二重积分(习题).doc

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1、二重积分(习题).第九章 二重积分习题9-11、设+=13221)(D d y _ I , 其中22,11|),(1-=y _ y _ D ;又+=23222)(D d y _ I , 其中20,10|),(2=y _ y _ D ,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=_ 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y _ f 为_ 的奇函数,即),(y _ f y _ f -=-时,有0),(=Dd y _ f ;(2)当积

2、分区域D 关于y 轴对称,),(y _ f 为_ 的偶函数,即),(y _ f y _ f =-时,有=1),(2),(D D d y _ f d y _ f ,其中1D 为D 在0_ 的部分.并由此计算下列积分的值,其中|),(222R y _ y _ D +=.(I)D d _y 4; (II)-D d y _ R y 222; (III)+D d y _ _ y 2231cos .解：令=D d y _ f I ),(,=1),(1D d y _ f I ,其中1D 为D 在0_ 的部分,.(1)由于D 关于y 轴对称,),(y _ f 为_ 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=_

3、 对称,且在0_ 的部分的体积为1I ,在0 (2)由于D 关于y 轴对称,),(y _ f 为_ 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=_ 对称,且在0_ 的部分的体积为1I ,在0 (I)由于|),(222R y _ y _ D +=关于y 轴对称,且4),(_y y _ f =为_ 的奇函数,于是04=D d _y ;(II)由于|),(222R y _ y _ D +=关于_轴对称,且222),(y _ R y y _ f -=为y 的奇函数,于是0222=-D d y _ R y ;(III)由于|),(222R y _ y _ D +=关于_ 轴对称,且2231cos ),(y

4、 _ _ y y _ f +=为y 的奇函数,于是01cos 223=+Dd y _ _ y .3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:(1)+=D d y _ I 21)(与+=Dd y _ I 32)(,其中D 是由_ 轴、y 轴与直线1=+y _ 所围成;解：由于在D 内,10 3)(0y _ y _ + D =+ (2)+=D d y _ I )ln(1与+=Dd y _ I 22)ln(, 其中10,53|),(=y _ y _ D .解：由于在D 内,63+y _ ,2)lnln(y _ y _ + .所以221)lnln(I d y _ d y _ I DD =+ 4、利用二

5、重积分的性质估计下列二重积分的值：(1)+=Dd y _ _y I )1(,其中20,10|),(=y _ y _ D ；解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0 1628)1(20_= d y _ _y .(2)+=Dd y _ I )94(22, 其中4|),(22+=y _ y _ D ；解：由于D 的面积为4,且在D 内,25313949222+y y _ ,那么100425)94(493622= d y _ .(3)+=Dy _ d I 22cos cos 100, 其中10| |),(+=y _ y _ D ；解：由于D 的面积为20_,且在D 内,1001cos cos 1

6、001102122+y _ ,那么 210020_cos cos 10010220_5110022= 习题9-2.1、计算下列二重积分：(1)+D d y _)(22,其中D 是矩形区域: 1|,1|y _ ；解：38)31(2)(1122222=+=+=+-d_ _ dy y _ d_ d y _ D.(2)+D y _ d _ye22,其中,|),(d y c b _ a y _ D =； 解：-=+b a _ c d b a d c y _ D d_ _e e e dy _ye d_ d y _22222)(21)(22.)(412222c d a b e e e e -=.(3)+Dd

7、 y _ )23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y _ 所围成的闭区域；解：320)2242323(2022021=-+=+=+-d_ _ _ dy y _ d_ d y _ _ D .(4)+Dd y _ _ )cos(,其中D 是顶点分别为)0,0,0(和),(的三角形闭区域.解：23)sin 2(sin )coscos(000-=-=+=+d_ _ _ _ dy y _ _ d_ d y _ _ _ D .2、画出积分区域,并计算下列二重积分： (1)Dd y _ ,其中D 是由两条抛物线2,_ y _ y =所围成的闭区域； .解：556)(3210447102=+=d_ _ _

8、dy y _ d_ d y _ _ _ D .(2)Dd _ y ,其中D 是由直线_ y _ y 2,=及2,1=_ _ 所围成的闭区域； 解：492321212=_d_ dy _ y d_ d _ y _ _ D .(3)+Dd y _ )2(,其中D 是由_ y _ y 1,=及2=y 所围成的闭区域； 解：619)11222(2122211=-=+=+dy y y d_ y _ dy d y _ y y D .(4)+Dy _ d e,其中D 是由1|+y _ 所确定的闭区域.解：+-+-+-+=11_ _ y _ _ _ y _ D y _ dy e d_ dy e d_ d e e

9、 e e e e e d_ e e d_ e e _ _ 1212232)(1012021_-=+-=-+-=-+.a:=0.1;b:=_-1.-_+1;f:=e_p(_+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),_=a);simplify();3、如果二重积分Dd y _ f ),(的被积函数),(y _ f 是两个函数)(1_ f 及)(2y f 的乘积,即),(21y f _ f y _ f =,积分区域.,|),(d y c b _ a y _ D =,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即12(,)b d a c D f _ y d f _ d_ f y dy =.

10、证明：=b a dc b ad c D dy y f _ f d_ d_ y _ f d_ d y _ f ),(21 1212b d b d a c a c f _ f y dy d_ f _ d_ f y dy =.4、化二重积分=Dd y _ f I ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D 是：(1)由曲线_ y ln =、直线2=_ 及_ 轴所围成的闭区域；图形plot(ln(_),0,2,0,2,ln(2),_=0.2,y=0.0.8,color=1); 解：=2ln 0221ln 0),(y e _ d_ y _ f dy dy y _ f

11、 d_ I .(2)由y 轴及右半圆22y a _ -=所围成的闭区域； 图形plot(1-_2)(1/2), -1_(1-_2)(1/2),_=0.1, color=1);.解：-=a a y a a _ a _ a d_ y _ f dy dy y _ f d_ I 2222220_),(.(3)由抛物线2_ y =与直线32=+y _ 所围成的闭区域.图形 plot(_2, 3-2_,_=-3.1, color=1); 解：319201(,)(,)y y y y I dy f _ y d_ dy f _ y d_ -=+.5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)10),(y y d_ y

12、 _ f dy ；解：=102),(_ _ dy y _ f d_ I .(2)10),(ee y d_ y _f dy ；解：=e _ dy y _f d_ I 1ln 0),(.(3)-+-122),(y y d_ y _ f dy ；解：-=21222),(_ _ _ dy y _ f d_ I .(4)-+2120210),(2_ _ dy y _ f d_ dy y _ f d_ ； .解：-=102),(y yd_ y _ f dy I .(5)-sin 2sin),(_ dy y _ f d_ ；图形 plot(sin(_),-sin(_/2),Pi,0,Pi,-1,_=0.Pi

13、,color=1); 解：-+=1arcsin arcsin 01arcsin 2),(yyyd_ y _ f dy d_ y _ f dy I .(6)-+21202022),(2_aa_ a_ dy y _ f d_ dy y _ f d_ .图形 plot(2_-_2)(1/2),(2_)(1/2),2,0,2,2, _=0.2,color=1); 解：-+-+=a ay a a ay a a ayd_ y _ f dy d_ y _ f dy I 020222222),(+a aaay d_ y _ f dy 2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线_ y y _ =+,2

14、和_ 轴所围成,它的面密度22),(y _ y _ +=,求该改薄片的质量.图形 plot(2-_,_, _=0.2,y=0.1,color=1); 解：-+=10222),(_yDd_ y _ dy d y _ m .34)384438(1032=-+-=dy y y y .7、求由平面1,1,0,0=+=y _ z y _ 及y _ z +=1所围成的立体的体积.图形 with(plots):A:=plot3d(_,y,1,_=0.1,y=0.1-_):B:=plot3d(_,1-_,z,_=0.1,z=1.2):F:=plot3d(_,0,z,_=0.1,z=1.1+_):G:=plot

15、3d(0,y,z,y=0.1,z=1.1+y):H:=plot3d(_,y,1+_+y,_=0.1,y=0.1-_):display(A,B,F,G,H,grid=25,20, a_es= BO_ED ,scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR); 解：=-=+=-+=-102031)1(21)(1)1(d_ _ dy y _ d_ d y _ V _ D .8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为_ 轴(20_ ),往公路延伸方向为y 轴(5000y ),且山坡高度为_ y z 2

16、0sin 500sin 10+=,试计算所需挖掉的土方量.图形 plot3d(10_sin(Pi_y/500)+ sin(Pi_/20),y=0.500,_=0.20); 解：)(70028)20sin 500sin 10(320_5000m dy _ y d_ zd V D =+=.9、画出积分区域,把积分=Dd y _ f I ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：(1)0( 0,|),(222+=a _ a y _ y _ D ； 图形 plot(1-_2)(1/2),-(1-_2)(1/2), _=0.1,color=1); 解：-=220)sin ,cos (a rd

17、r r r f d I .(2)2|),(22y y _ y _ D +=； 图形 plot(1+(1-_2)(1/2), 1-(1-_2)(1/2), _=-1.1,color=1); 解：y y _ 222=+sin 22r r =sin 2=r ,于是 =0sin 20)sin ,cos (rdr r r f d I .(3)|),(2222b y _ a y _ D +=,其中b a plot(1-_2)(1/2),-(1-_2)(1/2),(4-_2)(1/2),-(4-_2)(1/2), _=-2.2,color=1);解：=20)sin ,cos (ba rdr r r f d

18、I .(4)0,10|),(2_ y _ y _ D =.图形 plot(_2,1,0,1,1, _=0.1,color=1);解：2_ y =22cos sin r r =tan sec =r , 1=_ 1cos =r sec =r ,于是=40sec tan sec )sin ,cos (rdr r r f d I .10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)0),(dy y _ f d_ ； 图形 plot(0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,color=1);解：1=_ 1cos =r sec =r ,1=y 1sin =r csc =r ,于是+=24csc 040s

19、ec 0)sin ,cos sin ,cos (rdr r r f d rdr r r f d I .(2)-+1222)(_ _ dy y _ f d_ ； 图形 plot(1-_2)(1/2),1-_,_=0.1,color=1);.解：_ y -=1cos 1sin r r -=cos sin 1+=r ,于是 +=201cos sin 1)(rdr r f d I .11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值： (1)-+a_ a_ dy y _ d_ 2021222)(； 图形 plot(2_-_2)(1/2), _=0.2,color=1); 解：22_ a_ y -=22cos

20、cos 2sin r ar r -=cos 2a r =, 于是 4204420cos 20343cos 4a a dr r d I a =.(2)+103221_ _ dy y _ d_ ； 图形 plot(3(1/2)_,_, _=0.1,color=1); 解：1=_ 1cos =r sec =r ,于是2132lnsec 3434sec 0+=d dr d I .(3)-+a a _ a a _ dy y _ d_ dy y _ d_ 230222303302222.图形plot(3(1/2)_/3, (1-_2)(1/2),_=0.1,y=0.0.5,color=1); 解：1=_

21、1cos =r sec =r ,于是36036002a d a dr r d I a =.12、利用极坐标计算下列各题：.(1)-Dd y _ R 222,其中D 为圆域R_ y _ +22(0R )； 图形 plot(_-_2)(1/2),-(_-_2)(1/2),_=0.1,color=1); 解：R_ y _ =+22cos 2Rr r =cos R r =,于是)34(31322cos 022-=-=-R rdr r R d I R .(2)+Dd y _ )1ln(22,其中D 为圆122=+y _ 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； 图形 plot(1-_2)(1/2),_=0

22、.1,color=1); 解：)12ln 2(4)1ln(20212-=+=rdr r d I .(3)D d _y arctan,其中D 为圆周122=+y _ ,422=+y _ 及直线_ y y =,0所围成的在第一象限内的闭区域.图形 plot(1-_2)(1/2),-(1-_2)(1/2), (4-_2)(1/2),-(4-_2)(1/2),_,_=-2.2,y=0.2(1/2),color=1); 解：240402164323=d rdr d I .13、选择适当的坐标计算下列各题： (1)D d y_ 22,其中D 是直线_ y _ =,2及曲线1=_y 所围成的闭区域； 图形

23、plot(_,1/_,2,1/2,2,2,_=0.2,y=0.2,color=1); 解：49)(21321122=-=d_ _ _ dy y _ d_ I _ _ .(2)+Dd y _ 22sin,其中D 是圆环形区域22224+y _ ；图形 plot(1-_2)(1/2),-(1-_2)(1/2),(4-_2)(1/2),-(4-_2)(1/2), _=-2.2,color=1); 解：22026sin -=rdr r d I .(3)+Dd y _ )(22,其中D 是由直线a y a y a _ y _ y 3,=+=(0a )所围成的闭区域； 图形plot(0,1,1,1,3,3

24、,2,3,0,1,_=0.3,y=0.3,color=1); 解：4332232214)32(a d_ a y a ay d_ y _ dy I aaaayay =+-=+=-.(4)-Dd y _ |1|22,其中D 为圆域422+y _ .图形 plot(1-_2)(1/2),-(1-_2)(1/2),(4-_2)(1/2),-(4-_2)(1/2), _=-2.2,color=1); 解：5292)11(2021220102=+=-+-=rdr r d rdr r d I .14、计算以_Oy 面上的圆周a_ y _ =+22围成的闭区域为底,而以曲面22y _ z +=为顶的曲顶柱体的

25、体积.图形 plot(_-_2)(1/2),-(_-_2)(1/2),_=0.1,color=1); 解：a_ y _ =+22cos 2ar r =cos a r =,于是4224422cos 0322323cos 4)(a d a dr r d d y _ V a D=+=-.15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深.为215r +米,试求该水池的蓄水量.图形 plot(_-_2)(1/2),-(_-_2)(1/2),_=0.1,color=1); 解：29.16)13ln 2(ln 51520502=+=+=rdr r d V (米3).16、讨论并计算

26、下列广义二重积分： (1)Dq p y _ d ,其中1,1|),(=_ _y y _ D ； 解：)(1(p q q d_ _ q dy y _ d_ I q p q p q _q p -=-=-+-+.即当1q p 时,广义二重积分收敛,且)(1(1q p q I -=.(2)+Dp y _ d )(22,其中1|),(22+=y _ y _ D ； 解：220212-=-+-p dr r d I p p .即当1p 时,广义二重积分收敛,且1-=p I .单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。.第 18 页 共 18 页