9微分运动.ppt

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1、LOGO机器人学基础机器人学基础微分运动与雅可比矩阵的构造微分运动与雅可比矩阵的构造微分运动雅可比矩阵的构造方法上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院(1)每一列表示其他关节不动而某每一列表示其他关节不动而某一关节运动的端点速度；一关节运动的端点速度；雅可比矩阵元素含义：雅可比矩阵元素含义：(2)前三行代表手部线速度与关节前三行代表手部线速度与关节速度传递比；后三行代表手部角速度传递比；后三行代表手部角速度与关节速度传递比。速度与关节速度传递比。dX=J(q)dq=JTF雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间

2、雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之间的速度线性映射关系，也可看成是微分运之间的速度线性映射关系，也可看成是微分运之间的速度线性映射关系，也可看成是微分运之间的速度线性映射关系，也可看成是微分运动转换的线性关系。同时也用来表示两空间之动转换的线性关系。同时也用来表示两空间之动转换的线性关系。同时也用来表示两空间之动转换的线性关系。同时也用来表示两空间之间力的传递关系。间力的传递关系。间力的传递关系。间力的传递关系。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院 若若J是是关节空间关节空间向向操作空间操作空间的映射（微分运动矢量），则的映射（微分运动矢量），则 把把操作空间的广义力矢量操作空间

3、的广义力矢量映射到映射到关节空间的关节力矢量关节空间的关节力矢量。关节空间关节空间操作空间操作空间雅可比雅可比J力雅可比力雅可比JT上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院雅可比矩阵求解直接求偏导 很少构造雅可比矩阵矢量积法微分变换法微分关系的概念微分运动就是指机器人的微小运动，而微分关系是指微分运动与速度之间的关系。在机器人运动中，有时需要对手部位姿作微小的调整，因此要讨论机器人连杆在作微小运动时的位姿变化。为了使手部按给定的方向并以给定的速度运动。因此需要推导关节位移和末杆位置的微分关系，解出各关节的速度，再此基础上可进行加速度和运动学分析。微分运动微分运动上海电机学院上海电机学院 机械

4、学院机械学院1.机器人的微分运动首先研究机器人连杆在作微小运动时位姿变化的表达。机器人运动链中某一连杆对于固定系的位姿为T，经过微运动后该杆对固定系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于固定系进行的，总可以用微小的平移和旋转来表示，即 若微分运动是相对于某个杆系i进行的，则T+dT可以表示为上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院可见，无论对哪个杆系作微分运动，均会出现方括号内的公共部分，将此式表示为这里的下标不同是由于微分运动是相对不同的坐标系进行的。2.微分平移和微分旋转微分平移变换与一般平移一样，其变换矩阵为上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院微分旋转表达式可由一般旋转变换通式

5、求出：注意当时，上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院绕矢量k的微分旋转d等价于分别绕三轴x、y和z 的微分旋转即代入上式，则得到对于任一给定的坐标系T的上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院可以看成由和d两个向量组成，d称为微分平移向量。分别表示为称为微分旋转向量，和d合称为微分运动向量。若表示一个微分旋转，表示另一个微分旋转，则两次连续旋转的结果为这说明任意两个微分旋转的结果为绕每个轴旋转的元素的代数和，即微分旋转是可加的。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院3.微分旋转的无序性当时，。若令则绕3个坐标轴的微分旋转矩阵分别变成：忽略高阶小量，可见以上两式相等。微分旋转其结果与

6、旋转次序无关，这是与有限旋转的一个重要区别。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院已知一个坐标系相对固定系的微分平移向量为，微分旋转向量为，求相对于A系的微分变换dA。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院4.两坐标之间微分运动的关系要求得机械手的雅可比矩阵，就需要把一个坐标系内的位置和姿态的微小变化，变换为另一个坐标系内的等效表达式。为展开此式，先设上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院用左乘上式得：应用三矢量相乘的两个性质：上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院这组公式表示了相对于固定系的微分旋转与平移向量和d 与相对于坐标系T的和的关系。由此可以由一个系的运动求另一个系的

7、微运动。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院简写为：简写为：简写为：简写为：上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院S(P)为矢量P的反对称矩阵S(P)矩阵具有以下性质：上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院相应的，广义速度V的坐标变换为：任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院雅可比矩阵的构造法雅可比矩阵的构造法构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变换法，雅可比矩阵构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变换法，雅可比矩阵J(qJ(q)既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，

8、也可看成是微分运动转换的线性关系，即：也可看成是微分运动转换的线性关系，即：对于有对于有n n个关节的机器人，其雅可比矩阵个关节的机器人，其雅可比矩阵J(qJ(q)是是6 6n n阶矩阵，阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度其前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度v v的传递比，的传递比，后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度对手爪的角速度后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度对手爪的角速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵的传递比。因此，可将雅可比矩阵J(qJ(q)分块，即：分块，即：上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院式中，式中，Jli和和Jai分别表示分别表示关节关

9、节i的单位关节速度的单位关节速度引起引起手爪的线速手爪的线速度和角速度度和角速度。下面采用构造性的方法，不需求导而直接构造出下面采用构造性的方法，不需求导而直接构造出 和和上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院雅可比矩阵的构造法一、矢量积法二、微分变换法 基于运动坐标系，所构造出的J矩阵是联系关节速度向量和手爪（相对于基坐标系）广义速度向量之间的变换关系。基于连杆微分运动，所构造出的TJ矩阵是联系关节速度向量和手爪坐标系（动坐标系）广义速度向量之间的变换关系。雅可比矩阵的构造法矢量积法移动关节移动关节i转动关节转动关节i坐标系n的原点相对于坐标系i的位置矢量在基坐标系中的表示。Zi是坐标系

10、i的Z轴单位向量在基坐标系0中的表示。雅可比矩阵的构造法微分变换法移动关节移动关节i：连杆：连杆i沿沿Zi轴的微分移动轴的微分移动ddi转动关节转动关节i:连杆连杆i沿沿Zi轴的微分转动轴的微分转动雅可比矩阵的构造法雅可比矩阵的构造法微分变换法微分变换法雅可比矩阵TJ(q)的第i列（1）移动关节）移动关节（2）转动关节）转动关节式中：式中：n,o,a,pn,o,a,p是变换矩阵是变换矩阵 的四个列向量。的四个列向量。上面求雅可比的方法是构造性的，只要知道各连杆变换，就可自动生成雅可比，而不需求导和解方程等手续。自动生成步骤：(1)计算各连杆变换(2)计算各连杆至末端连杆的变换：(3)计算J(q

11、)的各列元素，第i列 由 所决定。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院习题习题给定某一时刻的机器人雅克比矩阵，给定关节的微分运动，给定某一时刻的机器人雅克比矩阵，给定关节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。求机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院习题习题 对如下的坐标系对如下的坐标系B,B,绕绕y y轴做轴做0.10.1弧度的微分转动，然后微分平移弧度的微分转动，然后微分平移0.10.1，0 0，0.20.2T T，求微分变换的结果。，求微分变换的结果。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院解：解：上海电机

12、学院上海电机学院 机械学院机械学院雅可比矩阵的应用雅可比矩阵的应用 由上式可见，当已知手端速度向量由上式可见，当已知手端速度向量V，可通过左乘雅可比逆，可通过左乘雅可比逆矩阵计算出机器人的关节速度向量，所以上式为运动学逆问题的矩阵计算出机器人的关节速度向量，所以上式为运动学逆问题的速度关系式，是对机器人进行速度控制的基本关系式。速度关系式，是对机器人进行速度控制的基本关系式。1 1、分离速度控制、分离速度控制 采用计算机控制时，把速度表示位置增量的形式，故将上采用计算机控制时，把速度表示位置增量的形式，故将上式写为：式写为：式中式中,v v为手部在基础坐为手部在基础坐标下一个采样周期的位移标下

13、一个采样周期的位移(线位移、角位移线位移、角位移)；q q为在同一周期内关节为在同一周期内关节变量的增量。变量的增量。上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院 当要求机器人沿某轨迹运动时，当要求机器人沿某轨迹运动时，v为已知，将它代入上为已知，将它代入上式中求得关节变量增量式中求得关节变量增量q，于是可确定各关节变量值，由伺，于是可确定各关节变量值，由伺服系统实现位置控制，这就是分离速度控制原理，如下图所服系统实现位置控制，这就是分离速度控制原理，如下图所示。示。v要求要求v实际实际分离速度控制原理分离速度控制原理上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院 有些机器人的工作需要与环境接触，有些机器人的工作需要与环境接触，并保持一定的接触力，如右图所示。接触并保持一定的接触力，如右图所示。接触力力F可表示为一个六维力向量：可表示为一个六维力向量：设一个驱动器只驱动一个关节，则设一个驱动器只驱动一个关节，则n n个关节需求个关节需求n n个驱动力，个驱动力，可组成一个可组成一个n n维关节力向量维关节力向量:2 2、在静力分析中的应用、在静力分析中的应用上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院T T与与F F的关系可以表示为：的关系可以表示为：上海电机学院上海电机学院 机械学院机械学院