数学物理方法期末复习提纲.ppt

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1、1试卷题型：试卷题型：一、填空题（每小题一、填空题（每小题2分，共分，共12分）分）二、单项选择题（每小题二、单项选择题（每小题3分，共分，共12分）分）三、名词解释（每小题三、名词解释（每小题4分，共分，共8分）分）四、证明题（每小题四、证明题（每小题8分，共分，共32分）分）五、计算题（每小题五、计算题（每小题12分，共分，共36分）分）试卷类型：开卷试卷类型：开卷2教教 材材：梁昆淼编写的梁昆淼编写的数学物理方法数学物理方法第四版第四版 内内 容容第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程数数 学学 物物 理理 方方 法法3第一章第一章 复变函数复变函数1

2、1、复数的定义、复数的定义一、复数一、复数实部实部：虚部虚部：模模：辐角辐角：主辐角：主辐角：共轭复数共轭复数:三角式三角式指数式指数式代数式代数式*复数三种表示式之间的转换复数三种表示式之间的转换 42、复数的运算、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法、加法和减法(2)、乘法和除法、乘法和除法 5(2)、乘法和除法、乘法和除法 两复数相除就是把模数相除两复数相除就是把模数相除,辐角相减。辐角相减。两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加辐角相加;6(3)复数的乘方和复数的乘方和开方开方或或(n为正整数的情况为正整数的情况)复数的

3、乘、除、乘方和开方运算，采用三角式复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便或指数式往往比代数式来得方便。棣莫弗公式棣莫弗公式：7二、六种初等复变函数二、六种初等复变函数：1.幂函数幂函数2.指数函数指数函数 周期为周期为2i，3.3.三角函数三角函数周期为周期为2 84、双曲函数、双曲函数 5、根式函数、根式函数 周期为周期为2i6、对数函数、对数函数 9例例1：已知已知 ，则，则 。例例2：复数：复数ez 的模为的模为 ，辐角为，辐角为 .10三、解析函数三、解析函数1 1、柯西、柯西-黎曼方程黎曼方程 直角坐标系：直角坐标系：极坐标系：极坐标系：2 2、解析函数

4、性质：、解析函数性质：(1)、若、若 是解析函数，则是解析函数，则 。(2)、若函数、若函数 在区域在区域 B上解析，则上解析，则 u和和v必为必为B上的上的相互共轭调和函数相互共轭调和函数。113 3、构建解析函数：、构建解析函数：给出一个二元调和函数作为解析函数的实部给出一个二元调和函数作为解析函数的实部或虚部，通过或虚部，通过CR条件求出该解析函数的虚部或条件求出该解析函数的虚部或实部，从而写出这个解析函数。实部，从而写出这个解析函数。算偏导算偏导 u或或v 的全微分的全微分 求积分求积分 表成表成 12例例 3 3：已知解析函数：已知解析函数 的实部的实部 ，求虚部和这个解析函数。求虚

5、部和这个解析函数。根据根据C-R条件条件，解：解：1314 例例4：已知解析函数：已知解析函数 f(z)的虚部的虚部 ，求实部求实部 和这个解析函数和这个解析函数 f(z)。解：解：提示：提示：当给定的当给定的 u 或或 v 中含有因子中含有因子x2+y2，这种情，这种情况下采用极坐标处理比较方便况下采用极坐标处理比较方便，即令即令 。1516将上面第二式对将上面第二式对 积分，积分，视作参数，有视作参数，有 其中其中 为为 的任意函数。的任意函数。将上式两边对将上式两边对 求导，求导，1718第二章第二章 复变函数积分复变函数积分一、复变函数积分的性质：一、复变函数积分的性质：P23 二、计

6、算复变函数回路积分二、计算复变函数回路积分 1、单通区域柯西定理：、单通区域柯西定理：P242、复通区域柯西定理：、复通区域柯西定理：P253 3、重要公式应用（、重要公式应用（P28P28）194 4、柯西公式、柯西公式 高阶导数的柯西公式高阶导数的柯西公式20 当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积分，可利用柯西公式来计算分，可利用柯西公式来计算,(1)(1)把被积函数写成把被积函数写成 的形式，的形式，f(z)在积在积分区域上解析分区域上解析,为积分区域内一点；为积分区域内一点；(2)(2)利用柯西公式利用柯西公式 来计算积分来计算积分.212yxo

7、122例2下列积分不为零的是()。C23第三章第三章 幂级数展开幂级数展开一、收敛半径一、收敛半径 方法方法1：比值判别法：比值判别法方法方法2：根值判别法：根值判别法收敛圆：收敛圆：收敛域：收敛域：24例例1求幂级数求幂级数 的收敛圆的收敛圆.解解收敛圆收敛圆:25解解:例例2幂级数幂级数 的收敛域。的收敛域。收敛域收敛域:26二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数成幂级数 根根据据解解析析函函数数泰泰勒勒级级数数和和洛洛朗朗级级数数展展开开的的唯唯一一性性，一一般般可可利利用用熟熟知知的的泰泰勒勒展展开开式式，通通过过变变量量变变换换，

8、结结合合级级数数的的四四则则运运算算、逐逐项项求求导导和和积积分分、分解成最简分式等分解成最简分式等方法去展开方法去展开。间接展开法：间接展开法：27常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式:28解：解：29解：解：30奇点名称奇点名称可去奇点可去奇点极点极点本性奇点本性奇点不含负幂项不含负幂项含无限个负幂项含无限个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项的洛朗级数的洛朗级数极限性质极限性质三、有限远孤立奇点分类及其类型判定三、有限远孤立奇点分类及其类型判定31极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。几个名词的定义：几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可

9、去奇点，孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点，m阶极点，本性奇点阶极点，本性奇点32 设函数设函数 f(z)在回路在回路 l 所围区域所围区域 B上除有限个孤上除有限个孤立奇点立奇点b1，b2，bn外解析，在闭区域外解析，在闭区域 上除上除b b1 1，b2，bn外连续，则外连续，则f(z)沿沿l正向积分正向积分 之值之值等于等于f(z)在在l所围区域内各奇点的留数和的所围区域内各奇点的留数和的2 2 i倍倍.左边的积分是沿左边的积分是沿l 的正向进行的；的正向进行的；注意注意:右边的奇点是指右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。所有的奇点。第四章第四章 留数

10、定理留数定理 一、留数定理：一、留数定理：P52P5233二、计算留数二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式各孤立奇点留数的计算公式奇点类型奇点类型可去奇点可去奇点0m阶极点阶极点一一阶阶极极点点普遍公式普遍公式本性奇点本性奇点34 极点阶数判定极点阶数判定 法一法一把极点阶数估计得过高把极点阶数估计得过高n就是极点的阶数就是极点的阶数把极点阶数估计得过低把极点阶数估计得过低(nm)(n=m)(nm)法二法二零点和极点的关系零点和极点的关系 若若z=z0是是 f(z)的的m阶零点，则阶零点，则z=z0 0必是必是 的的m阶极点。阶极点。35三、留数定理的应用三、留数定理的应用 1、计算闭合回路

11、积分；、计算闭合回路积分；例例1 1解：，其奇点为：z1=4,z2=2,z3=1 只有单极点z2=2,z3=1 在积分回路内。36类型一：类型一：类型二：类型二：2、计算三种类型实变函数定积分；、计算三种类型实变函数定积分；类型三：类型三：37解：解：38且其留数为且其留数为 只有单极点只有单极点 在圆在圆 内，内，39解：解：所以所以 明显，只有明显，只有 在上半平面，且为在上半平面，且为 f(z)的一阶极点，因此的一阶极点，因此4041解：解：有两个二阶极点有两个二阶极点 ，其中其中 在上半平面，在上半平面，P61 例例742第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换 一、傅里叶级数一、傅里叶级数

12、1 1、周期函数、周期函数(T=2l)的傅里叶展开的傅里叶展开 一般周期函数：一般周期函数：(5.1.3)、(5.1.5)；P88 奇函数：奇函数：(5.1.8)、(5.1.9)；P90 偶函数：偶函数：(5.1.10)、(5.1.11)；P90 傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数傅里叶级数傅里叶级数432 2、定义在、定义在有限区间有限区间(0,(0,l)上的函数的傅里叶展开上的函数的傅里叶展开 对函数对函数f(x)的边界的边界（区间的端点区间的端点x=0,x=l）上的行为提出上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。限制，即满足一定的边界条件，这

13、常常就决定了如何延拓。(1)、边界条件为边界条件为f(0)=0,(0)=0,f(l)=0)=0 应延拓成以应延拓成以2 2l为周期的奇函数为周期的奇函数(奇延拓奇延拓)(2)、边界条件为边界条件为应应延拓成以延拓成以2l为为周期的偶函数周期的偶函数(偶延拓偶延拓)44(3)、边界条件为边界条件为根据边界条件根据边界条件f(0)=0应将函数应将函数f(x)对区间对区间(0,l)的端点的端点x=0作奇延拓。作奇延拓。又根据边界条件又根据边界条件 ，应将函数，应将函数 f(x)对区间对区间(0,(0,l)的端点的端点x=l作偶延拓，作偶延拓，然后以然后以4l为周期向整为周期向整个实轴延拓，延拓以后的

14、函数是个实轴延拓，延拓以后的函数是以以4l为为周期的奇函数周期的奇函数。45(4)、边界条件为边界条件为 又根据边界条件又根据边界条件f(l)=0 ，应将函数，应将函数f(x)对区间对区间(0,(0,l)的端点的端点x=l作奇延拓，作奇延拓，然后以然后以4l为周期向整为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是个实轴延拓，延拓以后的函数是以以4l为为周期的偶函数周期的偶函数。根据边界条件根据边界条件 应将函数应将函数f(x)对区间对区间(0,l)的端点的端点x=0作偶延拓。作偶延拓。46实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换:其中其中 复数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶积

15、分:二、傅里叶积分二、傅里叶积分 f(x)非周期函数非周期函数 x(-,)可以写成对称的形式可以写成对称的形式:47三、三、函数函数1、函数函数定义定义2、函数函数性质性质挑选性：挑选性：3、函数函数的傅里叶积分的傅里叶积分满足下面两个条件满足下面两个条件:的函数的函数(x-x0)称为称为 函数函数。(1)(2)48定解问题定解问题泛定方程泛定方程定解条件定解条件初始条件初始条件:说明物理现象初始状态的条件说明物理现象初始状态的条件 边界条件边界条件:说明边界上的约束情况的条件说明边界上的约束情况的条件 波动方程波动方程输运方程输运方程稳定场方程稳定场方程第七章第七章 数学物理定解问题数学物理

16、定解问题 衔接条件衔接条件49杆或弦的振动：杆或弦的振动：表示初始的位移表示初始的位移表示初始的速度表示初始的速度初始条件：初始条件：给出某一初始时刻给出某一初始时刻整个系统整个系统的已知状态。的已知状态。在在热传导现象热传导现象中，初始条件就是给出初始时刻中，初始条件就是给出初始时刻系统中每点的系统中每点的温度温度u之值。之值。其中其中T(r)是已知函数。是已知函数。50如：如：不需要初始条件不需要初始条件 一般地说，一般地说，初始条件的个数等于初始条件的个数等于数理方程所含有数理方程所含有的的对时间最高阶偏导数的阶数对时间最高阶偏导数的阶数。51(1)(1)、杆或弦两端固定、杆或弦两端固定

17、 常见的边界条件：常见的边界条件：边界条件：边界条件：给出系统的边界在给出系统的边界在各个时刻各个时刻的已知状态。的已知状态。三类线性边界条件：三类线性边界条件：P123(1)(1)、第一类边界条件：、第一类边界条件：(2)(2)、第二类边界条件：、第二类边界条件：(3)(3)、第三类边界条件：、第三类边界条件：52(2)(2)、杆两端自由、杆两端自由(3)、杆的两端保持恒温、杆的两端保持恒温T(4)、两端绝热、两端绝热 0 x53(5)、两端有热流强度为、两端有热流强度为f(t)的热流流出的热流流出 0 xl f(t)f(t)在在x=0端端:在在x=l端端:同理得，两端有热流强度为同理得，两

18、端有热流强度为f(t)的热流的热流流入流入，则，则 54数学物理定解问题的适定性数学物理定解问题的适定性:(1)解的存在性解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解；(2)解的唯一性解的唯一性 看是否只有一个解(3)解的稳定性解的稳定性 当定解问题的自由项自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性定解问题的适定性.55解：弦仅在解：弦仅在x0处受策动力作用，故其定解问题为：处受策动力作用，故其定解问题为：例例1 1：长为：长为l的均匀弦，两端的均匀弦，两端x=0和和x=l固定，固定，在点在点x0(0 x0l)受受谐变力谐

19、变力F0sin t的作用的作用而作微小振动，试写出其定解问题。而作微小振动，试写出其定解问题。56解定解问题三步曲：解定解问题三步曲：（1 1）写出正确的定解问题；）写出正确的定解问题；（2 2）边界条件齐次化；）边界条件齐次化；（3 3）求解）求解傅氏级数法或分离变数法傅氏级数法或分离变数法.第八章第八章 分离变数法分离变数法 57分离变数法分离变数法 齐次的振动方程和输运方程齐次的振动方程和输运方程 齐次的边界条件齐次的边界条件 傅里叶级数法傅里叶级数法 齐次或非齐次的齐次或非齐次的振动方程和输运振动方程和输运方程方程 齐次的边界条件齐次的边界条件 58一、分离变数法解题步骤一、分离变数法

20、解题步骤(1)对齐次方程和齐次边界条件分离变量；对齐次方程和齐次边界条件分离变量；(2)解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；(3)求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得 到本征解。到本征解。(4)迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件 确定迭加系数，而最后得到所求定解问题的解。确定迭加系数，而最后得到所求定解问题的解。59例例1 1：用分离变数法求定解问题用分离变数法求定解问题先以分离变数形式的试探解先以分离变数形式的试探解 解：解：代入泛定方程代入泛定方程(1)

21、和边界条件和边界条件(2)，得，得(1)(2)(3)60 本征值问题本征值问题 本征值：本征值：本征函数：本征函数：其通解为其通解为 相应的本征解相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，(4)61一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，代入初始条件，代入初始条件，(4)62例例2 2：用分离变数法求定解问题用分离变数法求定解问题(1)(2)(3)先以分离变数形式的试探解先以分离变数形式的试探解 解：解：代入泛定方程代入泛定方程(1)和边界条件和边界条件(2)，得，得 63 本征值问题本征值问题 本征值：本征值：本征函数：本征函数：其通解为其

22、通解为 相应的本征解相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，64代入初始条件，代入初始条件，所求的定解问题的解为：所求的定解问题的解为：65 运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形式的傅里叶级数式的傅里叶级数，二、傅里叶级数法二、傅里叶级数法66三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：(1)、若是第一类非齐次边界条件、若是第一类非齐次边界条件 可设可设 可将可将w(x,t)的边界条件齐次化。的边界

23、条件齐次化。引入辅助函数引入辅助函数v(x,t)，令，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使使v(x,t)满足非齐次边界条件，可将函数满足非齐次边界条件，可将函数u(x,t)满足的非齐次满足的非齐次边界条件的定解问题边界条件的定解问题变换为函数变换为函数w(x,t)满足的齐次边满足的齐次边界条件的定解问题界条件的定解问题。67可设可设 可将可将w(x,t)的边界条件是齐次的，的边界条件是齐次的，(3)、若是第一、二类非齐次边界条件、若是第一、二类非齐次边界条件 或或可设可设 可将可将w(x,t)的边界条件齐次化。的边界条件齐次化。(2)、若是第二类非齐次边界条件、若是第二类非齐次边界条

24、件 68例例3、求定解问题、求定解问题 解：设令代入上式69由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设代入泛定方程，得70代入初始条件，所求的定解问题的解为：71例例4、求定解问题、求定解问题 解：设令代入上式72由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设代入泛定方程，得代入初始条件，定解问题的解为 731 1、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质(1)l阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题(自然边界条件自然边界条件)本征值问题本征值问题本征值本征值是是l(l+1)本征函数本征函数则是则是l阶勒让德多项式阶勒让德多项

25、式Pl(x)。第十章第十章 球函数球函数 74(2)勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 1)、正交性正交性 不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间(-1,1)上正交，上正交，2)2)、勒让德多项式的模、勒让德多项式的模 753)3)、勒让德多项式的全体构成完备组、勒让德多项式的全体构成完备组 如何将一个定义在如何将一个定义在x的区间的区间-1,1上的函数上的函数f(x)展开成展开成广义傅里叶级数广义傅里叶级数：一般公式：一般公式：展开系数展开系数 待定系数法待定系数法 仅适用于仅适用于f(x)是关于是关于x的次幂的多项式的次幂的多项式 76(3)勒让德多项式的母函数勒让德多项式

26、的母函数 母函数母函数 以半径为以半径为R的球代替单位球，则的球代替单位球，则 773、掌握掌握关于极轴对称关于极轴对称拉拉氏方程在球坐标系下的解：氏方程在球坐标系下的解：关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为 对球内轴对称问题对球内轴对称问题自然边界条件：自然边界条件：取取Bl=0，应排除应排除 ,78例例1、解：解：边界条件与边界条件与 无关，以球坐标的极轴为对称轴。无关，以球坐标的极轴为对称轴。此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故 代入边界条件代入边界条件 P231例例379左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系

27、数法将右左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右边函数边函数x2展开为广义的傅里叶级数，展开为广义的傅里叶级数，比较左右两端，得比较左右两端，得 80解得，解得，比较左右两边系数，得比较左右两边系数，得 81例例2、在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是电场强度是E0，球的半径是，球的半径是r0，相对介电常数是，相对介电常数是，试求，试求解介质球内外的电势解介质球内外的电势.解解:如图所示，建立坐标系，取球心为球坐标系的极点，通过如图所示，建立坐标系，取球心为球坐标系的极点，通过球心而平行于球心而平行于E0的直线为球坐标系的极轴。定解问题为：的直线为球坐标系的极轴。定解问题为：P233例例58283848586