2.3 可逆矩阵.ppt

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1、1第二章 矩阵2.3 可逆矩阵2.3 可逆矩阵可逆矩阵一、可逆矩阵概念的引入一、可逆矩阵概念的引入二、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的定义三、伴随矩阵三、伴随矩阵五、可逆矩阵的性质五、可逆矩阵的性质四、矩阵可逆的充要条件四、矩阵可逆的充要条件2第二章 矩阵2.3 可逆矩阵一、可逆矩阵概念的引入一、可逆矩阵概念的引入 在数的运算中，在数的运算中，当当 时，存在一个数时，存在一个数 b，其中，其中，称为称为 a 的的倒数倒数，或者称为或者称为 a 的的逆逆.在矩阵的运算中，单位阵在矩阵的运算中，单位阵 I 相当于数中的单位相当于数中的单位 1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 A，是否存在一个矩阵，是否存

2、在一个矩阵 B，而且，对矩阵而且，对矩阵 A 又有什么要求呢？又有什么要求呢？使得使得使得使得3第二章 矩阵2.3 可逆矩阵定义定义对于对于 n 阶阶方阵方阵 A，则称则称 B 为为 A 的的逆矩阵逆矩阵，否则称否则称 A 是是不可逆的不可逆的.二、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的定义并称并称 A 为为可逆矩阵可逆矩阵，或，或满秩矩阵满秩矩阵，或，或非奇异矩阵非奇异矩阵.若若 A 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是的逆矩阵是惟一惟一的。的。可得可得结论结论事实上，设矩阵事实上，设矩阵 B 和和 C 都是都是 A 的逆矩阵，的逆矩阵，如果存在如果存在 n 阶阶方阵方阵 B，使得使得记作记作

3、则有则有4第二章 矩阵2.3 可逆矩阵例例设设故故 B 是是 A 的逆矩阵。的逆矩阵。由于由于例例设设故故 A 不可逆。不可逆。则对任意的二阶矩阵则对任意的二阶矩阵 B，有有例例设设故故 A 不可逆。不可逆。有有则对任意的二阶矩阵则对任意的二阶矩阵 5第二章 矩阵2.3 可逆矩阵(2)利用伴随矩阵求逆矩阵；利用伴随矩阵求逆矩阵；(本节给出本节给出)(1)根据定义采用待定系数法求逆矩阵；根据定义采用待定系数法求逆矩阵；需要探讨的问题需要探讨的问题1.如何判定一个矩阵是否可逆？如何判定一个矩阵是否可逆？2.如何求逆矩阵？如何求逆矩阵？(3)利用初等变换求逆矩阵。利用初等变换求逆矩阵。(2.5 给出

4、给出)6第二章 矩阵2.3 可逆矩阵三、伴随矩阵三、伴随矩阵 称为称为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵.定义定义为为 中元素中元素 的代数余子式，的代数余子式，设设 n 阶矩阵阶矩阵则矩阵则矩阵7第二章 矩阵2.3 可逆矩阵三、伴随矩阵三、伴随矩阵特点特点同理有同理有即即8第二章 矩阵2.3 可逆矩阵方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是必要性必要性充分性充分性定理定理此时，此时，证明证明若若 A 可逆，可逆，则存在则存在 B 使得使得即得即得由此有由此有当当 时，时，由由 有有按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得 A 可逆，可逆，本定理还给出一种求逆矩阵的方法本定理还给出一种求逆矩阵的方法.注

5、注四、矩阵可逆的充要条件四、矩阵可逆的充要条件且且9第二章 矩阵2.3 可逆矩阵因此因此 A 不可逆不可逆.解解由于由于例例已知已知 求求故故 A 可逆，可逆，解解因因例例已知已知 求求10第二章 矩阵2.3 可逆矩阵故故 A 可逆，可逆，解解因因例例已知已知 求求注注对角矩阵的逆矩阵仍为对角矩阵。对角矩阵的逆矩阵仍为对角矩阵。且且11第二章 矩阵2.3 可逆矩阵故故 A 可逆，可逆，解解因因例例已知已知 求求注注上上(下下)三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵的逆矩阵仍为上(下下)三角矩阵。三角矩阵。且且12第二章 矩阵2.3 可逆矩阵因此因此 A 可逆，可逆，解解由于由于注注利用伴随矩阵求逆矩阵

6、的方法，通常仅适合于阶数较低利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，通常仅适合于阶数较低或者较特殊的矩阵；或者较特殊的矩阵；例例已知已知 求求且且因此它主要用于理论推导与证明。因此它主要用于理论推导与证明。13第二章 矩阵2.3 可逆矩阵其中其中例例已知已知 且且 求求 X.解解由由 知知 A 可逆，可逆，即即 可见，这就是由克莱姆可见，这就是由克莱姆(Cramer)法则得到的结果。法则得到的结果。因此有因此有14第二章 矩阵2.3 可逆矩阵证明证明推论推论(1)若若 (或者或者 )，则则 A 可逆，且可逆，且(1)由由 有有即得即得于是有于是有因而因而 A 可逆，即可逆，即 存在，存在，(2)若若 A

7、B 可逆，则可逆，则 A 可逆且可逆且 B 可逆。可逆。设设 A,B 为方阵，为方阵，(2)由由 A B 可逆有可逆有因而因而 A 可逆且可逆且 B 可逆。可逆。即得即得 且且四、矩阵可逆的充要条件四、矩阵可逆的充要条件15第二章 矩阵2.3 可逆矩阵(1)由由 得得证证故故 A 可逆，且可逆，且(2)由由 得得故故 可逆，且可逆，且16第二章 矩阵2.3 可逆矩阵设方阵设方阵 A 满足满足 证明下列矩阵都可逆，证明下列矩阵都可逆，例例并求它们的逆矩阵。并求它们的逆矩阵。证证（略）（略）答案答案17第二章 矩阵2.3 可逆矩阵设方阵设方阵 B 满足满足例例证明证明 A 可逆，并求可逆，并求(此时称此时称 B 为为幂等矩阵幂等矩阵)，故故 A 可逆，且可逆，且证证由由得得18第二章 矩阵2.3 可逆矩阵性质性质证明证明 仅证仅证(5)式式因为因为所以所以五、可逆矩阵的性质五、可逆矩阵的性质 易犯错误易犯错误 19第二章 矩阵2.3 可逆矩阵例例试化简试化简解解例例设设 A 可逆，可逆，则有则有20第二章 矩阵2.3 可逆矩阵例例设设 求求 B.解解由由有有21第二章 矩阵2.3 可逆矩阵与与 均可逆，均可逆，设设 A,B 为为 n 阶方阵，阶方阵，例例证明证明证证即得即得