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1、1学业分层测评学业分层测评( (六六) ) 圆锥曲线的极坐标方程及应用圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时:45 分钟)学业达标1过椭圆1 的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点,若x2 25y2 9FA2FB,求直线l的斜率【解】 椭圆1 中,a5,b3,c4,x2 25y2 9所以e ,p .4 5b2 c9 4取椭圆的左焦点为极点,x轴正方向为极轴正方向,建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为.4 59 4145cos 9 54cos 设A(1,)、B(2,)由题设得122.于是29 54cos ,解得 cos ,所以 tan ,即直线l的斜率为.9 54cos 5 12119511
2、952已知椭圆方程为,过左焦点引弦AB,已知AB8,求AOB的面16 53cos 积【解】 如图,设A(1,)、B(2,)所以1216 53cos .16 53cos 160 259cos2因为AB8,所以8,160 259cos2所以 cos2 ,sin .5 92 32由椭圆方程知e ,则c3.c a3 5b2 c16 3SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.1 21 23如图 424,过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦AB与x轴斜交,M为AB的中点,MNAB,并交对称轴于N.图 424求证:MN2AFBF.【证明】 取F为极点,Fx为极轴建立极坐标系,则抛物线的极坐
3、标方程为.p 1cos 设A(1,)、B(2,),则AFBF.p 1cos p 1cos p2 sin2不妨设 0,则MF (12) 21 2 ().1 2p 1cos p 1cos pcos sin2所以MNMFtan tan .pcos sin2p sin 所以MN2AFBF.4如图 425,已知圆F:x2y24x0,抛物线G的顶点是坐标系的原点,焦点是已知圆的圆心F,过圆心且倾斜角为的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点3图 425(1)当直线的斜率为 2 时,求ABCD;(2)当为何值时,ABCD有最小值?并求这个最小值【解】 圆F:x2y24x0 的圆心坐标为(2
4、,0),半径为 2,所以抛物线的焦点到准线的距离为 4.以圆心F为极点,Fx为极轴建立极坐标系则圆F的坐标方程为2,抛物线G的极坐标方程为.4 1cos 设A(1,)、D(2,),所以ABAF2,CDFD2,即ABCDAFFD412444 1cos 4 1cos4 1cos 444.4 1cos 8 1cos28 sin2(1)由题意,得 tan 2,所以 sin2 .4 5所以ABCD46.8 sin2(2)ABCD4,8 sin2当 sin21,即时ABF2的面积取到最小值 4. 25已知抛物线,过焦点作互相垂直的极径FA、FB,求FAB的面积的p 1cos 最小值【解】 设A(1,)、B
5、,则(2, 2)1,2.p 1cos p1cos(2)p 1sin FAB的面积为4S12 1 21 2p 1cos p 1sin p2 21cos 1sin .p2 21cos sin sin cos 设tsin cos ,则 sin cos .1t2 2所以 1cos sin sin cos 1t (t1)2.1t2 21 2又tsin cos sin,2( 4)22所以当t,即时,FAB的面积S有最小值.23 4p21 226已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆短轴的一个顶点,且F1PF290.(1)求椭圆C的离心率;(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,
6、且ABF2的面积的最大值为 12,求椭圆C的方程【导学号:98990017】【解】 (1)因为F1PF290,所以PFPFF1F,即a2a24c2.所以e 2 12 22 2c a.22(2)以椭圆的左焦点F1为极点,Fx为极轴建立极坐标系,设椭圆的方程为.22p122cos p2cos 设A(1,)、B(2,),则ABAFFB12p2cos p2cos.p2cos p2cos 2 2p2cos2因为F1F22c,所以ABF2的边AB上的高h为 2c|sin |,ABF2的面积S ABh1 22 2pc|sin |2cos22 2pc|sin |1sin25.2 2pc1 |sin |sin
7、|因为|sin |2,1 |sin |所以当|sin |1,即或时S取到最大值 23 2所以当l过左焦点且垂直于极轴时,ABF2的面积取到最大值pc,所以pc12,22即b26.2故a2c26.又 ,2c a22所以a212,c26.22所求椭圆的方程为1.x212 2y26 27已知椭圆1,直线l: 1,P是l上一点,射线OP交椭圆于R,又x2 24y2 16x 12y 8点Q在OP上,且满足|OQ|OP|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线【解】 如图,以O为极点,Ox为极轴,建立极坐标系,则:椭圆的极坐标方程为2,48 2cos23sin2直线l的极坐标方
8、程.24 2cos 3sin 由于点Q、R、P在同一射线上,可设点Q、R、P的极坐标分别为(,)、(1,)、(2,),依题意,得,2 148 2cos23sin22.24 2cos 3sin 由|OQ|OP|OR|2得2(0)2 1将代入,6得,24 2cos 3sin 48 2cos23sin2则(0)4cos 6sin 2cos23sin2这就是点Q的轨迹的极坐标方程,化为直角坐标方程,得 2x23y24x6y,即1(x、y不同时为 0)x12 5 2y12 5 3点Q的轨迹为以(1,1)为中心,长轴平行于x轴,长、短半轴长分别为,的椭102153圆(去掉坐标原点)能力提升8建立极坐标系证
9、明:已知半圆直径|AB|2r(r0),半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T,并且|AT|2a(2a )若半圆上相异两点M,N到l的距离r 2|MP|、|NQ|满足|MP|:|MA|NQ|:|NA|1,则|MA|NA|AB|.【证明】 法一 以A为极点,射线AB为极轴建立直角坐标系,则半圆的极坐标方程为2rcos ,设M(1,1),N(2,2),则12rcos 1,22rcos 2,又|MP|2a1cos 12a2rcos21,|NQ|2a2cos 22a2rcos22,|MP|2a2rcos212rcos1,|NQ|2a2rcos222rcos 2,cos 1,cos 2是方程rcos2rcos a0 的两个根,由韦达定理:cos 1cos 21,|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二 以A为极点,射线AB为极轴建立直角坐标系,则半圆的极坐标方程为2rcos ,设M(1,1),N(2,2),又由题意知,M(1,1),N(2,2)在抛物线上,2rcos 2a 1cos ,rcos2rcos a0,2a 1cos cos 1,cos 2是方程rcos2rcos a0 的两个根,由韦达定理:cos 1cos 21,7得|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.