第2章 逻辑代数和硬件描述语言基础_逻辑代数_2012_9_17.pptx

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1、数数 字字 逻逻 辑辑北航计算机学院北航计算机学院艾明晶艾明晶 牛建伟牛建伟2第第2 2章章 逻辑代数和硬件描述语言基础逻辑代数和硬件描述语言基础 本章介绍分析和设计数字逻辑电路的数学方法，包括：本章介绍分析和设计数字逻辑电路的数学方法，包括：逻辑代数的基本概念，逻辑函数及其表示方法，逻辑代数的逻辑代数的基本概念，逻辑函数及其表示方法，逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理以及逻辑函数的简化方法。基本公式、常用公式和重要定理以及逻辑函数的简化方法。并介绍硬件描述语言并介绍硬件描述语言Verilog HDL的基本知识。的基本知识。v2.1 逻辑代数基本概念逻辑代数基本概念 v2.2 逻辑代数的运

2、算法则逻辑代数的运算法则v2.3 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式v2.4 逻辑函数的简化法逻辑函数的简化法v2.5 Verilog HDL基础基础共共共共7 7 7 7学时学时学时学时3本章重点本章重点 v逻辑代数基本公式、基本定理和常用公式；逻辑代数基本公式、基本定理和常用公式；v真值表，逻辑函数的表达式；真值表，逻辑函数的表达式；v逻辑函数的公式简化法；逻辑函数的公式简化法；vVerilog HDL的词法和常用语句。的词法和常用语句。42.1 逻辑代数基本概念逻辑代数基本概念 2.1.1 逻辑常量和逻辑变量逻辑常量和逻辑变量2.1.2 基本逻辑和复合逻辑基本逻辑和复合逻辑 2.1.3 逻

3、辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 2.1.4 逻辑函数的相等逻辑函数的相等内容概要内容概要5逻辑代数逻辑代数v所谓所谓“逻辑逻辑”，指事物间的因果关系。当两个二进制数码表，指事物间的因果关系。当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行推理运算，称为系进行推理运算，称为逻辑运算逻辑运算。v1849年英国数学家乔治年英国数学家乔治布尔（布尔（George Boole）提出了描述）提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法客观事物逻辑关系的数学方法布尔代数布尔代数（Boolean algebra），成功地将形式逻辑问题

4、归结为一种代数运算。），成功地将形式逻辑问题归结为一种代数运算。v布尔代数后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析和布尔代数后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析和设计，因此也叫做设计，因此也叫做开关代数开关代数或或逻辑代数逻辑代数。v布尔代数布尔代数=逻辑代数，布尔变量逻辑代数，布尔变量=逻辑变量，布尔表达式逻辑变量，布尔表达式=逻逻辑表达式，布尔函数辑表达式，布尔函数=逻辑函数逻辑函数6逻辑代数与普通代数逻辑代数与普通代数v逻辑代数与普通代数的相似之处逻辑代数与普通代数的相似之处 都是由变量、常量及各种运算符组成的代数系统。都是由变量、常量及各种运算符组成的代数系统。v逻辑代数与普通

5、代数的不同之处逻辑代数与普通代数的不同之处（1）逻逻辑辑代代数数表表达达的的是是电电路路输输入入与与输输出出间间的的逻逻辑辑关关系系，而而不是数量关系。不是数量关系。（2）逻逻辑辑代代数数中中的的变变量量和和常常量量只只能能取取值值为为0或或1，这这里里的的0或或1不是表示数值的大小，而是表示两种不是表示数值的大小，而是表示两种对立对立的关系。的关系。（3）逻辑代数的基本运算为逻辑代数的基本运算为“与与”、“或或”、“非非”；普；普通代数的基本运算为加、减、乘、除。通代数的基本运算为加、减、乘、除。72.1.1 逻辑常量和逻辑变量逻辑常量和逻辑变量v在逻辑运算中其值会发生改变的量在逻辑运算中其

6、值会发生改变的量称为称为逻辑变量逻辑变量，由由字母或字母加数字组成。字母或字母加数字组成。v逻辑变量的两种表示形式逻辑变量的两种表示形式原变量原变量：A、B、C、A1反变量反变量：原变量与反变量的关系：原变量与反变量的关系：“互非互非”或或“互补互补”v在逻辑运算中其值不会改变的量称为在逻辑运算中其值不会改变的量称为逻辑常量。逻辑常量。w最基本的逻辑常量是最基本的逻辑常量是“0”和和“1”（还有高阻（还有高阻“z”、未知、未知“x”）w用用“0”和和“1”表示一个事物的两种不同逻辑状态，如一件事情表示一个事物的两种不同逻辑状态，如一件事情的是和非、真和假、有和无、好和坏，电平的高和低、电流的的

7、是和非、真和假、有和无、好和坏，电平的高和低、电流的有和无、灯的亮和灭、开关的闭合和断开等。有和无、灯的亮和灭、开关的闭合和断开等。w这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑二值逻辑。82.1.2 基本逻辑和复合逻辑基本逻辑和复合逻辑 1.1.基本逻辑（与、或、非）基本逻辑（与、或、非）A BP （1）与逻辑）与逻辑v只只有有当当开开关关A、B同同时时闭闭合合时时，指指示示灯灯P才才会亮。会亮。输入条件（开关输入条件（开关A、B）：闭合）：闭合“1”断开断开“0”输出结果（灯输出结果（灯P）：亮）：亮“1”，灭，灭“0”指示灯控制电路指示灯控制电路v

8、只只有有决决定定事事件件结结果果的的全全部部条条件件（输输入入）同同时时具具备备时时，结结果果（输输出出）才才发发生生这这种种因因果果关关系系叫叫做做逻逻辑辑与与（或（或逻辑乘逻辑乘）。）。v实现逻辑与的电路称为实现逻辑与的电路称为与门与门。9逻辑关系的表示方法逻辑关系的表示方法与逻辑真值表与逻辑真值表11 101 000 10 0 0PA BP=AB=AB =A&B 真值表真值表（truth table）：）：用用“0”和和“1”表示输表示输入与输出之间全部关系的表格。入与输出之间全部关系的表格。逻辑函数表达式逻辑函数表达式：用逻辑运算符把各种逻辑的输出：用逻辑运算符把各种逻辑的输出与输入之

9、间的关系连接起来，形成逻辑函数表达式。与输入之间的关系连接起来，形成逻辑函数表达式。逻辑符号逻辑符号：将与、或、非等各种逻辑关系用特定的图形符号表示。：将与、或、非等各种逻辑关系用特定的图形符号表示。逻辑乘运算符逻辑乘运算符号也可以省略号也可以省略ABP常用符号常用符号（部标）（部标）ABP国际常用国际常用符号符号IEEE&ABP国标国标与逻辑符号与逻辑符号又称逻辑乘又称逻辑乘10与逻辑的运算规则与逻辑的运算规则 运算规则运算规则000 010 100111w逻辑与又称为逻辑与又称为逻辑乘逻辑乘。w运算规则：只要输入中有一个运算规则：只要输入中有一个0，输出就，输出就为为0；只有输入全为；只有

10、输入全为1时，输出才为时，输出才为1。11或逻辑或逻辑（2）或逻辑）或逻辑 在在决决定定事事件件结结果果的的诸诸多多条条件件中中只只要要有有任任何何一一个个满满足足，结结果果就就会会发发生生这种因果关系叫做这种因果关系叫做逻辑或逻辑或（或（或逻辑加逻辑加）。PAB11 111 010 10 0 0PA B 真值表真值表 运算规则运算规则000，011，101，111 逻辑函数表达式逻辑函数表达式P=AB =A|B 逻辑符号逻辑符号 1ABP国标国标ABP常用符号常用符号（部标）（部标）ABP国际常用国际常用符号符号w运算规则：只要输入中有一个运算规则：只要输入中有一个1，输出就为，输出就为1；

11、只有输入全为；只有输入全为0时，输出才为时，输出才为0。12非逻辑非逻辑（3）非逻辑）非逻辑 只只要要条条件件具具备备了了，结结果果便便不不会会发发生生；而而条条件件不不具具备备时时，结结果果一一定定发发生生这种因果关系叫做这种因果关系叫做逻辑非逻辑非（也称（也称逻辑反逻辑反）。PR A 真值表真值表0110PA 逻逻辑辑函函数数表达式表达式 逻辑符号逻辑符号国标国标1AP常用符号常用符号（部标）（部标）AP国际常用国际常用符号符号 AP 运算规则运算规则01，1013复合逻辑复合逻辑 2.2.复合逻辑（与非、或非、与或非、异或、同或逻辑复合逻辑（与非、或非、与或非、异或、同或逻辑）v特点：特

12、点：（输入）（输入）全高（输）出低、全高（输）出低、（输入）（输入）一低（输）出高一低（输）出高 逻辑函数表达式逻辑函数表达式01 111 010 11 0 0PA B真值表（与非）真值表（与非）逻辑符号逻辑符号ABP常用符号常用符号（部标）（部标）ABP国际常用国际常用符号符号&ABP国标国标v表示方法表示方法（1）与非逻辑）与非逻辑14或非逻辑或非逻辑 v特点：特点：（输入）（输入）全低全低（输）（输）出高、出高、（输入）（输入）一高一高（输）（输）出低出低v表示方法表示方法 逻辑符号逻辑符号（2）或非逻辑）或非逻辑01 101 000 11 0 0PA B真值表（或非）真值表（或非）逻辑

13、函数表达式逻辑函数表达式常用符号常用符号（部标）（部标）国际常用国际常用符号符号国标国标 1ABPABPABP15与或非逻辑与或非逻辑 v表示方法表示方法（3）与或非逻辑）与或非逻辑 逻辑符号逻辑符号P国标国标1&ABCD常用符号常用符号（部标）（部标）+ABCDP国际常用国际常用符号符号PABCD 逻辑函数表达式逻辑函数表达式16异或逻辑异或逻辑 v特点：特点：（输入）（输入）相同相同（输出）（输出）为为0、（输入）（输入）相异相异（输出）（输出）为为1v表示方法表示方法（4）异或逻辑）异或逻辑 逻辑符号逻辑符号01 111 010 100 0PA B 真值表（异或）真值表（异或）逻辑函数表

14、达式逻辑函数表达式P P=A A B BPABP常用符号常用符号（部标）（部标）国际常用国际常用符号符号1ABP国标国标 AB17同或逻辑同或逻辑 v特点：特点：（输入）（输入）相同相同（输出）（输出）为为1、（输入）（输入）相异相异（输出）（输出）为为011 101 000 110 0PA B真值表（同或）真值表（同或）逻辑函数表达式：逻辑函数表达式：P=A B AB+ABv表示方法表示方法（5）同同或或逻逻辑辑 逻辑符号逻辑符号ABP常用符号常用符号（部标）（部标）ABP国标国标 国际常用符号国际常用符号PABw异异或或、同同或或逻逻辑辑只只有有两两个个输输入入；与与（与与非非）、或或（或

15、或非非）逻辑可以有两个以上的输入；非逻辑只有一个输入。逻辑可以有两个以上的输入；非逻辑只有一个输入。w异或逻辑与同或逻辑是异或逻辑与同或逻辑是互非互非关系：关系：A A B B A AB B ；A AB B A A B B182.1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 v如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，则输出与输如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，则输出与输入之间的关系为一种函数关系，这种函数关系称为入之间的关系为一种函数关系，这种函数关系称为逻辑函数逻辑函数。v写作写作P P=F F（A A,B B,C C,）逻辑函数表达式逻辑函数表达式 v逻辑函数的表示方法逻辑函

16、数的表示方法w真真值值表表（truth table）：用用“0”和和“1”表表示示输输入入与与输输出出之之间间全全部部关系的表格。关系的表格。w逻逻辑辑函函数数表表达达式式：将将输输出出与与输输入入之之间间的的逻逻辑辑关关系系写写成成与与、或或、非非等等运算的组合式，即逻辑代数式。运算的组合式，即逻辑代数式。w逻逻辑辑图图：将将各各变变量量之之间间的的与与、或或、非非等等逻逻辑辑关关系系用用图图形形符符号号表表示示出出来。来。w卡卡诺诺图图：在在卡卡诺诺图图中中找找到到逻逻辑辑函函数数所所包包含含的的每每一一个个最最小小项项，并并在在对对应的小方块上填应的小方块上填1，其余小方块中不填任何标记

17、。，其余小方块中不填任何标记。19真值表和逻辑函数表达式真值表和逻辑函数表达式 1 1、真值表和逻辑函数表达式、真值表和逻辑函数表达式【例例2.1】楼上楼下开关电路（楼上楼下开关电路（A：一楼开关，：一楼开关，B：二楼开关）如：二楼开关）如图所示，该电路让用户在楼下或楼上均可控制楼道电灯的亮和灭。图所示，该电路让用户在楼下或楼上均可控制楼道电灯的亮和灭。A BP0 01 0 101 001 11 P=AB+AB=A B 真值表真值表？如何推出逻辑函数表达式如何推出逻辑函数表达式?将输出为将输出为1的输入组合挑出，每个组合用乘积的输入组合挑出，每个组合用乘积项表示（取值为项表示（取值为1的输入用

18、的输入用原原变量表示，取值为变量表示，取值为0的输入用的输入用反反变量表示）；把这些乘积项加起来。变量表示）；把这些乘积项加起来。同或同或PABEONOFF20如何从真值表推出逻辑函数表达式？如何从真值表推出逻辑函数表达式？【例例2.2】设计三人表决器电路，当有设计三人表决器电路，当有2人或人或2人以上赞同时，表决通过，输出为人以上赞同时，表决通过，输出为1；否则表；否则表决不通过，输出为决不通过，输出为0。假设投赞成票表示为假设投赞成票表示为“1”，投反对票表示为，投反对票表示为“0”。表表决决器器ABCF真值表真值表00 0 011 1 111 1 011 0 101 0 010 1 10

19、0 1 000 0 1FA B Cv从真值表推出逻辑函数表达式的方法从真值表推出逻辑函数表达式的方法 最小项推导法最小项推导法 使使输输出出为为1的的输输入入组组合合写写成成乘乘积积项项的的形形式式，其其中中取取值值为为1的的输输入入用用原原变变量量表表示示，取取值值为为0的的输输入入用用反反变量表示，然后把这些乘积项变量表示，然后把这些乘积项加加起来起来。标准与或式（积之和式）标准与或式（积之和式）也称也称最小项表达式最小项表达式比最大项推导法简比最大项推导法简单，建议采用单，建议采用返回最小项表达式返回最小项表达式21最大项推导法最大项推导法 真值表真值表00 0 011 1 111 1

20、011 0 101 0 010 1 100 1 000 0 1FA B C 最大项推导法最大项推导法 把把使使输输出出为为0的的输输入入组组合合写写成成和和项项的的形形式式，其其中中取取值值为为0的的输输入入用用原原变变量量表表示示，取取值值为为1的的输输入入用用反反变变量量表表示示，然后把这些和项然后把这些和项乘乘起来。起来。标准或与式标准或与式（和之积式）（和之积式）也称也称最大项表达式最大项表达式v由由逻辑函数表达式如何列出真值表？逻辑函数表达式如何列出真值表？将将输输入入变变量量取取值值的的所所有有组组合合状状态态逐逐一一代代入入逻逻辑辑式式求出函数值，列成表求出函数值，列成表。返回最

21、大项表达式返回最大项表达式22逻辑函数表达式和逻辑图逻辑函数表达式和逻辑图2 2、逻辑函数表达式和逻辑图、逻辑函数表达式和逻辑图v逻辑图逻辑图：用逻辑符号实现逻辑函数表达式中的各种运算而：用逻辑符号实现逻辑函数表达式中的各种运算而 画出的部件图，也称为画出的部件图，也称为电路原理图电路原理图。例如：例如：F=A+BC 1&ABCFG=(A+B)(A+C)&1ABCG 1v由逻辑函数表达式画出逻辑图由逻辑函数表达式画出逻辑图w用用逻逻辑辑符符号号代代替替逻逻辑辑函函数数表表达达式式中中的的逻逻辑辑运运算算符符号号，并并按运算优先顺序将它们连接起来。按运算优先顺序将它们连接起来。w优先规则优先规则

22、：括弧内：括弧内“逻辑乘逻辑乘”“逻辑加逻辑加”如何根据逻如何根据逻辑图写出逻辑图写出逻辑函数表达辑函数表达式？式？A+BA+CG=(A+B)(A+C)233.卡诺图卡诺图v卡诺图由美国工程师卡诺提出，用来表示逻辑函卡诺图由美国工程师卡诺提出，用来表示逻辑函数、化简逻辑函数。数、化简逻辑函数。v卡诺图的构成：卡诺图的构成：（1）由矩形或正方形组成的图由矩形或正方形组成的图形；形；（2）将矩形划分为若干个小方块，每个小将矩形划分为若干个小方块，每个小方块表示方块表示n变量的一个最小项；（变量的一个最小项；（3）使具有）使具有逻辑逻辑相邻性相邻性的最小项，在的最小项，在几何位置上几何位置上也相邻地

23、排列，也相邻地排列，得到的图称为得到的图称为n变量卡诺图变量卡诺图。u设有设有n个逻辑变量，它们所组成的具有个逻辑变量，它们所组成的具有n个变量的个变量的“与与”项（项（乘积项乘积项）中，）中，每个变量以原变量或反变量的形式每个变量以原变量或反变量的形式出现出现且仅出现一次，则这个乘积项称且仅出现一次，则这个乘积项称为该组变量的为该组变量的最小项最小项。n个变量有个变量有2n个个最小项最小项u如果两个最小项中只有一个变量分别以原变量和反变量的形式出现，其如果两个最小项中只有一个变量分别以原变量和反变量的形式出现，其余的变量不变，则称这两个最小项具有余的变量不变，则称这两个最小项具有逻辑相邻性逻

24、辑相邻性。AB0110m m0 0m m1 1m m2 2m m3 32变量卡诺变量卡诺图图3 3、卡诺图、卡诺图243变量卡诺图变量卡诺图v卡诺图的画法卡诺图的画法w将将n个个变变量量分分为为2组组，三三变变量量分分成成A一一组组、BC一一组组，四四变变量量分分成成AB一一组组、CD一一组组，五五变变量量分分成成AB一一组组、CDE一组；一组；w每一组的变量取值组合按循环码的规律排列每一组的变量取值组合按循环码的规律排列 循环码循环码：相邻的两个码只有一个变量取不同的值。：相邻的两个码只有一个变量取不同的值。例如，两个变量的循环码依次为：例如，两个变量的循环码依次为：00、01、11、10B

25、CA1000110110m1 m0 m3 m2 m5 m4 m7 m6 u三变量的每个最小三变量的每个最小项有项有3 3个相邻的最小个相邻的最小项，图中项，图中m m1 1有有3 3个相个相邻最小项：邻最小项：m m0 0、m m3 3 、m m5 5254变量卡诺图变量卡诺图u四变量的每个最小四变量的每个最小项有项有4 4个相邻的最小个相邻的最小项，图中项，图中m m5 5有有4 4个相个相邻最小项：邻最小项：m m1 1、m m4 4、m m7 7 、m m1313un n变量的每个最小项变量的每个最小项有有n n个相邻的最小项个相邻的最小项CDAB0011011000110110m1 m

26、0 m3 m2 m5 m4 m7 m6 m13 m12 m15 m14 m9 m8 m11 m10 同一行最左列的最同一行最左列的最小项与最右列的最小项与最右列的最小项也是相邻的小项也是相邻的同一列最上面一行的同一列最上面一行的最小项与最下面一行最小项与最下面一行的最小项也是相邻的的最小项也是相邻的26用卡诺图表示逻辑函数的方法用卡诺图表示逻辑函数的方法u任意一个任意一个n变量的逻辑函数可以转换成最小项表达式；变量的逻辑函数可以转换成最小项表达式；u而而n变量变量卡诺图包含了卡诺图包含了n变量的所有最小项；变量的所有最小项；u故故n变量变量卡诺图可以表示任意一个卡诺图可以表示任意一个n变量的逻

27、辑函数变量的逻辑函数u用卡诺图表示逻辑函数的方法用卡诺图表示逻辑函数的方法l将逻辑函数化为最小项表达式（将每个乘积将逻辑函数化为最小项表达式（将每个乘积项缺少的变量补上）；项缺少的变量补上）；l在卡诺图中找到这些最小项对应的位置，填在卡诺图中找到这些最小项对应的位置，填入入1，称为，称为“1”格；其余位置填入格；其余位置填入0，称为，称为“0”格（或者不填格（或者不填任何标记任何标记）27用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函数举例【例例2.3】利用卡诺图表示逻辑函数利用卡诺图表示逻辑函数解：（解：（1）先将）先将F化为最小项表达式化为最小项表达式 利用互补律，将每个乘积项缺少的变量补上利

28、用互补律，将每个乘积项缺少的变量补上28用卡诺图表示逻辑函数举例（续）用卡诺图表示逻辑函数举例（续）（2）再画出）再画出4变量卡诺图，在图中找到这些最小项变量卡诺图，在图中找到这些最小项对应的位置，填入对应的位置，填入1；其余位置不填；其余位置不填任何标记任何标记CDAB001101100011011011111111u先将逻辑函数化为先将逻辑函数化为最小项表达式，再最小项表达式，再填入卡诺图的方法填入卡诺图的方法十分繁琐十分繁琐u还可以采用还可以采用观察法观察法直接填卡诺图直接填卡诺图m13 m12 29用观察法在卡诺图中表示逻辑函数用观察法在卡诺图中表示逻辑函数u原理：任何一个原理：任何一

29、个最小项最小项，在卡诺图中可以找到，在卡诺图中可以找到一组一组变量的取值组合使变量的取值组合使其值为其值为1；任何一个；任何一个乘积项乘积项，在卡诺图中可以找到，在卡诺图中可以找到几组几组变量的取值组变量的取值组合使其值为合使其值为1，这些取值组合代表的最小项组即是该乘积项。，这些取值组合代表的最小项组即是该乘积项。【例例2.4】用用观观察察法法在在卡卡诺图中表示逻辑函数诺图中表示逻辑函数CDAB001101100011011011111111解：乘积项解：乘积项 不包含变量不包含变量D，D的取值与该乘积项无关，只要的取值与该乘积项无关，只要A、B、C的取值为的取值为110，该乘积项的，该乘积

30、项的值就为值就为1，使，使 为为1的变量取的变量取值组合有值组合有1100、1101，对应的最，对应的最小项为小项为m12、m13。将对应的方格。将对应的方格填入填入1，则得到该乘积项代表的，则得到该乘积项代表的最小项组最小项组302.1.4 逻辑函数的相等逻辑函数的相等 v某种逻辑关系的真值表是唯一的，但逻辑函数表达式不具有唯一性。某种逻辑关系的真值表是唯一的，但逻辑函数表达式不具有唯一性。v逻辑函数逻辑函数F（A1，A2，An）与）与G（A1，A2，An），若函数），若函数F与与G有相同的真值表，则称有相同的真值表，则称F和和G相等相等，记作，记作F=G。【例例2.5】判断函数判断函数F=

31、A+BC与函数与函数G=(A+B)(A+C)是否相等是否相等A B CF=A+BCG=(A+B)(A+C)0 0 0000 0 1000 1 0000 1 1111 0 0111 0 1111 1 0111 1 111则则F=G，即，即 A+BC=(A+B)(A+C)312.2 逻辑代数的运算法则逻辑代数的运算法则 2.2.1 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式2.2.2 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.2.3 逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式2.2.4 异或运算公式异或运算公式内容概要内容概要322.2.1 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式1 1、逻辑代数基本公理、逻辑代数

32、基本公理布尔恒等式布尔恒等式v公公理理1：设设A为为逻逻辑辑变变量量，若若A 0，则则A=1；若若A 1，则则A=0。v公理公理2：0 0=0；1+1=1。v公理公理3：1 1=1；0+0=0。v公理公理4：0 1=0；1+0=1；1 0=0；0+1=1。v公理公理5：0=1；1=0。逻辑代数逻辑代数的基本公式包括的基本公式包括5条条基本公理基本公理和和9条基本定律。条基本定律。33逻辑代数基本定律（逻辑代数基本定律（1/2）2 2、逻辑代数基本定律、逻辑代数基本定律（3）（3）交换律交换律：（4）（4）结合律结合律：（5）（5）分配律分配律：（1）（1）自等律自等律：（2）（2）0-1律律：

33、34逻辑代数基本定律（逻辑代数基本定律（2/2）（6）（6）互补律互补律：（7）（7）重叠律重叠律：反演律反演律：（8）（8）又称又称德德摩根定律摩根定律：积之反等于反之和积之反等于反之和（逻辑变量与运算后取反等于各逻辑变量与运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的或运算）个逻辑变量分别取反的或运算）；和之反等于反之积和之反等于反之积（逻辑变量或运算逻辑变量或运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的与运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的与运算）还原律还原律（对合律对合律）：）：（9）常用常用于化简时消去某个因子、配项；于化简时消去某个因子、配项；或者将或者将某个乘积项变为最小项某个乘积项变为最小项记住

34、！也适用记住！也适用于多个变量于多个变量常用常用于化于化简时添加某一项简时添加某一项352.2.2 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1 1、代入定理、代入定理v代入定理代入定理：在任何一个包含某个相同变量的逻辑等式：在任何一个包含某个相同变量的逻辑等式中，用另外一个函数式代入式中所有这个变量的位置，中，用另外一个函数式代入式中所有这个变量的位置，等式仍然成立。等式仍然成立。v用途：扩大基本公式和常用公式的使用范围用途：扩大基本公式和常用公式的使用范围例例如如已已知知：则则：逻辑代数逻辑代数的基本定理包括代入定理、反演定理和对偶定理。的基本定理包括代入定理、反演定理和对偶定理。36反演定理反

35、演定理v定理规定：将原函数定理规定：将原函数F中的全部中的全部“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成，原变量换成反变量，反变量换成原变量，所得到的新函数就是原函数的原变量，所得到的新函数就是原函数的反演式反演式，记作，记作 。v用途用途：直接求已知逻辑函数的反函数，可用于公式的化简：直接求已知逻辑函数的反函数，可用于公式的化简2 2、反演定理、反演定理【例例2.6】已知已知 ，试化简，试化简F。解：解：v规则规则：遵循遵循“（）（）”“”“”的运算优先顺序；的运算优先顺序；不属于单个变量上的不属于单个变量上的“非号非号”

36、在变换中不变。在变换中不变。则则根据包含律根据包含律已知已知则反函数则反函数不变不变不变不变37对偶定理对偶定理3 3、对偶定理、对偶定理v定理规定：将原函数定理规定：将原函数F中的全部中的全部“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，所得到的新函数就是原，所得到的新函数就是原函数的函数的对偶式对偶式，记作，记作F F或或F F*。v用途用途：已知某公式成立，则可以得到其对偶公式仍成立。扩：已知某公式成立，则可以得到其对偶公式仍成立。扩大了基本公式和常用公式的使用范围大了基本公式和常用公式的使用范围的对偶式是：的对偶式是：例例如如函函数数又如又如的对偶

37、式是：的对偶式是：w对偶定理与反演定理的不同：对偶定理与反演定理的不同：无须将原变量和反变量互换无须将原变量和反变量互换w对偶定理仍遵守反演定理的两条规则对偶定理仍遵守反演定理的两条规则（5）（5）分配律分配律：382.2.3 逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式v常用公式常用公式2：（11）证：证：对偶式：对偶式：（11）对偶式：对偶式：（10）证：证：v常用公式常用公式1：（10）吸收律吸收律1吸收律吸收律2w结结论论：若若两两个个乘乘积积项项除除了了公公有有因因子子外外，不不同同的的因因子子恰恰好好互互补补，则这两个乘积项可以合并为一个由公有因子组成的乘积项。则这两个乘积项可以合并为一个

38、由公有因子组成的乘积项。w结结论论：若若两两个个乘乘积积项项中中有有一一个个乘乘积积项项的的部部分分因因子子恰恰好好是是另另一一个个乘积项的全部，则这个乘积项是多余的。乘积项的全部，则这个乘积项是多余的。39常用公式常用公式3v常用公式常用公式3：（12）证证：根据分配律根据分配律对偶式：对偶式：（12）吸收律吸收律3w结结论论：若若两两个个乘乘积积项项中中有有一一个个乘乘积积项项的的部部分分因因子子恰恰好好是是另另一个乘积项的补，则该乘积项中的这部分因子是多余的。一个乘积项的补，则该乘积项中的这部分因子是多余的。多余多余40常用公式常用公式4及推论及推论v常用公式常用公式4：（13）对偶式：

39、对偶式：（13）证：证：CAABBCACABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB+=+=+=+=+)1()1()(v公式公式4推论：推论：证：证：包含律包含律w结结论论：若若两两个个乘乘积积项项中中的的部部分分因因子子恰恰好好互互补补，而而这这两两个个乘乘积积项项中中的的其其余余因因子子都都是是第第三三乘乘积积项项的的部部分分因因子子，则则这这个第三乘积项是多余的。个第三乘积项是多余的。由互补律配由互补律配项项由包含律由包含律配项配项多余多余412.2.4 异或运算公式异或运算公式A B=B AA(B C)=(A B)CA(B C)=(AB)(AC)v基本定律基本定律（1）交换律）

40、交换律（2）结合律）结合律（3）分配律）分配律v常量与变量之间的异或运算常量与变量之间的异或运算A A=0A 0=AA 1=AA A=142“异或异或”门电路的用途门电路的用途B=0时，时，F=A 0=AB=1时，时，F=A 1=A（1）可控的数码原）可控的数码原码码/反码输出器反码输出器w“异或异或”门的一个输入端门的一个输入端B作为作为控制控制端，另一个输入端端，另一个输入端A为数码输入端为数码输入端w当控制端为当控制端为“0”时，输出时，输出F为输入为输入A的原码；当控制端为的原码；当控制端为“1”时，时，F为为A的反码。的反码。（2）数码比较器）数码比较器w把要比较的数码加在把要比较的

41、数码加在“异或异或”门的输入端门的输入端w输出为输出为“0”说明两数码等值；输出为说明两数码等值；输出为“1”说明两数码不等值说明两数码不等值（3）求两数码的算术和）求两数码的算术和w两数码做算术加时，若不考虑进位，两数码做算术加时，若不考虑进位，则进行则进行“异或异或”运算正好得到算术和运算正好得到算术和 F=A BA BF=A B0 000 111 011 10FAB432.3 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式 2.3.1 逻辑函数的常用表达式逻辑函数的常用表达式2.3.2 逻辑函数的标准表达式逻辑函数的标准表达式内容概要内容概要442.3.1 逻辑函数的常用表达式逻辑函数的常用表达式v常

42、常用用表表达达式式包包括括：与与或或式式、或或与与式式、与与或或非非式式、与与非非与非式、或非或非式与非式、或非或非式 1&ABCF&D&1ABCF 1D1 1、与或式、与或式2 2、或与式、或与式3 3、与或非式、与或非式 1&ABCF&D45常用表达式常用表达式4 4、与非与非式、与非与非式&ABCF&D 1 1ABCF 1D5 5、或非或非式、或非或非式全部用全部用与非门与非门实现实现减少了使用门的种类减少了使用门的种类462.3.2 逻辑函数的标准表达式逻辑函数的标准表达式v逻逻辑辑函函数数的的表表达达形形式式是是不不唯唯一一的的，在在数数字字电电路路手手工工设设计计技技术术中中，为为

43、便便于于真真值值表表表表述述、卡卡诺诺图图表表述述和和逻逻辑辑化化简简等等，引引入入逻逻辑函数的标准表达式辑函数的标准表达式v逻辑函数的标准表达式建立在最小项和最大项概念基础上逻辑函数的标准表达式建立在最小项和最大项概念基础上v标准表达式包括：最小项表达式和最大项表达式标准表达式包括：最小项表达式和最大项表达式w最小项表达式最小项表达式是全部由最小项构成的是全部由最小项构成的与或式与或式（积之和式）（积之和式）w最大项表达式最大项表达式是全部由最大项构成的是全部由最大项构成的或与式或与式（和之积式）（和之积式）v最小项最小项w设有设有n个变量，它们所组成的具有个变量，它们所组成的具有n个变量的

44、个变量的“与与”项（项（乘积乘积项项）中，每个变量以原变量或反变量的形式）中，每个变量以原变量或反变量的形式出现出现且仅出现一且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。次，则这个乘积项称为最小项。wn个变量有个变量有2n个个最小项最小项47最小项的特点最小项的特点 对对于于任任何何一一个个最最小小项项，只只有有对对应应的的一一组组变变量量取取值值，使使其其值值为为1，其其余余情况下均为情况下均为0；全体最小项之和为全体最小项之和为1；任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0；具具有有相相邻邻性性的的两两个个最最小小项项之之和和可可以以合合并并为为一一个个乘乘积积项项，消消去去一一个个以以原变

45、量和反变量形式出现的变量，保留由没有变化的变量构成的乘积项。原变量和反变量形式出现的变量，保留由没有变化的变量构成的乘积项。相邻最小项相邻最小项：除一个变量互为相反外，其余变量均相同：除一个变量互为相反外，其余变量均相同的两个最小的两个最小项。项。w为书写方便，把为书写方便，把最小项记做最小项记做mi。w下下标标i的的取取值值规规则则：按按照照变变量量顺顺序序将将最最小小项项中中的的原原变变量量用用1表表示示、反反变变量量用用0表表示示，得得到到一一个个二二进进制制数数，与与其其对应的十进制数即该最小项的编号对应的十进制数即该最小项的编号i。w3变量（变量（A,B,C）有）有8个最小项：个最小

46、项：48最小项编号最小项编号最小项最小项ABC的取值的取值编号编号000m0001m1010m2011m3100m4101m5110m6111m7w根据最小项编号可以迅速推断它所代表的最小项。根据最小项编号可以迅速推断它所代表的最小项。49最大项最大项v最大项最大项w设有设有n个变量，它们所组成的具有个变量，它们所组成的具有n个变量的个变量的“或或”项（项（和项）和项）中，每个变量以原变量或反变量的形式出中，每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则这个和项称为最大项。现且仅出现一次，则这个和项称为最大项。wn个变量有个变量有2n个最大项个最大项w3变量（变量（A,B,C）有）有8个最

47、大项个最大项:50最大项的特点最大项的特点w最大项的最大项的特点特点 对对于于任任何何一一个个最最大大项项，只只有有对对应应的的一一组组变变量量取取值值，使使其值为其值为0，其余情况下均为，其余情况下均为1；全体最大项之积为全体最大项之积为0；任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1。具具有有相相邻邻性性的的两两个个最最大大项项之之积积可可以以合合并并为为一一个个和和项项，消消去去一一个个以以原原变变量量和和反反变变量量形形式式出出现现的的变变量量，保保留留由由没没有有变化的变量构成的和项。变化的变量构成的和项。w 为书写方便，把最大项记做为书写方便，把最大项记做Mi。w 下下标标i的的取取

48、值值规规则则：按按照照变变量量顺顺序序将将最最大大项项中中的的原原变变量量用用0表表示示、反反变变量量用用1表表示示，得得到到一一个个二二进进制制数数，与与其对应的十进制数即该最大项的编号其对应的十进制数即该最大项的编号i。51最大项编号最大项编号最大项最大项ABC的取值的取值编号编号000M0001M1010M2011M3100M4101M5110M6111M7w 最最小小项项与与最最大大项项的的关关系系：下下标标i i相相同同的的最最小小项项与与最大项互补，即最大项互补，即 。52最小项表达式最小项表达式1.1.最小项表达式最小项表达式w全部由最小项构成的与或式，全部由最小项构成的与或式，

49、也称也称标准与或式标准与或式，可由可由最小项推导法最小项推导法直接从真值表中导出。直接从真值表中导出。最小项最小项表达式表达式w例例如如：三三人人表表决决器器设设计计的的输输出出表表达达式式真值表真值表00 0 011 1 111 1 011 0 101 0 010 1 100 1 000 0 1FA B C最简略最简略w 利利用用基基本本公公式式 配配项项，可可以以把把任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数化化为为最最小小项项表表达达式式，这这种种标标准准形形式式被被广广泛泛用于逻辑函数化简、计算机辅助分析与设计。用于逻辑函数化简、计算机辅助分析与设计。53最大项表达式最大项表达式w全部由最大项构

50、成的或与式，也称全部由最大项构成的或与式，也称标准或标准或与式与式，可由，可由最大项推导法最大项推导法直接从真值表中直接从真值表中导出。导出。最大项最大项表达式表达式2.2.最大项表达式最大项表达式w例例如如：三三人人表表决决器器设设计计的的输输出出表表达达式式真值表真值表00 0 011 1 111 1 011 0 101 0 010 1 100 1 000 0 1FA B C最简略最简略【例例 2.7】将将 写写 成成 标标 准准 与与 或或 表表 达达 式式。542.4 逻辑函数的简化法逻辑函数的简化法2.4.1 逻辑函数简化的意义逻辑函数简化的意义2.4.2 逻辑函数的公式简化法逻辑函