数学悖论和三次数学危机62531.docx

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1、数学悖论与与三次数数学危机机“古往往今来，为为数众多多的悖论论为逻辑辑思想的的发展提提供了食食粮。”N布尔巴巴基什么是是悖论？笼统地地说，是是指这样样的推理理过程：它看上上去是合合理的，但但结果却却得出了了矛盾。悖悖论在很很多情况况下表现现为能得得出不符符合排中中律的矛矛盾命题题：由它它的真，可可以推出出它为假假；由它它的假，则则可以推推出它为为真。由由于严格格性被公公认为是是数学的的一个主主要特点点，因此此如果数数学中出出现悖论论会造成成对数学学可靠性的的怀疑。如如果这一一悖论涉涉及面十十分广泛泛的话，这这种冲击击波会更更为强烈烈，由此此导致的的怀疑还还会引发发人们认认识上的的普遍危危机感。

2、在在这种情情况下，悖悖论往往往会直接接导致“数学危危机”的产生生。按照照西方习习惯的说说法，在在数学发发展史上上迄今为为止出现现了三次次这样的的数学危危机。希希帕索斯斯悖论与与第一次次数学危危机希帕索索斯悖论论的提出出与勾股股定理的的发现密密切相关关。因此此，我们们从勾股股定理谈谈起。勾勾股定理理是欧氏氏几何中中最著名名的定理理之一。天天文学家家开普勒勒曾称其其为欧氏氏几何两两颗璀璨璨的明珠珠之一。它它在数学学与人类类的实践践活动中中有着极极其广泛泛的应用用，同时时也是人人类最早早认识到到的平面面几何定理之一一。在我我国，最最早的一一部天文文数学著著作周周髀算经经中就就已有了了关于这这一定理理

3、的初步步认识。不不过，在在我国对对于勾股股定理的的证明却却是较迟迟的事情情。一直直到三国国时期的的赵爽才才用面积积割补给给出它的的第一种种证明。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。毕达哥哥拉斯是是公元前前五世纪纪古希腊腊的著名名数学家家与哲学学家。他他曾创立立了一个个合政治治、学术术、宗教教三位一一体的神神秘主义义派别：毕达哥哥拉斯学学派。由由毕达哥哥拉斯提提出的著著名命题题“万物皆皆数”是该学学派的哲哲学基石石。而

4、“一切数数均可表表成整数数或整数数之比”则是这这一学派派的数学学信仰。然然而，具具有戏剧剧性的是是由毕达达哥拉斯斯建立的的毕达哥哥拉斯定定理却成成了毕达达哥拉斯斯学派数数学信仰仰的“掘墓人”。毕达达哥拉斯斯定理提提出后，其其学派中中的一个个成员希希帕索斯斯考虑了了一个问问题：边边长为1的正方方形其对对角线长长度是多多少呢？他发现现这一长长度既不不能用整整数，也也不能用用分数表表示，而而只能用用一个新新数来表表示。希希帕索斯斯的发现现导致了了数学史史上第一一个无理理数2的诞生生。小小小2的出现现，却在在当时的的数学界界掀起了了一场巨巨大风暴暴。它直直接动摇摇了毕达达哥拉斯斯学派的的数学信信仰，使

5、使毕达哥哥拉斯学学派为之之大为恐恐慌。实实际上，这这一伟大大发现不不但是对对毕达哥哥拉斯学学派的致致命打击击。对于于当时所所有古希希腊人的的观念这这都是一一个极大大的冲击击。这一一结论的的悖论性性表现在在它与常常识的冲冲突上：任何量量，在任任何精确确度的范范围内都都可以表表示成有有理数。这这不但在在希腊当当时是人人们普遍遍接受的的信仰，就就是在今今天，测量量技术已已经高度度发展时时，这个个断言也也毫无例例外是正正确的！可是为为我们的的经验所所确信的的，完全全符合常常识的论论断居然然被小小小的2的存在在而推翻翻了！这这应该是是多么违违反常识识，多么么荒谬的的事！它它简直把把以前所所知道的的事情根

6、根本推翻翻了。更更糟糕的的是，面面对这一一荒谬人人们竟然然毫无办办法。这这就在当当时直接接导致了了人们认认识上的的危机，从从而导致致了西方方数学史史上一场场大的风风波，史史称“第一次次数学危危机”。二百年年后，大大约在公公元前370年，才才华横溢溢的欧多多克索斯斯建立起起一套完完整的比比例论。他他本人的的著作已已失传，他他的成果果被保存存在欧几几里德几几何原本本一书书第五篇篇中。欧欧多克索索斯的巧巧妙方法法可以避避开无理理数这一一“逻辑上上的丑闻闻”，并保保留住与与之相关关的一些些结论，从从而解决决了由无无理数出出现而引引起的数数学危机机。但欧欧多克索索斯的解解决方式式，是借借助几何何方法，通

7、通过避免免直接出出现无理理数而实实现的。这这就生硬硬地把数数和量肢肢解开来来。在这这种解决决方案下下，对无无理数的的使用只只有在几几何中是是允许的的，合法法的，在在代数中中就是非非法的，不不合逻辑辑的。或或者说无无理数只被当作作是附在在几何量量上的单单纯符号号，而不不被当作作真正的的数。一一直到18世纪，当当数学家家证明了了基本常常数如圆圆周率是是无理数数时，拥拥护无理理数存在在的人才才多起来来。到十十九世纪纪下半叶叶，现在在意义上上的实数数理论建建立起来来后，无无理数本本质被彻彻底搞清清，无理理数在数数学园地地中才真真正扎下下了根。无无理数在在数学中中合法地地位的确确立，一一方面使使人类对对

8、数的认认识从有有理数拓拓展到实实数，另另一方面面也真正正彻底、圆圆满地解解决了第第一次数数学危机机。贝克克莱悖论论与第二二次数学学危机第二二次数学学危机导导源于微微积分工工具的使使用。伴伴随着人人们科学学理论与与实践认认识的提提高，十十七世纪纪几乎在在同一时时期，微微积分这这一锐利无无比的数数学工具具为牛顿顿、莱布布尼兹各各自独立立发现。这这一工具具一问世世，就显显示出它它的非凡凡威力。许许许多多多疑难问问题运用用这一工工具后变变得易如如翻掌。但但是不管管是牛顿顿，还是是莱布尼尼兹所创创立的微微积分理理论都是是不严格格的。两两人的理理论都建建立在无无穷小分分析之上上，但他他们对作作为基本本概念

9、的的无穷小小量的理理解与运运用却是是混乱的的。因而而，从微微积分诞诞生时就就遭到了了一些人人的反对对与攻击击。其中中攻击最最猛烈的的是英国国大主教教贝克莱莱。1734年年，贝克克莱以“渺小的的哲学家家”之名出出版了一一本标题题很长的的书分分析学家家；或一一篇致一一位不信信神数学学家的论论文，其其中审查查一下近近代分析析学的对对象、原原则及论论断是不不是比宗宗教的神神秘、信信仰的要要点有更更清晰的的表达，或或更明显显的推理理。在在这本书书中，贝贝克莱对对牛顿的的理论进进行了攻攻击。例例如他指指责牛顿顿，为计计算比如如说x2的导数数，先将将x取一一个不为为0的增量x，由(x +x)2 - x2，得

10、到2xx + (x2)，后再再被x除，得得到2x +x，最后后突然令x = 0，求求得导数数为2x。这这是“依靠双双重错误误得到了了不科学学却正确确的结果果”。因为为无穷小小量在牛牛顿的理理论中一一会儿说说是零，一一会儿又又说不是是零。因因此，贝贝克莱嘲嘲笑无穷穷小量是是“已死量量的幽灵灵”。贝克克莱的攻攻击虽说说出自维维护神学学的目的的，但却却真正抓抓住了牛牛顿理论论中的缺缺陷，是是切中要要害的。数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这

11、一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。针对贝贝克莱的的攻击，牛牛顿与莱莱布尼兹兹都曾试试图通过过完善自自己的理理论来解解决，但但都没有有获得完完全成功功。这使使数学家们们陷入了了尴尬境境地。一一方面微微积分在在应用中中大获成成功，另另一方面面其自身身却存在在着逻辑辑矛盾，即即贝克莱莱悖论。这这种情况况下对微微积分的的取舍上上到底何何去何从从呢？“向前进进，向前前进，你你就会获获得信念念！”达朗贝贝尔吹起起奋勇向向前的号号角，在在此号角角的鼓舞舞下，十十八世纪纪的数学学家们开开始不顾顾基础的的不严格格，论证证的不严严密，而而是更多多依赖于于直观去去开创新新的

12、数学学领地。于于是一套套套新方方法、新新结论以以及新分分支纷纷纷涌现出出来。经经过一个个多世纪纪的漫漫漫征程，几几代数学学家，包包括达朗朗贝尔、拉拉格朗日日、贝努努力家族族、拉普普拉斯以以及集众众家之大大成的欧欧拉等人人的努力力，数量量惊人前前所未有有的处女女地被开开垦出来来，微积积分理论论获得了了空前丰丰富。18世纪有有时甚至至被称为为“分析的的世纪”。然而而，与此此同时十十八世纪纪粗糙的的，不严严密的工工作也导导致谬误误越来越越多的局局面，不不谐和音音的刺耳耳开始震震动了数数学家们们的神经经。下面面仅举一一无穷级级数为例例。无穷级级数S11111到底等等于什么么？当时人人们认为为一方面面S

13、（11）（11）0；另一一方面，S1（11）（11）1，那么么岂非01？这一一矛盾竟竟使傅立立叶那样样的数学学家困惑惑不解，甚甚至连被被后人称称之为数数学家之之英雄的的欧拉在在此也犯犯下难以以饶恕的的错误。他他在得到到1 + x + x2 +x3 + . = 11/(11- xx)后，令x =1，得出出S1111112！由由此一例例，即不不难看出出当时数数学中出出现的混混乱局面面了。问问题的严严重性在在于当时时分析中中任何一一个比较较细致的的问题，如如级数、积积分的收收敛性、微微分积分分的换序序、高阶阶微分的的使用以以及微分分方程解解的存在在性都几乎乎无人过过问。尤尤其到十十九世纪纪初，傅傅立

14、叶理理论直接接导致了了数学逻逻辑基础础问题的的彻底暴暴露。这这样，消消除不谐谐和音，把把分析重重新建立立在逻辑辑基础之之上就成成为数学学家们迫迫在眉睫睫的任务务。到十十九世纪纪，批判判、系统统化和严严密论证证的必要要时期降降临了。使分析析基础严严密化的的工作由由法国著著名数学学家柯西西迈出了了第一大大步。柯柯西于18221年开始始出版了了几本具具有划时时代意义义的书与与论文。其其中给出出了分析析学一系系列基本本概念的的严格定定义。如如他开始始用不等等式来刻刻画极限限，使无无穷的运运算化为为一系列列不等式式的推导导。这就就是所谓谓极限概概念的“算术化”。后来来，德国国数学家家魏尔斯斯特拉斯斯给出

15、更更为完善善的我们们目前所所使用的“-”方法。另另外，在在柯西的的努力下下，连续续、导数数、微分分、积分分、无穷穷级数的的和等概概念也建建立在了了较坚实实的基础础上。不不过，在在当时情情况下，由由于实数数的严格格理论未未建立起起来，所所以柯西西的极限限理论还还不可能能完善。柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿

16、柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。罗素悖论与与第三次次数学危危机十九世世纪下半半叶，康康托尔创创立了著著名的集集合论，在在集合论论刚产生生时，曾曾遭到许许多人的的猛烈攻攻击。但但不久这这一开创创性成果果就为广广大数学学家所接接受了，并并且获得得广泛而而高度的的赞誉

17、。数数学家们们发现，从从自然数数与康托托尔集合合论出发发可建立立起整个个数学大大厦。因因而集合合论成为为现代数数学的基基石。“一切数数学成果果可建立立在集合合论基础础上”这一发发现使数数学家们们为之陶陶醉。19000年，国国际数学学家大会会上，法法国著名名数学家家庞加莱莱就曾兴兴高采烈烈地宣称称：“借助集集合论概概念，我我们可以以建造整整个数学学大厦今天，我我们可以以说绝对对的严格格性已经经达到了了”可是，好好景不长长。19003年，一一个震惊惊数学界界的消息息传出：集合论论是有漏漏洞的！这就是是英国数数学家罗罗素提出出的著名名的罗素素悖论。罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组

18、成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。其实，在在罗素之之前集合合论中就就已经发发现了悖悖论。如如18997年，布布拉利和和福尔蒂蒂提出了了最大序序数悖论论。18999年，康康托尔自自己发现现了最大大基数悖悖论。但但是，由由于这两两个悖论论都涉及及集合中中的许多多复杂理理论，所所以只是是在数学学界揭起起了一点点小涟漪漪，未能能引起大大的注

19、意意。罗素素悖论则则不同。它它非常浅浅显易懂懂，而且且所涉及及的只是是集合论论中最基基本的东东西。所所以，罗罗素悖论论一提出出就在当当时的数数学界与与逻辑学学界内引引起了极极大震动动。如G.弗雷格格在收到到罗素介介绍这一一悖论的的信后伤伤心地说说：“一个科科学家所所遇到的的最不合合心意的的事莫过过于是在在他的工工作即将将结束时时，其基基础崩溃溃了。罗罗素先生生的一封封信正好好把我置置于这个个境地。”戴德金金也因此此推迟了了他的什什么是数数的本质质和作用用一文文的再版版。可以以说，这这一悖论论就象在在平静的的数学水水面上投投下了一一块巨石石，而它它所引起起的巨大大反响则则导致了了第三次次数学危危

20、机。危机机产生后后，数学学家纷纷纷提出自自己的解解决方案案。人们们希望能能够通过过对康托托尔的集集合论进进行改造造，通过过对集合合定义加加以限制制来排除除悖论，这这就需要要建立新新的原则则。“这些原原则必须须足够狭狭窄，以以保证排排除一切切矛盾；另一方方面又必必须充分分广阔，使使康托尔尔集合论论中一切切有价值值的内容容得以保保存下来来。”19008年，策策梅罗在在自已这这一原则则基础上上提出第第一个公公理化集集合论体体系，后后来经其其他数学学家改进进，称为为ZF系统。这这一公理理化集合合系统很很大程度度上弥补补了康托托尔朴素素集合论论的缺陷陷。除ZF系统外外，集合合论的公公理系统统还有多多种，

21、如如诺伊曼曼等人提提出的NBG系统等等。公理理化集合合系统的的建立，成成功排除除了集合合论中出出现的悖悖论，从从而比较较圆满地地解决了了第三次次数学危危机。但但在另一一方面，罗罗素悖论论对数学学而言有有着更为为深刻的的影响。它它使得数数学基础础问题第第一次以以最迫切切的需要要的姿态态摆到数数学家面面前，导导致了数数学家对对数学基基础的研研究。而而这方面面的进一一步发展展又极其其深刻地地影响了了整个数数学。如如围绕着着数学基基础之争争，形成成了现代代数学史史上著名名的三大大数学流流派，而而各派的的工作又又都促进进了数学学的大发发展等等等。以上简简单介绍绍了数学学史上由由于数学学悖论而而导致的的三

22、次数数学危机机与度过过，从中中我们不不难看到到数学悖悖论在推推动数学学发展中中的巨大大作用。有有人说：“提出问问题就是是解决问问题的一一半”，而数数学悖论论提出的的正是让让数学家家无法回回避的问问题。它它对数学学家说：“解决我我，不然然我将吞吞掉你的的体系！”正如希希尔伯特特在论论无限一一文中所所指出的的那样：“必须承承认，在在这些悖悖论面前前，我们们目前所所处的情情况是不不能长期期忍受下下去的。人人们试想想：在数数学这个个号称可可靠性和和真理性性的模范范里，每每一个人人所学的的、教的的和应用用的那些些概念结结构和推推理方法法竟会导导致不合合理的结结果。如如果甚至至于数学学思考也也失灵的的话，那那么应该该到哪里里去寻找找可靠性性和真理理性呢？”悖论的的出现逼逼迫数学学家投入入最大的的热情去去解决它它。而在在解决悖悖论的过过程中，各各种理论论应运而而生了：第一次次数学危危机促成成了公理理几何与与逻辑的的诞生；第二次次数学危危机促成成了分析析基础理理论的完完善与集集合论的的创立；第三次次数学危危机促成成了数理理逻辑的的发展与与一批现现代数学学的产生生。数学学由此获获得了蓬蓬勃发展展，这或或许就是是数学悖悖论重要要意义之之所在吧吧。