03 概率与概率分布.pptx

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1、1 1第第第第三三三三节节节节 抽抽抽抽样样样样分分分分布布布布第第第第二二二二节节节节 随随随随机机机机变变变变量量量量及及及及其其其其概概概概率率率率分分分分布布布布第第第第一一一一节节节节 事事事事件件件件与与与与概概概概率率率率2 2一、事件一、事件一、事件一、事件、随机试验、随机试验、随机试验、随机试验、随机事件、随机事件、随机事件、随机事件、事件的关系和运算、事件的关系和运算、事件的关系和运算、事件的关系和运算二、二、二、二、概率概率概率概率、概率的古典定义、概率的古典定义、概率的古典定义、概率的古典定义、概率的统计定义、概率的统计定义、概率的统计定义、概率的统计定义、概率的性质、

2、概率的性质、概率的性质、概率的性质、概率的运算法则、概率的运算法则、概率的运算法则、概率的运算法则三三三三、小小小小概概概概率率率率事事事事件件件件实实实实际际际际不不不不可可可可能性原理能性原理能性原理能性原理第一节第一节第一节第一节 事件与概率事件与概率事件与概率事件与概率3 3现象现象现象现象:大体上分为两大类大体上分为两大类大体上分为两大类大体上分为两大类一一一一类类类类是是是是可可可可预预预预言言言言其其其其结结结结果果果果的的的的，即即即即在在在在保保保保持持持持条条条条件件件件不不不不变变变变的的的的情情情情况况况况下下下下，重重重重复复复复试试试试验验验验，其其其其结结结结果果

3、果果总总总总是是是是确确确确定定定定的的的的，必必必必然然然然发发发发生生生生或或或或不不不不发生。发生。发生。发生。这这这这类类类类现现现现象象象象称称称称为为为为必必必必然然然然现现现现象象象象或或或或确定性现象确定性现象确定性现象确定性现象。另另另另一一一一类类类类是是是是事事事事前前前前不不不不可可可可预预预预言言言言其其其其结结结结果果果果的的的的，即即即即在在在在保保保保持持持持条条条条件件件件不不不不变变变变的的的的情情情情况况况况下下下下，重重重重复复复复试试试试验验验验，其结果未必相同。其结果未必相同。其结果未必相同。其结果未必相同。这这这这类类类类试试试试验验验验结结结结果

4、果果果呈呈呈呈现现现现偶偶偶偶然然然然性性性性、不不不不确确确确定定定定性性性性的的的的现现现现象象象象，称称称称为为为为随随随随机现象机现象机现象机现象或或或或不确定性现象不确定性现象不确定性现象不确定性现象。一、事件一、事件一、事件一、事件4 4、随机试验、随机试验、随机试验、随机试验试试试试验验验验(trial)(trial)：根根根根据据据据某某某某一一一一研研研研究究究究目目目目的的的的，在在在在一一一一定定定定条条条条件件件件下下下下对现象所进行的观察。对现象所进行的观察。对现象所进行的观察。对现象所进行的观察。试试试试验验验验如如如如果果果果满满满满足足足足下下下下述述述述三三三

5、三个个个个特特特特性性性性，则则则则可可可可称称称称为为为为随随随随机机机机试试试试验验验验(random trial)(random trial)，简称，简称，简称，简称试验试验试验试验：试试试试验验验验可可可可以以以以在在在在相相相相同同同同条条条条件件件件下多次重复进行下多次重复进行下多次重复进行下多次重复进行每每每每次次次次试试试试验验验验的的的的可可可可能能能能结结结结果果果果不不不不止止止止一一一一个个个个，并并并并且且且且事事事事先先先先可可可可预预预预测测测测有有有有哪哪哪哪些些些些可可可可能能能能的的的的结果结果结果结果 试试试试验验验验结结结结束束束束之之之之前前前前，不不

6、不不能能能能确确确确定定定定该该该该次次次次试试试试验验验验的的的的确确确确切切切切结果结果结果结果5 5、随机事件、随机事件、随机事件、随机事件随随随随机机机机试试试试验验验验的的的的每每每每一一一一种种种种结结结结果果果果，在在在在一一一一定定定定条条条条件件件件下下下下可可可可能能能能发发发发生生生生，也也也也可可可可能能能能不不不不发发发发生生生生，称称称称 为为为为 随随随随 机机机机 事事事事 件件件件(random(random event)event)，简简简简 称称称称 事事事事 件件件件(event(event），通通通通常常常常用用用用A A、B B、C C 、等来表示。

7、等来表示。等来表示。等来表示。6!6!6!66!6!6!6!3!3!3!33!3!3!3!6 61.基本事件基本事件基本事件基本事件我我我我们们们们把把把把不不不不能能能能再再再再分分分分的的的的事事事事件件件件 称称称称 为为为为 基基基基 本本本本 事事事事 件件件件(elementary(elementary event)event)。用用用用小小小小写写写写字字字字母母母母a a、b b、x x、表表表表示。示。示。示。2.复合事件复合事件复合事件复合事件由由由由若若若若干干干干个个个个基基基基本本本本事事事事件件件件组组组组合合合合而而而而成成成成的的的的事事事事件件件件称称称称为为

8、为为复复复复合合合合事件事件事件事件(compound event)(compound event)。结果结果结果结果1 1：取得一个编号是：取得一个编号是：取得一个编号是：取得一个编号是1 1样品；样品；样品；样品；结果结果结果结果2 2：取得一个编号是：取得一个编号是：取得一个编号是：取得一个编号是2 2样品；样品；样品；样品；取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是取得一个编号是2 2的倍数的样品的倍数的样品的倍数的样品的倍数的样品(构构构构成：编号为成：编号为成：编号为成：编号为2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212、1414、1616共共共共8 8个基本事件组成个基本事

9、件组成个基本事件组成个基本事件组成)7 73.必然事件必然事件必然事件必然事件我我我我们们们们把把把把在在在在一一一一定定定定条条条条件件件件下下下下必必必必然然然然会会会会发发发发生生生生的的的的事事事事件件件件 称称称称 为为为为 必必必必 然然然然 事事事事 件件件件(certain(certain event)event)，用用用用表示。表示。表示。表示。4.不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件我我我我们们们们把把把把在在在在一一一一定定定定条条条条件件件件下下下下不不不不可可可可能能能能发发发发生生生生的的的的事事事事件件件件 称称称称 为为为为 不不不不 可可可可 能能能能 事

10、事事事 件件件件(impossible(impossible event)event)，用用用用 表示。表示。表示。表示。妈妈，我妈妈，我妈妈，我妈妈，我们从哪里们从哪里们从哪里们从哪里来得啊？来得啊？来得啊？来得啊？从从从从石石石石头头头头里里里里孵孵孵孵出出出出 来来来来 的的的的 啊啊啊啊!8 85 5、样本空间、样本空间、样本空间、样本空间 一一一一个个个个试试试试验验验验中中中中所所所所有有有有基基基基本本本本事事事事件件件件的的的的集集集集合合合合，也也也也叫叫叫叫全全全全集集集集，用用用用表示。表示。表示。表示。在在在在掷掷掷掷枚枚枚枚骰骰骰骰子子子子的的的的试试试试验验验验中中

11、中中，=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6在在在在投投投投掷掷掷掷硬硬硬硬币币币币的的的的试试试试验验验验中中中中，=正面，反面正面，反面正面，反面正面，反面 9 9、事件的关系和运算、事件的关系和运算、事件的关系和运算、事件的关系和运算1 1、事件的包含、事件的包含、事件的包含、事件的包含若若若若事事事事件件件件A A发发发发生生生生必必必必然然然然导导导导致致致致事事事事件件件件B B发发发发生生生生，则则则则称称称称事事事事件件件件B B包包包包含含含含事事事事件件件件A A，或或或或事事事事件件件件A A包包包包含含含含于于于于事事事事件件件件B B，记记记记作作作作或或或

12、或 A A B B或或或或 B B A A。2 2、事件的并或和、事件的并或和、事件的并或和、事件的并或和事事事事件件件件A A和和和和事事事事件件件件B B中中中中至至至至少少少少有有有有一一一一个个个个发发发发生生生生的的的的事事事事件件件件称称称称为为为为事事事事件件件件A A与与与与事事事事件件件件B B 的的的的并并并并集集集集。它它它它是是是是由由由由事事事事件件件件A A和和和和事事事事件件件件B B所所所所有有有有的的的的样样样样本本本本点点点点的的的的集集集集合合合合，记记记记为为为为A AB B或或或或A+BA+B。10103 3、事件的交集、事件的交集、事件的交集、事件的

13、交集事事事事件件件件A A与与与与事事事事件件件件B B同同同同时时时时发发发发生生生生的的的的事事事事件件件件称称称称为为为为事事事事件件件件A A与与与与事事事事件件件件B B的的的的交交交交集集集集。它它它它是是是是由由由由属属属属于于于于事事事事件件件件A A也也也也属属属属于于于于事事事事件件件件B B的的的的所所所所有有有有公公公公共共共共样样样样本本本本点点点点所所所所组组组组成成成成的的的的集合，记为集合，记为集合，记为集合，记为BABA或或或或ABAB。4 4、互斥事件、互斥事件、互斥事件、互斥事件事事事事件件件件A A与与与与事事事事件件件件B B中中中中，若若若若有有有有

14、一一一一个个个个发发发发生生生生，另另另另一一一一个个个个必必必必定定定定不不不不发发发发生生生生，则则则则称称称称事事事事件件件件A A与与与与事事事事件件件件B B是是是是互互互互斥斥斥斥的的的的，否否否否则则则则称两个事件是相容的。称两个事件是相容的。称两个事件是相容的。称两个事件是相容的。1111频频频频率率率率：样样样样本本本本的的的的实实实实际际际际发发发发生率。生率。生率。生率。设设设设在在在在相相相相同同同同条条条条件件件件下下下下，独独独独立立立立重重重重复复复复进进进进行行行行n n次次次次试试试试验验验验，事事事事件件件件A A出出出出现现现现f f 次次次次，则则则则事

15、事事事件件件件A A的频率为的频率为的频率为的频率为f f/n n。概率：概率：概率：概率：随随随随机机机机事事事事件件件件发发发发生生生生的的的的可可可可能能能能性性性性大大大大小小小小，用用用用大大大大写写写写的的的的P P 表示；取值表示；取值表示；取值表示；取值00，11。概率的定义有：概率的定义有：概率的定义有：概率的定义有：古典定义古典定义古典定义古典定义统计定义统计定义统计定义统计定义二、二、二、二、概率概率概率概率1212如如如如果果果果某某某某一一一一随随随随机机机机试试试试验验验验的的的的结结结结果果果果有有有有限限限限，而而而而且且且且各各各各个个个个结结结结果果果果在在

16、在在每每每每次次次次试试试试验验验验中中中中出出出出现现现现的的的的可可可可能能能能性性性性相相相相同同同同，则则则则事事事事件件件件A A发发发发生生生生的的的的概概概概率率率率为为为为该该该该事事事事件件件件所所所所包包包包含含含含的的的的基基基基本本本本事事事事件件件件个个个个数数数数 m m 与与与与样样样样本本本本空空空空间间间间中中中中所所所所包包包包含含含含的的的的基本事件个数基本事件个数基本事件个数基本事件个数 n n 的比值，记为的比值，记为的比值，记为的比值，记为、概率的古典定义、概率的古典定义、概率的古典定义、概率的古典定义1313【例例例例1 1】在在在在编编编编号号号

17、号为为为为1 1、2 2、3 3、1010的的的的十十十十头头头头猪猪猪猪中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取1 1头，求下列随机事件的概率。头，求下列随机事件的概率。头，求下列随机事件的概率。头，求下列随机事件的概率。A A=“=“抽得一个编号抽得一个编号抽得一个编号抽得一个编号4”4”；B B=“=“抽得一个编号是抽得一个编号是抽得一个编号是抽得一个编号是2 2的倍数的倍数的倍数的倍数”。解：解：该试验样本空间为该试验样本空间为该试验样本空间为该试验样本空间为 =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，即，即，即，即n n=10=10事事事事

18、件件件件A A包包包包含含含含抽抽抽抽得得得得编编编编号号号号为为为为1,2,3,41,2,3,4这这这这 样样样样 4 4个个个个 基基基基 本本本本事件，则事件，则事件，则事件，则mmA A=4=4，故，故，故，故事事事事件件件件B B包包包包含含含含抽抽抽抽得得得得编编编编号号号号为为为为2,4,6,8,102,4,6,8,10这这这这 样样样样 5 5个个个个 基基基基本事件，则本事件，则本事件，则本事件，则mmB B=5=5，故，故，故，故1414事事事事件件件件A A发发发发生生生生的的的的频频频频率率率率:m/n m/n。随随随随着着着着n n的的的的增增增增大大大大，该该该该频

19、频频频率率率率围围围围绕绕绕绕某某某某一一一一常常常常数数数数p p上上上上下下下下摆摆摆摆动动动动，且且且且趋趋趋趋向向向向于于于于稳稳稳稳定定定定，这这这这个个个个频频频频率率率率的的的的稳稳稳稳定定定定值值值值即即即即为为为为事事事事件件件件A A的概率，记为的概率，记为的概率，记为的概率，记为、概率的统计定义、概率的统计定义、概率的统计定义、概率的统计定义我是神射手我是神射手我是神射手我是神射手！百发百中！百发百中！百发百中！百发百中！比比比比如如如如：求求求求某某某某射射射射手手手手中中中中靶靶靶靶的的的的概概概概率率率率，若若若若他他他他射射射射击击击击n n发发发发，中中中中靶靶

20、靶靶mm发发发发，当当当当n n很很很很大大大大时时时时，可可可可用用用用频频频频率率率率mm/n n作为他中靶概率的估计。作为他中靶概率的估计。作为他中靶概率的估计。作为他中靶概率的估计。15151 1、样本频率总是围绕概、样本频率总是围绕概、样本频率总是围绕概、样本频率总是围绕概率上下波动率上下波动率上下波动率上下波动 (理论值理论值理论值理论值VSVS实际值实际值实际值实际值)2 2、样样样样本本本本含含含含量量量量n n越越越越大大大大，波波波波动动动动幅幅幅幅度度度度越越越越小小小小，频频频频率率率率越越越越接近概率。接近概率。接近概率。接近概率。频率与概率间的关系频率与概率间的关系

21、频率与概率间的关系频率与概率间的关系正面正面正面正面反面反面反面反面16161.对对对对于于于于任任任任何何何何事事事事件件件件A A，有有有有00P P（A A）112.必必必必然然然然事事事事件件件件的的的的概概概概率率率率为为为为1 1，即，即，即，即P P（）=1=13.不不不不可可可可能能能能事事事事件件件件的的的的概概概概率率率率为为为为0 0，即，即，即，即P P（）=0=0、概率的性质、概率的性质、概率的性质、概率的性质17171 1、概率的加法法则、概率的加法法则、概率的加法法则、概率的加法法则法则一法则一法则一法则一两两两两个个个个互互互互斥斥斥斥事事事事件件件件之之之之和

22、和和和的的的的概概概概率率率率，等等等等于于于于两两两两个个个个事事事事件件件件概概概概率率率率之之之之和和和和。设设设设A A和和和和B B为两个互斥事件，则为两个互斥事件，则为两个互斥事件，则为两个互斥事件，则P P(A AB B)=)=P P(A A)+)+P P(B B)事件事件事件事件A A1 1，A A2 2，A An n两两互斥，则有两两互斥，则有两两互斥，则有两两互斥，则有P P(A A1 1A A2 2 A An n)=)=P P(A A1 1 )+)+P P(A A2 2 )+)+P P(A An n )法则二法则二法则二法则二 对对对对任任任任意意意意两两两两个个个个随随

23、随随机机机机事事事事件件件件A A和和和和B B，它它它它们们们们并并并并集集集集的的的的概概概概率率率率为为为为两两两两个个个个事件概率的和减去两个事件交集的概率，即事件概率的和减去两个事件交集的概率，即事件概率的和减去两个事件交集的概率，即事件概率的和减去两个事件交集的概率，即P(AP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB)、概率的运算法则、概率的运算法则、概率的运算法则、概率的运算法则18182 2、条件概率、条件概率、条件概率、条件概率在在在在事事事事件件件件B B已已已已经经经经发发发发生生生生的的的的条条条条件件件件下下下下，求求求求事事事事件件

24、件件A A发发发发生生生生的的的的概概概概率率率率，称称称称这这这这种种种种概概概概率率率率为为为为事事事事件件件件B B发发发发生生生生条条条条件件件件下下下下事事事事件件件件A A发发发发生生生生的条件概率，记为的条件概率，记为的条件概率，记为的条件概率，记为 1919条件概率的图示条件概率的图示2020【例例例例2 2】施施施施用用用用两两两两种种种种不不不不同同同同药药药药物物物物杀杀杀杀灭灭灭灭螟螟螟螟虫虫虫虫，结结结结果果果果如如如如下下下下表：表：表：表：现计算以下各概率：现计算以下各概率：现计算以下各概率：现计算以下各概率：从从从从200200只只只只虫虫虫虫中中中中任任任任取

25、取取取一一一一只只只只，这这这这只只只只是是是是死死死死虫虫虫虫的的的的概概概概率率率率 P(A)P(A)160/200=0.80160/200=0.80从从从从200200只只只只虫虫虫虫中中中中，任任任任取取取取一一一一只只只只，这这这这只只只只接接接接受受受受了了了了甲甲甲甲药药药药物的概率物的概率物的概率物的概率P(B)=120/200=0.60P(B)=120/200=0.60接接接接受受受受甲甲甲甲药药药药物物物物且且且且死死死死亡亡亡亡的的的的概率概率概率概率P(AB)=96/200=0.48P(AB)=96/200=0.48死死死死亡亡亡亡者者者者中中中中，接接接接受受受受甲甲

26、甲甲药药药药物的条件概率物的条件概率物的条件概率物的条件概率P(B|A)=P(AB)/P(A)P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.48/0.80=0.48/0.80=0.60=0.6021213 3、概率的乘法公式、概率的乘法公式、概率的乘法公式、概率的乘法公式用用用用来来来来计计计计算算算算两两两两事事事事件件件件交交交交集集集集的概率的概率的概率的概率以条件概率为基础以条件概率为基础以条件概率为基础以条件概率为基础设设设设A A、B B为为为为两两两两个个个个事事事事件件件件，若若若若P P(B B)0)0，则，则，则，则P P(ABAB)=)=P P(B B)P P(A A|B B)

27、或或或或P P(ABAB)=)=P P(A A)P P(B B|A A)医生，我医生，我的病重吗的病重吗？你的病很重，十个人你的病很重，十个人中只有一个能救活。中只有一个能救活。但你是幸运的，因为但你是幸运的，因为你找到了我，我已经你找到了我，我已经看过九个死于此病的看过九个死于此病的病人了病人了，22224 4、独立事件、独立事件、独立事件、独立事件一一一一个个个个事事事事件件件件的的的的发发发发生生生生与与与与否否否否并并并并不不不不影影影影响响响响另另另另一一一一个个个个事事事事件件件件发发发发生生生生的的的的概概概概率率率率，则则则则称称称称两两两两个事件独立个事件独立个事件独立个事件

28、独立若事件若事件若事件若事件A A与与与与B B独立，则独立，则独立，则独立，则P P(B B|A A)=)=P P(B B)P P(A A|B B)=)=P P(A A)此时概率的乘法公式可此时概率的乘法公式可此时概率的乘法公式可此时概率的乘法公式可简化为简化为简化为简化为P P(ABAB)=)=P P()P()P(B B)推广到推广到推广到推广到n n个独立事件，个独立事件，个独立事件，个独立事件，有有有有P P(A A1 1 A A2 2 A An n)=P P(A A1 1)P P(A A2 2)P P(A An n)23235 5、贝叶斯定理（、贝叶斯定理（、贝叶斯定理（、贝叶斯定理

29、（Bayes theoremBayes theorem）贝贝贝贝叶叶叶叶斯斯斯斯公公公公式式式式是是是是建建建建立立立立在在在在条条条条件件件件概概概概率率率率的的的的基基基基础础础础上上上上寻寻寻寻找找找找事事事事件件件件发发发发生的原因生的原因生的原因生的原因设设设设n n个个个个事事事事件件件件A A1 1，A A2 2，A An n两两两两两两两两互互互互斥斥斥斥，A A1 1+A A2 2+A An n=(满满满满足足足足这这这这两两两两个个个个条条条条件件件件的的的的事事事事件件件件组组组组称称称称为为为为一一一一个个个个完完完完备备备备事事事事件件件件组组组组)，且，且，且，且P

30、 P(A Ai i)0()0(i i=1,2,=1,2,n n)，则，则，则，则2424【例例例例3 3】假假假假定定定定在在在在中中中中年年年年男男男男性性性性人人人人群群群群中中中中，肥肥肥肥胖胖胖胖者者者者占占占占2020，标标标标准准准准体体体体重重重重的的的的占占占占50%50%，低低低低体体体体重重重重的的的的占占占占3030。这这这这3 3类类类类人人人人群群群群中中中中，出出出出现现现现动动动动脉脉脉脉硬硬硬硬化化化化的的的的概概概概率率率率分分分分别别别别为为为为30%30%，10%10%和和和和1%1%。从从从从这这这这个个个个假假假假设设设设的的的的中中中中年年年年男男男

31、男性性性性群群群群体体体体中中中中，随随随随机机机机抽抽抽抽出出出出一一一一人人人人，他他他他恰恰恰恰恰恰恰恰是是是是动动动动脉脉脉脉硬硬硬硬化化化化的的的的患患患患者者者者。问问问问这这这这个个个个人人人人从从从从肥肥肥肥胖胖胖胖组组组组，标标标标准准准准体体体体重重重重和和和和低低低低体体体体重重重重组组组组中中中中抽抽抽抽取的概率各是多少？取的概率各是多少？取的概率各是多少？取的概率各是多少？2525解：解：解：解：用用用用B B表表表表示示示示抽抽抽抽到到到到动动动动脉脉脉脉硬硬硬硬化患者的事件。化患者的事件。化患者的事件。化患者的事件。用用用用A A1 1表表表表示示示示抽抽抽抽到到

32、到到肥肥肥肥胖胖胖胖者者者者的事件。的事件。的事件。的事件。用用用用A A2 2表表表表示示示示抽抽抽抽到到到到标标标标准准准准体体体体重者的事件。重者的事件。重者的事件。重者的事件。用用用用A A3 3表表表表示示示示抽抽抽抽到到到到低低低低体体体体重重重重者的事件。者的事件。者的事件。者的事件。则：则：则：则：P P（A A1 1）=0.20=0.20P P（A A2 2）=0.50=0.50P P（A A3 3）=0.30=0.30P P（B|AB|A1 1）=0.30=0.30P P（B|AB|A2 2）=0.10=0.10P P（B|AB|A3 3）=0.01=0.01代入贝叶斯公式

33、得：代入贝叶斯公式得：代入贝叶斯公式得：代入贝叶斯公式得：P P（A A1 1|B|B）=60/113=60/113P P（A A2 2|B|B）=50/113=50/113P P（A A3 3|B|B）=3/113=3/1132626三三三三、小概率事件实际不可能性原理、小概率事件实际不可能性原理、小概率事件实际不可能性原理、小概率事件实际不可能性原理概概概概率率率率P P 0.050.05（5 5）或或或或P P 0.010.01（1 1）的的的的随随随随机事件称为机事件称为机事件称为机事件称为小概率事件小概率事件小概率事件小概率事件。在在在在统统统统计计计计学学学学上上上上，把把把把小小

34、小小概概概概率率率率事事事事件件件件看看看看成成成成是是是是在在在在一一一一次次次次试试试试验验验验中中中中实实实实际际际际不不不不可可可可能能能能发发发发生生生生的的的的事事事事件件件件，称称称称为为为为小小小小概概概概率率率率事事事事件件件件实实实实际际际际不不不不可可可可能能能能性性性性原原原原理理理理，简简简简称称称称为为为为小小小小概概概概率率率率原理原理原理原理。小小小小概概概概率率率率事事事事件件件件实实实实际际际际不不不不可可可可能能能能性性性性原原原原理理理理在在在在统统统统计计计计学学学学上上上上是是是是进进进进行行行行假假假假设设设设检检检检验验验验（显显显显著著著著性性

35、性性检检检检验验验验）的的的的基基基基本本本本依依依依据。据。据。据。2727第第第第二二二二节节节节 随随随随机机机机变变变变量量量量及及及及其其其其概概概概率率率率分分分分布布布布2828一一一一次次次次试试试试验验验验结结结结果果果果的的的的数数数数值值值值性性性性描描描描述述述述：常常常常用用用用X X、Y Y、Z Z 表示表示表示表示根根根根据据据据取取取取值值值值情情情情况况况况的的的的不不不不同同同同分为：分为：分为：分为：离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例如例如例如例如：每每每每次次次次抛抛抛抛2

36、2个个个个硬硬硬硬币币币币，记记记记录录录录正正正正、反反反反面面面面结结结结果果果果；结结结结果果果果可记录为：可记录为：可记录为：可记录为：正正正正面面面面数数数数就就就就是是是是一一一一个个个个随随随随机变量，取值为：机变量，取值为：机变量，取值为：机变量，取值为：0,1,20,1,2。一、随机变量一、随机变量一、随机变量一、随机变量2929、离散型随机变量、离散型随机变量、离散型随机变量、离散型随机变量随随随随机机机机变变变变量量量量X X取取取取有有有有限限限限个个个个值值值值，且且且且可可可可以以以以逐逐逐逐个个个个列列列列举举举举 X X1 1,X X2 2所有取值是不连续的所有

37、取值是不连续的所有取值是不连续的所有取值是不连续的3030随随随随机机机机变变变变量量量量X X取取取取无无无无限限限限个个个个值值值值取取取取值值值值可可可可以以以以是是是是某某某某一一一一区区区区间间间间内的任意点内的任意点内的任意点内的任意点、连续型随机变量、连续型随机变量、连续型随机变量、连续型随机变量3131描描描描述述述述随随随随机机机机变变变变量量量量x xi i所所所所对对对对应应应应概概概概率率率率P P(X=xX=xi i)的的的的表表表表格格格格、公式或图形。公式或图形。公式或图形。公式或图形。离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量概概概概率分布率分布率

38、分布率分布连连连连续续续续型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量概概概概率分布率分布率分布率分布二、概率分布（二、概率分布（二、概率分布（二、概率分布（probability distributionprobability distribution）3232、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布列列列列出出出出所所所所有有有有可可可可能能能能的的的的离离离离散散散散型随机变量型随机变量型随机变量型随机变量X X的取值的取值的取值的取值列列列列出出出出所所所所有有有有随随随随机机机机变变变变量量量量的的的的概率概率概率概率通通通

39、通常常常常用用用用下下下下面面面面的的的的表表表表格格格格来来来来表示表示表示表示P P(X X=x xi i)=)=p p(x xi i)称称称称 为为为为 离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量的的的的概概概概率率率率函数函数函数函数p p(x xi i)0 0 3333数学期望数学期望数学期望数学期望x xi i与与与与 其其其其 取取取取 相相相相 对对对对 应应应应 的的的的 概概概概 率率率率p p(x xi i)乘积之和乘积之和乘积之和乘积之和描描描描述述述述离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量取取取取值值值值的集中程度的集中程度的集中程度的

40、集中程度公式：公式：公式：公式：方差方差方差方差随随随随机机机机变变变变量量量量X X与与与与期期期期望望望望值值值值的的的的离离离离差差差差平平平平方方方方和和和和的的的的数数数数学学学学期期期期望望望望，记记记记为为为为D D(X X)描描描描述述述述离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量取取取取值值值值的分散程度的分散程度的分散程度的分散程度公式公式公式公式D D(X X)=)=E E X X E E(X X)2 2若若若若是是是是离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量，则则则则1 1 1 1、离散型随机变量的数学期望和方差、离散型随机变量的数学期望和

41、方差、离散型随机变量的数学期望和方差、离散型随机变量的数学期望和方差3434【例例例例4 4】投投投投掷掷掷掷一一一一枚枚枚枚骰骰骰骰子子子子，出出出出现现现现的的的的点点点点数数数数是是是是个个个个离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变变变变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差。量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差。量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差。量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差。解：解：解：解：数学期望为：数学期望为：数学期望为：数学期望为：方差为：方差为：方差为：方差为：35352 2、几种常见的离散型随机变量的概率分布、几种常见的离散型随机变量的概率分布、

42、几种常见的离散型随机变量的概率分布、几种常见的离散型随机变量的概率分布3636二二二二项项项项分分分分布布布布与与与与贝贝贝贝努努努努里里里里试试试试验验验验有有有有关关关关，具具具具有有有有如如如如下下下下属属属属性：性：性：性：试试试试验验验验包包包包含含含含了了了了n n 个个个个相相相相同同同同的试验的试验的试验的试验每每每每次次次次试试试试验验验验只只只只有有有有两两两两个个个个可可可可能能能能结结结结果果果果：“成成成成功功功功”和和和和“失败失败失败失败”每每每每次次次次试试试试验验验验出出出出现现现现“成成成成功功功功”的的的的概概概概率率率率p p是是是是相相相相同同同同的的

43、的的；“失失失失败败败败”的的的的概概概概率率率率 q q 也也也也相相相相同同同同，且且且且 p p+q q=1=1试验是试验是试验是试验是相互独立相互独立相互独立相互独立的的的的试试试试验验验验“成成成成功功功功”或或或或“失败失败失败失败”可以计数可以计数可以计数可以计数、二项分布（贝努里试验）、二项分布（贝努里试验）、二项分布（贝努里试验）、二项分布（贝努里试验）3737设设设设随随随随机机机机变变变变量量量量X X所所所所有有有有可可可可取取取取的的的的值值值值为为为为零零零零和和和和正正正正整整整整数数数数：0,1,2,0,1,2,，n n，那么：，那么：，那么：，那么：其其其其中

44、中中中p p0 0，q q0 0，p p +q q =1 1，则则则则称称称称随随随随机机机机变变变变量量量量 X X 服服服服从从从从参参参参数数数数为为为为 n n 和和和和 p p 的的的的二二二二项项项项分分分分布布布布 (binomial binomial distribution distribution)，记记记记为为为为 x B x B(n,p n,p)。“成功成功成功成功”次数的概率分布次数的概率分布次数的概率分布次数的概率分布二项分布二项分布二项分布二项分布3838显然，显然，显然，显然，对于对于对于对于P P X X=k k 0 0，k k=1,2,=1,2,n n，有，

45、有，有，有 数学期望：数学期望：数学期望：数学期望：E E(X X)npnp方差：方差：方差：方差：D D(X X)npqnpq二项分布二项分布二项分布二项分布的性质的性质的性质的性质3939二项分布二项分布二项分布二项分布的正态近似的正态近似的正态近似的正态近似二项分布由二项分布由二项分布由二项分布由n n和和和和p p两个参数决定：两个参数决定：两个参数决定：两个参数决定：当当当当p p值值值值较较较较小小小小且且且且n n不不不不大大大大时时时时，分分分分布布布布是是是是偏偏偏偏倚倚倚倚的的的的。但但但但随随随随着着着着n n的的的的增增增增大大大大，分布逐渐分布逐渐分布逐渐分布逐渐趋于

46、对称趋于对称趋于对称趋于对称当当当当p p值值值值趋于趋于趋于趋于0.50.5 时，分布时，分布时，分布时，分布趋于对称趋于对称趋于对称趋于对称在在在在n n较大，较大，较大，较大，p p和和和和q q较接近时较接近时较接近时较接近时 ，二项分布接近于正态分布；，二项分布接近于正态分布；，二项分布接近于正态分布；，二项分布接近于正态分布；当当当当n n 时，二项分布的极限是正态分布。时，二项分布的极限是正态分布。时，二项分布的极限是正态分布。时，二项分布的极限是正态分布。4040【例例例例5 5】纯纯纯纯种种种种白白白白猪猪猪猪与与与与纯纯纯纯种种种种黑黑黑黑猪猪猪猪杂杂杂杂交交交交，根根根根

47、据据据据孟孟孟孟德德德德尔尔尔尔遗遗遗遗传传传传理理理理论论论论，子子子子二二二二代代代代中中中中白白白白猪猪猪猪与与与与黑黑黑黑猪猪猪猪的的的的比比比比率率率率为为为为3 3 1 1。计计计计算算算算产产产产仔仔仔仔1010头头头头，有有有有7 7头头头头白白白白猪的概率。猪的概率。猪的概率。猪的概率。解：解：解：解：n n=10=10p p=3=34=0.754=0.75q q=1=14=0.254=0.25设设设设1010头头头头仔仔仔仔猪猪猪猪中中中中白白白白色色色色的的的的为为为为X X头头头头，则则则则X X为为为为服服服服从从从从二二二二项项项项分分分分布布布布B B(10,(1

48、0,0.75)0.75)的的的的随随随随机机机机变变变变量量量量。于于于于是是是是窝窝窝窝产产产产1010头头头头仔仔仔仔猪猪猪猪中中中中有有有有7 7头头头头是是是是白白白白色色色色的的的的概概概概率率率率为：为：为：为：二项分布的概率计算二项分布的概率计算二项分布的概率计算二项分布的概率计算4141只只只只具具具具有有有有互互互互相相相相对对对对立立立立的的的的2 2种种种种结结结结果果果果：阳阳阳阳性性性性-阴阴阴阴性性性性，生生生生存存存存-死死死死亡亡亡亡等等等等，属属属属于于于于二二二二项项项项分类资料；分类资料；分类资料；分类资料；已已已已知知知知某某某某一一一一结结结结果果果果

49、的的的的概概概概率率率率为为为为p p，其其其其对对对对立立立立结结结结果果果果的的的的概概概概率率率率则则则则为为为为 1-1-p p。p p 是是是是从从从从大大大大量量量量观观观观察察察察中中中中获获获获得得得得的的的的比比比比较较较较稳定的理论数值稳定的理论数值稳定的理论数值稳定的理论数值；观观观观察察察察结结结结果果果果互互互互相相相相独独独独立立立立，即即即即每每每每个个个个观观观观察察察察单单单单位位位位的的的的结结结结果果果果不不不不会会会会影影影影响响响响到到到到其其其其它它它它观观观观察单位的观察结果。察单位的观察结果。察单位的观察结果。察单位的观察结果。二项分布的应用条件

50、二项分布的应用条件二项分布的应用条件二项分布的应用条件4242用用用用来来来来描描描描述述述述和和和和分分分分析析析析随随随随机机机机发发发发生生生生在在在在单单单单位位位位空空空空间间间间（时时时时间间间间）里里里里的的的的稀稀稀稀有有有有事事事事件件件件的的的的概概概概率率率率分分分分布，记为布，记为布，记为布，记为x x P P()。例如：例如：例如：例如：放放放放射射射射性性性性物物物物质质质质在在在在单单单单位位位位时时时时间间间间内的放射次数；内的放射次数；内的放射次数；内的放射次数；在在在在单单单单位位位位容容容容积积积积充充充充分分分分摇摇摇摇匀匀匀匀的的的的水中的细菌数；水中