用拉氏变换求解线性微分方程.ppt

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1、步骤步骤：1、给定系统的输入和必要初始条件。（输出的、给定系统的输入和必要初始条件。（输出的响应函数必然在某种输入激励条件下产生）响应函数必然在某种输入激励条件下产生）2、对微分方程两边进行拉氏变换，变微分运算、对微分方程两边进行拉氏变换，变微分运算为代数运算。为代数运算。3、在、在S域中解出系统输出的拉氏变换表达式，应域中解出系统输出的拉氏变换表达式，应用拉氏反变换求得其时域解。用拉氏反变换求得其时域解。2.3.6 用拉氏变换求解线性微分方程用拉氏变换求解线性微分方程1计算机控制技术课程讲义例：前例例：前例3力学系统，力学系统，系统输出：速度系统输出：速度 V 系统输入：力系统输入：力 F给

2、定系统的输入和初始条件：给定系统的输入和初始条件：F（t）=1（t）、）、V（0）=0则有：则有：求求:V（t）VFFzm阻尼器阻尼器2计算机控制技术课程讲义微分定理及线性性质微分定理及线性性质两边做拉氏变换两边做拉氏变换解出解出V（s）进行反变换进行反变换3计算机控制技术课程讲义拉氏变换表：拉氏变换表：1/f0V(t)t4计算机控制技术课程讲义2.4 传递函数和方框图传递函数和方框图线性系统的传递函数是在零初始条件下，系统输线性系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出的拉普拉氏变换与系统输入的拉普拉氏变换出的拉普拉氏变换与系统输入的拉普拉氏变换之比。记为：之比。记为：G（s）2.4.1 传递

3、函数定义传递函数定义其中：其中：Y（s）系统输出的拉普拉氏变换系统输出的拉普拉氏变换 X（s）系统输入的拉普拉氏变换系统输入的拉普拉氏变换5计算机控制技术课程讲义线性系统微分方程的通式：线性系统微分方程的通式：设定：设定：y(t)、Y（s）为系统输出及其拉普拉氏变换为系统输出及其拉普拉氏变换 x(t)、X（s）为系统输入及其拉普拉氏变换为系统输入及其拉普拉氏变换 a、b 为实常数为实常数6计算机控制技术课程讲义导出线性系统传递函数的通式为：导出线性系统传递函数的通式为：传递函数的特点：传递函数的特点：z反映系统内部运动特征、与输入输出取值无关反映系统内部运动特征、与输入输出取值无关z与系统内部

4、结构、研究对象选择有关与系统内部结构、研究对象选择有关z由于系统惯性普遍存在，总有由于系统惯性普遍存在，总有 n=mz传递函数的拉氏反变换即为系统的单位脉冲响应传递函数的拉氏反变换即为系统的单位脉冲响应7计算机控制技术课程讲义2.4.2 典型系统的传递函数典型系统的传递函数1、比例环节：、比例环节：微分方程微分方程 传递函数传递函数 K：常数常数2、惯性环节：惯性环节：微分方程微分方程 传递函数传递函数 T：惯性时间常数惯性时间常数8计算机控制技术课程讲义3、积分环节：、积分环节：微分方程微分方程 传递函数传递函数 T：积分时间常数积分时间常数4、微分环节：微分环节：微分方程微分方程 传递函数

5、传递函数 T：微分时间常数微分时间常数9计算机控制技术课程讲义5、振荡环节：、振荡环节：微分方程（略）微分方程（略）：振荡角频率振荡角频率 ：阻尼比阻尼比 传递函数传递函数6、延迟环节：延迟环节：微分方程微分方程 传递函数传递函数 ：延迟时间延迟时间10计算机控制技术课程讲义2.4.3 方框图方框图1、信号线：用矢量标明信号流向，用时域函数或、信号线：用矢量标明信号流向，用时域函数或拉氏变换标明信号。拉氏变换标明信号。2.4.3.1 方框图的组成方框图的组成2、分支点：表示信号分两路传输，这两路信号均、分支点：表示信号分两路传输，这两路信号均与原信号相同，无能量分配。与原信号相同，无能量分配。

6、v(t)V(s)V(s)V(s)V(s)11计算机控制技术课程讲义3、相加点：表示两路信号相加减，运算符在信号、相加点：表示两路信号相加减，运算符在信号线端点边标出，通常可省略线端点边标出，通常可省略+号。号。4、环节：用方框表示信号处理环节，在方框中标、环节：用方框表示信号处理环节，在方框中标出该环节的传递函数。出该环节的传递函数。V1(s)V1(s)V2(s)V2(s)G(s)12计算机控制技术课程讲义2.4.3.2 方框图的建立方框图的建立 步骤：物理过程分析步骤：物理过程分析=微分方程微分方程=传递函数传递函数=方框图方框图 例子：水位系统中的水槽例子：水位系统中的水槽水槽水槽用水用水给水给水Q outH阀门阀门Q in13计算机控制技术课程讲义水位系统中水槽的方框图：水位系统中水槽的方框图：系统输出：系统输出：H系统输入：系统输入：Q in并假定用水流量与水位成正比：并假定用水流量与水位成正比：Q out=aHQ in(s)1/k s aQ out(s)H(s)14计算机控制技术课程讲义