11-04 泰勒级数与幂级数(中)-13.ppt

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1、1/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 3.3.求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间.2/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 3/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 原级数绝对收敛。原级数绝对收敛。原级数发散。原级数发散。收敛半径为：收敛半径为：4/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 3.3.求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间.解解:收敛收敛.发散发散.(*)对于对于(*)一一一一、函数项级数的概念函数项级数的概念函数项级数的概念函数项级数的概念微微积积分分电电子子教教案案二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性

2、三、幂级数的性质三、幂级数的性质三、幂级数的性质三、幂级数的性质四、泰勒级数四、泰勒级数四、泰勒级数四、泰勒级数五、函数展开成幂级数五、函数展开成幂级数五、函数展开成幂级数五、函数展开成幂级数6/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 在收敛域上，函数项级数的和是在收敛域上，函数项级数的和是 的函数的函数 ，称称 为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数。7/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 上式两边积分得：上式两边积分得：于是于是幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变，幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变，但是收敛区间可能改变。但是收敛区间可能改变。8/26微积分微积分微

3、积分微积分十一十一十一十一 解：解：例例4 4发散发散;发散发散;故幂级数的收敛区间为故幂级数的收敛区间为9/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 解：解：例例4 4上式上式求导：求导：10/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 解：解：例例4 411/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 解解例例 5 5 求级数求级数 =-11)1(nnnnx的和函数的和函数.收敛收敛;发散发散;故幂级数的收敛区间为故幂级数的收敛区间为12/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 解解两边积分得两边积分得例例 5 5 求级数求级数 =-11)1(nnnnx的和函数的和函数.13

4、/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 解：解：例例6 6发散发散;收敛收敛;故幂级数的收敛区间为故幂级数的收敛区间为14/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 解：解：例例6 615/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 练习练习.求求 的和函数，并求的和函数，并求解：解：当当 x=1/2 时，时，16/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 幂级数的和函数幂级数的和函数 S(x).如如使得幂级数在其收敛区间使得幂级数在其收敛区间X内恰好等于内恰好等于 f(x)？即？即相反的问题：相反的问题：f(x)如果如果能能展开为幂级数，则称展开为幂级数，则称为为f(x)的

5、的幂级数幂级数展开式展开式对于给定的函数对于给定的函数 f(x)能不能找到一能不能找到一个幂级数个幂级数17/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 含义不同含义不同:(1)表示幂级数的和函数表示幂级数的和函数 (2)表示函数变为幂级数即展开为幂级数表示函数变为幂级数即展开为幂级数.(1)(2)f(x)如果能如果能展开为幂级数展开为幂级数(分为两种分为两种):):18/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 问题问题:2.如果能展开如果能展开,是什么是什么?3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?1.泰勒级数与麦克劳林级数泰勒

6、级数与麦克劳林级数19/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 定理不仅给出定理不仅给出求函数幂级数展开式的系数的方法求函数幂级数展开式的系数的方法，而且而且说明函数的幂级数展开式是唯一的。说明函数的幂级数展开式是唯一的。定义定义特别地当特别地当 x0=0时，则称时，则称20/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 泰勒泰勒级数和定理级数和定理1 1的微妙区别的微妙区别:如果函数如果函数f(x)在点在点x0 0处处能能展开为幂级数展开为幂级数,则其幂级数则其幂级数展开式展开式一定是泰勒级数一定是泰勒级数.?如果按这种方法构造一个级数如果按这种方法构造一个级数 该级数的收敛区间该级数

7、的收敛区间?泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定.21/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 定理定理 如果函数如果函数f(x)在在x0 0的某邻域内具有直到的某邻域内具有直到n+1+1阶阶的导数，则对该邻域内任意的的导数，则对该邻域内任意的x，有有：拉格朗日余项拉格朗日余项（泰勒中值定理）泰勒中值定理）f(x)在点在点x0 0处的处的n阶阶泰勒公式泰勒公式2 2、泰勒公式泰勒公式22/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2阶：阶：1阶：阶：0阶：阶：23/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 特别地特别地,若若x0=0,则有则有:比较比较泰勒级数泰勒级数和和泰勒公式泰勒公式:即泰勒级数收敛于即泰勒级数收敛于f(x).此时必须此时必须泰勒级数的前泰勒级数的前n+1项项24/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 函数展开成幂级数的充分必要条件函数展开成幂级数的充分必要条件定理定理特别地特别地,若若x0=0,则有则有:称称f(x)在在x=0点展开成点展开成麦克劳林级数麦克劳林级数25/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 构造泰勒级数构造泰勒级数26/26微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 作业作业：习题习题11-4（P473）3.