2019版高中数学 第1章 解三角形 1.2 第3课时 三角形中的几何计算学案 新人教B版必修5.doc

《2019版高中数学 第1章 解三角形 1.2 第3课时 三角形中的几何计算学案 新人教B版必修5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高中数学 第1章 解三角形 1.2 第3课时 三角形中的几何计算学案 新人教B版必修5.doc（9页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1第第 3 3 课时课时 三角形中的几何计算三角形中的几何计算1.掌握三角形的面积公式的应用.(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用.(难点)基础初探教材整理 三角形面积公式阅读教材 P10探索与研究P11，完成下列问题.1.三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；1 21 21 2(2)Sabsin Cbcsin_Acasin_B；1 21 21 2(3)S (abc)r(r为内切圆半径).1 22.三角形中常用的结论(1)ABC，；AB 2 2C 2(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之

2、差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，(C 2)sin cos ，AB 2C 2cos sin .AB 2C 21.下列说法中正确的是_(填序号).2(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S(abc)r；(2)在ABC中，若cb2，SABC，则A60；3(3)在ABC中，若a6，b4，C30，则SABC的面积是 6；(4)在ABC中，若 sin 2Asin 2B，则AB.【解析】 (1)错误.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为

3、Sarbrcr (abc)r.1 21 21 21 2(2)错误.由三角形面积公式Sbcsin A得，1 222sin A，所以 sin A，则A60或A120.1 2332(3)正确.因为三角形的面积Sabsin C 64sin 306.1 21 2(4)错误.因为在ABC中，若 sin 2Asin 2B，则 2A2B或 2A2B，即AB或AB. 2【答案】 (3)2.在ABC中，a6，B30，C120，则ABC的面积为_【解析】 由题知A1801203030.，b6，S 66sin 1209.6 sin 30b sin 301 23【答案】 933.在ABC中，ab60，SABC15，AB

4、C的外接圆半径为，则边c的长为33_.【解析】 SABCabsin C15，sin C.1 2332由正弦定理2R，c2Rsin C3.c sin C【答案】 34.若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_.3【解析】 在ABC中，由面积公式得SBCACsin C 2ACsin 601 21 2AC，323AC2.BC2，C60，3ABC为等边三角形.AB2.【答案答案】 2小组合作型三角形面积的计算(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为( ) 6 4A.22B.133C.22D.133(2)在ABC中，SABC (a2b2c2)，

5、则C_.1 4(3)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为32_. 【导学号：18082012】【精彩点拨】 (1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解.(2)由三角形面积Sabsin C与余弦定理 cos C相结合求解.1 2a2b2c2 2ab(3)由已知可先利用三角形面积公式Sbcsin A求出AC，然后利用余弦定理求BC.1 2【自主解答】 (1)由正弦定理及已知条件得c2，又 sin b sin Bc sin C2Asin(BC) .1 22232222 64从而SABCbcsin A 221.1 21 222 643(2)由SABC (a2b2

6、c2)得1 4absin C (a2b2c2)，即 sin C.1 21 4a2b2c2 2absin Ccos C，即 tan C1，C. 44(3)由SABC，得ABACsin A，321 232即 2AC，1 23232AC1.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A2212221 3.BC.1 23【答案】 (1)B (2) (3) 431.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用.2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算.再练一题1.已知在ABC中，cos A，cos B ，BC5，求ABC的面积

7、.5 133 5【解】 由 cos A，得 sin A.5 131cos2A12 13由 cos B ，得 sin B .3 51cos2B4 5所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B .12 133 5(5 13)4 536 6520 6516 65由正弦定理得AC.BCsin B sin A5 4 5 12 1313 3所以ABC的面积为S BCACsin C 5 .1 21 213 316 658 3三角形的证明问题在ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c.证明：.a2b2 c2sinAB sin C【精彩点拨】 由左往右证，可由边化角展开；由右往左证

8、，可由角化边展开.5【自主解答】 法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，整理得：.a2b2 c2acos Bbcos A c依正弦定理有 ， ，a csin A sin Cb csin B sin C.a2b2 c2sin Acos Bsin Bcos A sin CsinAB sin C法二：sinAB sin Csin Acos Bcos Asin B sin C.aa2c2b22acb2c2a22bcbc2a2b2 2c2a2b2 c21.三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系.(2)由繁推简

9、.(3)目标明确，等价转化.2.三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形.(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形.再练一题2.在ABC中，求证：.cos B cos Ccbcos A bccos A【证明】 由正弦定理得右边2Rsin C2Rsin Bcos A 2Rsin B2Rsin Ccos AsinABsin Bcos A sinACsin Ccos Asin Acos Bcos Asin Bsin Bcos A sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A左边.sin Ac

10、os B sin Acos Ccos B cos C原等式成立.探究共研型6三角形中的综合问题探究 1 如图 1228 所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，B是哪些三角形的内角？图 1228【提示】 在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段AD是ADC与ABD的公共边，B既是ABC的内角，又是ABD的内角.探究 2 在探究 1 中，若 sin Bsin ADB，则ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知ABm，DCn，如何求出AC?【提示】 若 sin Bsin ADB，则ABD为等腰三角形，在此条件下，可在ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在ADC中

11、求出AC，也可以在ABD中先求出BD，然后在ABC中，利用余弦定理求出AC.探究 3 在探究 1 的图形中若已知B与C的大小如何表示(或求)A，如何用B与C的正、余弦值表示A的正弦值？【提示】 A(BC)，sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsincsina. 4( 4C)( 4B)(1)求证：BC； 2(2)若a，求ABC的面积. 2【导学号：18082013】【精彩点拨】 (1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证.(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅

12、助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解.【自主解答】 (1)由bsincsina，应用正弦定理，( 4C)( 4B)得 sin Bsinsin Csinsin A，( 4C)( 4B)所以 sin Bsin Csin Bcos B，(22sin C22cos C)222222整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1，7因为 0b，所以AB，则B， 6所以C， 2SABCabsin C 11.1 21 2332【答案】 325.在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，已知c2，C. 3(1)若ABC的面积等于，求a，b；3(2)若 sin B2sin A，求ABC的面积.【解】 (1)由余弦定理，得a2b2ab4.因为ABC的面积等于，3所以absin C，得ab4.1 23联立方程Error!解得Error!(2)由正弦定理，已知条件可化为b2a.联立方程Error!解得Error!所以ABC 的面积 S absin C.122 33