1),2),3)展开上式左端得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间(,)+2(,)t+(,)t2 0其左端是t的二次三项式，且t2系数(,)0，因此判别式：4(,)24(,)(,)0即：(,)2 (,)(,)=|2|2故：|(,)|4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积

16、，欧式空间读者不难证明，前面定理中前面定理中|(,)|等号等号成立的充分必要条件为成立的充分必要条件为与与线性相关线性相关。当=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T 时，利用前面定理可得：由于内积满足柯西施瓦茨不等式，于是我们可以利用内积定义向量之间的夹角。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间定义：定义：向量,之间的夹角夹角定义为：由前面的定义立即可得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间

17、定理：定理：非零向量,正交正交（或垂直）的充分必要条件是(,)=0。由于零向量与任何向量的内积为零，因此，我们也说零向量与任何向量正交。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间在三维几何空间中，向量,+构成三角形，三个向量的长度满足三角形不等式：|+|+|当时，三个向量的长度满足勾股定理：|+|2=|2+|24.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间在定义了内积运算的n维向量空间中，三角形不等式和勾股定理仍然成

18、立，下面给出它们的证明。|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)|2+2|+|2 =(|+|)2 故：|+|+|当时，(,)=0，于是就有：|+|2=|2+|24.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n n维实向量的内积，欧式空间维实向量的内积，欧式空间定义：定义：定义了内积运算的n维实向量空间称为n维欧几里欧几里得空间得空间（简称欧式空间欧式空间），仍记作Rn。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵标准正交基标准正交基在n维欧式空间Rn中，长度为1的单位向量组：1=(1,0,0,0)T2=(0,1,0,0

19、)T n=(0,0,0,1)T 显然是两两正交的线性无关的向量组，我们称它为Rn的一组标准正交基标准正交基。然而，n维欧式空间的标准正交基不维欧式空间的标准正交基不是唯一的是唯一的，为了说清楚这个问题，我们先证明下面的定理，给出标准正交基的一般定义，然后介绍由Rn中n个线性无关的向量构造一组标准正交基的施密特正交化方法。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵标准正交基标准正交基定理：定理：Rn中两两正交且不含零向量的向量组（称为非零正交向量组）1,2,s是线性无关的。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵标准正

20、交基标准正交基证：证：设k11+k22+kss=0则：由于(i,i)0，故ki=0,i=1,2,s因此，1,2,s线性无关。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵标准正交基标准正交基定义：定义：设1,2,nRn，若：则称1,2,n是Rn的一组标准正交基标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵标准正交基标准正交基例1：设B=1,2,n是Rn的一组标准正交基，求Rn中向量在基B下的坐标。解：设=x11+x22+xnn，将此式两边对i(j=1,2,n)分别求内积，得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正

21、交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵标准正交基标准正交基故在标准正交基1,2,n下的坐标向量的第j个分量为：xj=(,j),j=1,2,n在R3中取i,j,k为标准正交基，例1中的x1,x2,x3就是在i,j,k上的投影。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法施密特正交化方法施密特正交化方法是将Rn中一组线性无关的向量1,2,n做一种特定的线性运算，构造出一组标准正交向量组的方法。我们先从R3的一组基1,2,3构造出一组标准正交基，以揭示施密特正交化方法的思路和过程。4.2 Rn中向量的内积、标准正

22、交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法令1=1，将2在1上的投影向量（见课本170页图4.2）4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法则：2 1（如课本图4.2所示）。由于3与1,2不共面，所以3也与1,2不共面。如果记3在1,2平面上的投影向量为3，即：3=(3)1+(3)2=13+23=k131+k232则：31且32（如课本图4.3所示）。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schm

23、idt)正交化方法正交化方法如此求得的1,2,3是两两正交的非零向量组。再将1,2,3单位化，即取：则1,2,3就是R3的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法从上述正交化过程所获得的启示，由Rn中线性无关的向量组1,2,n也可类似地构造出一组标准正交的向量组1,2,n，其步骤如下：取 1=1 2=2+k121由于1,2线性无关，所以20，为使1,2正交，即：(2,1)=(2+k121,1)=(2,1)+k12(1,1)=04.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准

24、正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法便得再取 3=3+k232+k131使(3,1)=(3,2)=0，又得4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法继续上述步骤，假定已求出两两正交的非零向量1,2,j-1，再取j=j+kj-1,j j-1+k2j 2+k1j 1为使j与i(i=1,2,j-1)正交，即(j,i)=(j,i)+kij(i,i)=0即得4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法故

25、因此，令1=1，并在上式中取j=2,3,m，就得到两两正交的非零向量组1,2,m（它们都是非零向量的证明留给读者去完成）。再将它们单位化为：1,2,m4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法这就由线性无关的1,2,m构造出了标准正交向量组1,2,m。这个正交化过程称为施密特正交施密特正交化方法化方法。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法如果1,2,n是Rn的一组基，按施密特正交化方法，必可构造出Rn的一组标准正交

26、基1,2,n。由此可见，Rn的标准正交基不唯一。在R3中，任何单位长度的两两正交的三个向量都是它的标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法例2 已知B=1,2,3是R3的一组基，其中1=(1,-1,0)2=(1,0,1)3=(1,-1,1)试用施密特正交化方法，由B构造R3的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法解 取 4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交

27、基和正交矩阵施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法再将1,2,3单位化，得R3的标准正交基为：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质正交矩阵是一种重要的实方阵，它的行、列向量组皆是标准正交向量组。下面先给出正交矩阵的定义，然后讨论它的性质。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质定义：定义：设设ARnn，如果ATAI，就称A为正交矩阵正交矩阵。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质

28、正交矩阵及其性质定理：定理：A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组为Rn的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质证：证：设 按列分块为(1,2,n)，于是 4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质因此，ATA=I的充分必要条件是：且即A的列向量组1,2,n为Rn的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质定理：定理：设A,B皆是n阶正交矩阵，则

29、：1)detA=1或=-12)A-1=AT3)AT(即A-1)也是正交矩阵4)AB也是正交矩阵4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质证：证：1)，2)的证明略去。3)由于(AT)TAT=AAT=AA-1=I，所以AT(即A-1)也是正交矩阵，从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基。4)由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I，即得AB也是正交矩阵。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质定理：定理：若列向量x,yRn在n阶正交矩阵A作用下

30、变换为Ax,AyRn，则向量的内积、长度及向量间的夹角都保持不变，即：(Ax,Ay)=(x,y)|Ax|=|x|Ay|=|y|=4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质证证：(Ax,Ay)=(Ax)T(Ay)=x(ATA)y=xTy=(x,y)当y=x时，有(Ax,Ax)=(x,x)，即|Ax|=|x|。同理|Ay|=|y|。因此：所以向量Ax与Ay的夹角等于x与y的夹角。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵中向量的内积、标准正交基和正交矩阵正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质欧式空间中向量x在正交矩阵作用下变换为Ax，通常称之为欧式空间的正交变换欧式空间的正交变换。它在第6章中研究二次型的标准形时起着重要作用。