1-2行列式.ppt

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1、用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组一、行列式的定义引例引例1.2 1.2 行列式行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.定义定义定义定义即即 二阶方阵二阶方阵 的表达式的表达式主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算则二元线性方程组则二元线性方程组的解可表示为的解可表示为系数行列式系数行列式 三阶行列式可用于系数行列式不为零的三元一次联立方程式，得到解的公式.借助二阶行列式可定义三阶行列式为：借助二阶行列式可定义三阶行列式为：即即即即三阶行列式也可利用对角线法则记忆三阶行列式也可利用对角线法则记忆三阶

2、行列式也可利用对角线法则记忆三阶行列式也可利用对角线法则记忆注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式四阶和四阶以上的行列式，“对角线法则”不再有效，必须找到把二、三阶行列式推广的正确途径.例2对角线法则对角线法则按定义按定义或它是按照下述规则对应的一个数：行展开按第1 ；、11111aa阶行列式的定义nijij的余子式记为称为阶到的列，得行第所在的第中删除已定义，在阶、假定,行列式,1 行列式12ijManjiaAn-.ji的代数余子式.称

3、为而)1(ijijijaMA-=+、定义 A31112121111212222111211nnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaa+LLLLLLLLaaa 212222111211nnnnnnaaaaaaLLLLLLLnn称为 行列式，或 阶方阵 的行列式，记作 或例3 计算行列式 在一般情况下，按定义计算行列式很 困难：计算量太大.本节的主要目的是解决行列式的计算问题.二、行列式的性质二、行列式的性质即转置行列式与原行列式相等。根据性质1，行列式对行成立的性质，对列也成立；反之 亦然。性质性质1性质性质 2 互换 行列式的两列(行),其值为原行列式的相反数.推论推论 行列式中若有两列（

4、行）相同，其值为零.由性质 2 得证.注意：“对角线法则”不适合4阶或4阶以上的行列式.*0 0*00例4 计算（按最后一行展开）（按最后一行展开）性质性质 6 行列式中有两列（行）成比例，其值为零.性质 4，5表明：行列式是它的任一列（行）的线性函数.推论推论性质性质5 行列式可按某一列（行）拆成两个或几个行列式的和.性质性质4 行列式可从任一列（行）提公因子.例 若三阶行列式则性质性质 7 行列式某一列（行）加上另一列（行）的倍数行列式某一列（行）加上另一列（行）的倍数,其值不变其值不变.（由性质 5 及性质 4 得证.）行列式计算方法（一）计算方法（一）：化为三角形行列式.常用于含文字（

5、参数）的行列式例例 9行列式的计算方法（二）：逐次降阶法对于一般的数字行列式，用性质化简，结合展开定理逐次 降阶，比化三角行列式简洁.例例 10例例11 范德蒙行列式范德蒙行列式证证 用数学归纳法.公式要记忆公式要记忆假设公式对n-1阶成立.下面用性质及展开定理证明对n阶也成立：n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式可得：合并性质3与8，利用克洛耐可（Kronecker)记号性质8 行列式一行元素乘以另一行元素的代数余子式的和为零。称为行列式的乘法公式.解解 行列式与矩阵的联系与区别：行列式与矩阵的联系与区别：形状有点类似（但矩阵可方可长方,行列式必方，记号也不同),其实 本质不同本质不同 矩阵是数字排成的矩形表格,两矩阵相等是“同型、且对应元素相等”.行列式代表的是一个数.可依据行列式的性质“恒等变形”.联联 系系 行列式是方阵的数字特征.本节重点：本节重点：正确熟练运用行列式的性质正确熟练运用行列式的性质110计算行列式计算行列式 化三角形法，化三角形法，逐次降阶法，逐次降阶法，递推公式法递推公式法作业作业：17(1)(2),18(2),19,20(1)(5),21,22,23预习预习:1.4 逆矩阵