maple数学软件8.ppt

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1、第七章 解方程 方程在数学的发展过程中有重要作用，从最初的代数方程在数学的发展过程中有重要作用，从最初的代数方程、超越方程到微分方程都在一定程度上推动了数学的方程、超越方程到微分方程都在一定程度上推动了数学的发展。借助于计算机强大的计算能力，发展。借助于计算机强大的计算能力，Maple提供了求解提供了求解代数方程、超越方程和微分方程精确解和数值解的工具。代数方程、超越方程和微分方程精确解和数值解的工具。7.1 多项式多项式 1、多项式的定义、多项式的定义(1)赋值赋值f:=x4-3*x2+2*x-5;f:=x-(x-1)3+2*x-3;(2)随机生成随机生成f:=randpoly(x);g:=

2、(x,y)-randpoly(x,y);2、多项式的操作、多项式的操作(1)提取多项式的系数提取多项式的系数(2)可以用函数可以用函数coeff提取多项式的系数提取多项式的系数,(3)格式格式:coeff(p,x,n),coeff(p,xn);(4)多元多项式用多元多项式用coeffs(p);(5)如如:(6)f:=randpoly(x);(7)g:=(x,y)-randpoly(x,y):(8)coeff(f,x);coeff(f,x2);coeff(f,x,3);(9)coeffs(g(x,y);(2)提取多项式的项提取多项式的项op(i,e);#提取表达式提取表达式e的第的第i项项op(

3、i.j,e);#提取表达式提取表达式e的第的第i至至j项项nops(e);#计算表达式计算表达式e总的项数总的项数例如例如:e:=randpoly(x);op(1,e);op(3.5,e);op(e);nops(e);(3)多项式的开方多项式的开方平方根平方根:psqrt(p);如果不是完全平方如果不是完全平方,返回返回 _NOSQRTn次方根次方根:proot(p,n);如果不是完全如果不是完全n次方次方,返回返回 _NOROOT例如例如:psqrt(x4-2*x2+1);psqrt(x2-2*x+3);proot(x3-3*x2+3*x-1,3);proot(x4-2*x2+1,4);(4

4、)多项式的商和余式多项式的商和余式求多项式相除的商求多项式相除的商:quo(p1,p2,x,r);#所得结果为所得结果为p1除以除以p2的商的商,r保存余式保存余式(可选项可选项)求多项式相除的余式求多项式相除的余式:rem(p1,p2,x,q);#所得结果为所得结果为p1除以除以p2的余式的余式,q保存商保存商(可选项可选项)例如例如:p1:=x6-4*x3+3*x2-2*x+4;p2:=x3+2*x2-3*x-1;q1:=quo(p1,p2,x,r1);r2:=rem(p1,p2,x,q2);evalb(q1=q2);evalb(r1=r2);(5)合并同类项合并同类项调用函数调用函数co

5、llect格式格式:collect(p,x);其中其中x是单变量或多变量的列表或集合是单变量或多变量的列表或集合例如例如:f:=a*ln(x)-ln(x)*x-x;collect(f,ln(x);g:=int(x2*exp(x)+exp(-x),x);collect(g,exp(x);p:=x*y+a*x*y+y*x2-a*y*x2+a*x+x+y;collect(p,x,y);collect(p,x,y);collect(p,y,x);collect(p,y,x);(6)多项式的因式分解多项式的因式分解调用函数调用函数factor对多项式进行因式分解对多项式进行因式分解.格式格式:facto

6、r(p);factor(p,k);ifactor(n);#对整数进行分解对整数进行分解前者在有理数域分解前者在有理数域分解,后者可以在实数或复数域中分解后者可以在实数或复数域中分解.例如例如:factor(6*x2+18*x-24);factor(x3+5);factor(x3+5,real);factor(x3+5,complex);factor(x3+5,5(1/3);factor(x3+5,5(1/3),(-3)(1/2);ifactor(480);1、多项式的判别式、多项式的判别式例如：例如：p1:=a*x2+b*x+c;discrim(p1,x);p2:=a*x3+b*x2+c*x+

7、d;discrim(p2,x);多项式的判别式在求根中具有重要作用多项式的判别式在求根中具有重要作用,可以使用函数可以使用函数discrim得出判别式得出判别式.格式为格式为:discrim(p,x).7.2 多项式运算多项式运算 2、多项式的展开、多项式的展开使用函数使用函数expand展开多项式展开多项式.格式格式:expand(p);例如例如:f1:=x2+x+1;f2:=x+1;f:=f1*f2;expand(f);f1:=3*x+4*x*y-5;f:=f1*(-8*x2-6*y2+5*x);expand(f);simplify(f);3、多项式的约简、多项式的约简调用函数调用函数no

8、rmal对多项式或有理式进行化简对多项式或有理式进行化简.格式格式:normal(p,expanded);#expanded是可选项是可选项.例如例如:restart:normal(x2-(x+1)*(x-1)-1);normal(x2-y2)/(x-y)3);normal(f(x)2-1)/(f(x)-1);normal(sin(x*(x-1)+x);normal(1/x+x/(x+1);normal(1/x+x/(x+1),expanded);7.3 有理函数有理函数1、获取有理函数的分子分母、获取有理函数的分子分母可以调用可以调用numer和和denom来获取分子和分母来获取分子和分母.

9、格式格式:numer(x);denom(x);例如例如:f:=(x2+x+1)/(x+y2);numer(f);denom(f);numer(x+1/(x+1/x);denom(x+1/(x+1/x);调用调用convert可以将有理函数转换为不同的形式可以将有理函数转换为不同的形式.格式格式:convert(f,parfrac,x);其中其中,f为为x的有理函数的有理函数,parfrac表示分解为部分有理式的表示分解为部分有理式的和和.例如例如:f:=(x+3)/(x2-5*x+6);convert(f,parfrac,x);convert(x+1)/(x-y)2,parfrac,x);co

10、nvert(x3-4*x2+3*x-1)/(x4-4*x3+6*x2-4*x+1),parfrac,x);2、有理式转换、有理式转换convert(float,fraction);如如:convert(1.23456,fraction);onvert也可以进行十进制数与其它进制数之间的转换也可以进行十进制数与其它进制数之间的转换.如如:convert(64,binary);convert(63,octal);convert(65535,hex);convert(FFFF,decimal,hex);3、浮点数转化为有理数、浮点数转化为有理数可以利用可以利用convert进行三角表达式的转换进行三

11、角表达式的转换.例如例如:f:=int(tan(x)5*sec(x)3,x);g:=simplify(f);convert(g,sec);expand(%);convert(tan(x)5+sec(x)3*sin(x),sincos);7.4 一元一元n次方程次方程 1、高次方程的精确解、高次方程的精确解对于次数不超过对于次数不超过4的一元方程的一元方程,都可以得到它在复数范围都可以得到它在复数范围内的根的表达式内的根的表达式,调用调用solve在复数范围内可以求出不超过在复数范围内可以求出不超过4次的一元方程的精确解次的一元方程的精确解.格式为格式为:solve(eq,x).例如例如:sol

12、ve(x2-2*x+3=0,x);solve(a*x3+b*x2+c*x+d=0,x);solve(3*x4-2*x3+2*x2-4*x+5=0);evalf(%);调用调用fsolve可以求方程的浮点解可以求方程的浮点解.格式格式:fsolve(eqs,vars,K);其中其中,eqs为为方程或方程组方程或方程组,vars为为变量集合变量集合,可选项可选项K表表示范围示范围.例如例如:fsolve(2*x+1=abs(2x-1),x);eq:=tan(sin(x)-exp(-3*x)=0;fsolve(eq,x=0.1);fsolve(eq,x=1.4);f1:=x2-y2=1;f2:=y=

13、exp(x);fsolve(f1,f2,x,y);2、方程的浮点解、方程的浮点解solve也可以求用于解不等式或不等式组也可以求用于解不等式或不等式组.例如例如:solve(x-1)*(x-2)*(x-3)1,x);solve(x21,y2=1,x+y1/2,x,y);solve(x+y+1/(x+y)=9,x);3、不等式求解、不等式求解用二分法求方程的根用二分法求方程的根一、提出问题一、提出问题一、提出问题一、提出问题 设函数设函数f(x)在在a,b上单调连续，且上单调连续，且f(a)f(b)x3+1.1*x2+0.9*x-1.4;plot(f(x),x=-2.2);Step2:求根的近似

14、值求根的近似值.a:=0.;b:=1.;while abs(b-a)=10(-10)do c:=(a+b)/2;if f(c)*f(a)0 then a:=c;b:=b;elif f(c)*f(b)0 then a:=a;b:=c;else a:=c;b:=c;end if;a=a,b=b,c=c;end do;通过计算，求得方程根的近似值为通过计算，求得方程根的近似值为0.6706573107.7.5 常微分方程常微分方程 Maple能显式或隐式地解析求解许多常微分方程能显式或隐式地解析求解许多常微分方程.主主要使用函数要使用函数dsolve求解求解.dsolve的调用格式的调用格式:dso

15、lve(ode,func,implicit);例如例如:dsolve(diff(y(x),x)=y(x),y(x),implicit);dsolve(diff(y(x),x)+y(x)=x,y(x);1、一阶常微分方程、一阶常微分方程例例例例1 1 1 1 求方程求方程的通解的通解.restart;eq:=diff(y(x),x)-2*y(x)/(x+1)=(x+1)(5/2);dsolve(eq,y(x);factor(%);assign(%);lj:=seq(subs(_C1=i,y(x),i=-4.4);plot(lj,x=-2.2,y=-10.10,color=black);理论上将常

16、微分方程分成理论上将常微分方程分成 y(n)=f(x),y”=f(x,y),y”=f(y,y)三种类型三种类型,一般是利用变量替换化归为一阶线性一般是利用变量替换化归为一阶线性微分方程求解微分方程求解.但在但在Maple中调用中调用dsolve求解比较方便求解比较方便.2、可降阶的高阶线性常微分方程、可降阶的高阶线性常微分方程例例例例2 2 2 2 分别求微分方程分别求微分方程的通解的通解.eq1:=diff(y(x),x$3)=exp(2*x)-cos(x);eq2:=(1+x2)*diff(y(x),x$2)=2*x*diff(y(x),x);eq3:=y(x)*diff(y(x),x$2

17、)-diff(y(x),x)2=0;dsolve(eq1,y(x);dsolve(eq2,y(x);dsolve(eq3,y(x);3、高阶线性常微分方程、高阶线性常微分方程例例例例3 3 3 3 分别求微分方程分别求微分方程的通解的通解.eq1:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)-3*y(x)=0;eq2:=diff(y(x),x$4)-2*diff(y(x),x$3)+5*diff(y(x),x$2)=0;eq3:=diff(y(x),x$2)-5*diff(y(x),x)+6*y(x)=x*exp(2*x);dsolve(eq1,y(x);dsolve(eq2,

18、y(x);dsolve(eq3,y(x);assign(%);lj:=seq(seq(subs(_C1=3*i,_C2=3*j,y(x),i=-1.1),j=-1.1);plot(lj,x=-3.3,y=-10.10,color=blue);4、常微分方程的数值解、常微分方程的数值解例例例例4 4 4 4 解微分方程解微分方程restart:eq:=diff(y(x),x)=sqrt(x2+y(x)2);dsolve(eq,y(0)=-1,y(x);s:=dsolve(eq,y(0)=-1,y(x),numeric);s(0)2;s(0.1)2;plot(rhs(s(x)2),x=0.1);#

19、rhs(eq):取取eq右边的项右边的项例例例例5 5 5 5 求满足给定初始条件的微分方程的解求满足给定初始条件的微分方程的解restart:eq:=diff(y(x),x$2)-x*y(x)=0;dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x);dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x),type=series);幂级数解法幂级数解法7.6 常微分方程组常微分方程组例例例例1 1 1 1 解微分方程组解微分方程组restart;eqs:=diff(y(x),x)=3*y(x)-2*z(x),diff(z(x),x)=2*y(x)-z(x);dsolve(eqs,y(x),z(x);例例例例2 2 2 2 解微分方程组解微分方程组restart;eqs:=diff(x(t),t)=2*x(t)-y(t)-z(t),diff(y(t),t)=2*x(t)-y(t)-2*z(t),diff(z(t),t)=2*z(t)-x(t)+y(t);dsolve(eqs,x(t),y(t),z(t);