应用基本不等式的八种变形技巧.pdf

《应用基本不等式的八种变形技巧.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用基本不等式的八种变形技巧.pdf（5页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、应用基本不等式的八种变形技巧应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值常见的变形技巧有以下几种：加上一个数或减去一个数使和或积为定值4函数 f(x)x(x3)的最大值是()x3A4C5B.1D14【解析】因为 x0，所以 f(x)3x（3x）3244（3x）31.当且仅当3x，即 x1 时等号成立，所以 f(x)的最大值3x3x是1.【答案】D平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值若 x0，y0，且 2x2y2

2、8，求 x 62y2的最大值3点拨由于已知条件式中有关 x，y 的式子均为平方式，而所求式中 x 是一次的，且根号下 y 是二次的，因此考虑平方后求其最值2x21y2922 222233【解】(x 62y)x(62y)32x1332.当且仅当2y22x21y23429，即 x，y时，等号成立故 x 62y2的最大值为3.3222展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值11已知 a0，b0 且 ab2，求a1b1的最小值点拨由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值111111ab311 1【解】由题得11，abababababab111因为

3、 a0，b0，ab2，所以22 ab，所以 ab1，所以1.所以a11b4(当ab211且仅当 ab1 时取等号)，所以a1b1的最小值是 4.变形后使用基本不等式设 a1，b1，且 ab(ab)1，那么()Aab 有最小值 2(21)Bab 有最大值(21)2Cab 有最大值 21Dab 有最小值 2(21)ab2【解析】因为 ab(ab)1，ab()，2ab所以2(ab)1，它是关于 ab 的一元二次不等式，解得 ab2(21)或 ab2(1 2)(舍去)，所以 ab 有最小值 2(21)又因为 ab(ab)1，ab2 ab，所以 ab2 ab1，它是关于 ab的一元二次不等式，解得 ab

4、 21 或 ab1 2(舍去)，所以 ab32 2，即 ab 有最小值 32 2.【答案】Af（x）形如型函数变形后使用基本不等式g（x）f（x）若 y中 f(x)的次数小于 g(x)的次数，可取倒数后求其最值g（x）（x5）（x2）求函数 y(x1)的值域x1B点拨将(x5)(x2)用(x1)来表示再变形为 f(x)Ax C 的形式，然后运用基本x不等式求解（x5）（x2）x27x10【解】因为 yx1x1（x1）25（x1）44x15，x1x1当 x10 时，即 x1 时，y2当 x10，即 x0，y0，求 xy 的最小值xy123y2x3【解】法一：因为 x0，y0，所以 xy(xy)1

5、(xy)xyxy2y 2x32 2.x yy2x12当且仅当，且 1，即 x 21，y2 2时，上式等号成立故 xy 的最xyxy小值是 32 2.12y法二：因为 1，所以 x.xyy2因为 x0，y0，所以 y20.y2y（y2）23（y2）2y所以 xyyy2y2y222y2332 2当y2y2，即y2 2y2时取等号，此时x 21).ab求以形如或可化为 1 型为条件的 cxdy(a，b，c，d 都不为 0)的最值可利用“1”xy12的代换求乘法本题中的条件 1 也可化为 2xyxy0.xya2b2若 a，b 为常数，且 0 x1，求 f(x)的最小值x1x点拨根据待求式的特征及 0

6、x0，1x0.又 1x(1x)，因此可考虑利用“1”的代换法【解】因为 0 x0.a2b2a2b2a2b2所以11x(1x)x(1x)x1xxx1x1xa2（1x）b2xa b2a2b22ab(ab)2.x1x2a2（1x）b2x上式当且仅当时，等号成立x1xa2b2所以(ab)2.x1x故函数 f(x)的最小值为(ab)2.若实数 a，b 满足 ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值是_点拨由于所给条件式中含两个变量a，b，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值4a13【解析】因为 ab4ab10，所以 b4.a1a1又因为 a1，所以 b0.

7、所以(a1)(b2)ab2ab26a15.因为 a10，6所以 6(a1)152a166（a1）1527.a16696(a1)a1a16当且仅当 6(a1)(a1)，a1即 a2 时取等号【答案】27已知条件含形如 axbxycyd0(abc0)型的关系式，求关于 x、y 一次式的和或积的最值问题 常将关系式中axbxycyd0变形，用一个变量x(或 y)表示另一个变量y(或x)后求解代换减元求最值z设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz 的xy最大值为_【解析】x23xy4y2z0zx23xy4y2，zx23xy4y2x4y所以 32xyxyyx等号成立

8、条件为 x2y，代入到可得 z(2y)232yy4y22y2，所以 x2y，z2y2，所以 x2yz2y2y2y22(y22y)2(y1)222.【答案】2在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解建立求解目标不等式求最值已知 x，y 均为正实数，且 xyxy3，则 xy 的最小值为_【解析】因为 x，y 均为正实数，x 4y31.y x所以 xy2 xy，xyxy3 可化为 xy2 xy3，即(xy3)(xy1)0，所以 xy3，xy9，当且仅当 xy 时，xy 取得最小值 9.【答案】9利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值