Chapter_2__二次量子化.ppt

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1、9年年10月月第二章第二章 二次量子化二次量子化吉林大学原子与分子所高量讲义12/28/20221引言引言全同多粒子体系全同多粒子体系难以用通常的波函数处理难以用通常的波函数处理发展了发展了二次量子化方法二次量子化方法 引入引入粒子占有数表象粒子占有数表象用各单粒子态填充用各单粒子态填充的粒子数描述状态；的粒子数描述状态；交换对称性交换对称性自动满足自动满足 基本算符：粒子的基本算符：粒子的产生算符产生算符和和消灭算符消灭算符 任意态矢和力学量均可用它们表示任意态矢和力学量均可用它们表示 有系统的法则计算力学量的矩阵元有系统的法则计算力学量的矩阵元12/28/202222.1全同粒子系的量子态

2、描述全同粒子系的量子态描述12/28/20223为什么要引入粒子数表象？为什么要引入粒子数表象？1.1.全同粒子的交换对称性全同粒子的交换对称性何为全同粒子？何为全同粒子？2.2.全同性与量子化的概念全同性与量子化的概念区别于经典区别于经典12/28/20224一、多粒子体系的哈密顿量一、多粒子体系的哈密顿量对哈密顿量的分析对哈密顿量的分析12/28/20225二、全同粒子系的坐标表象二、全同粒子系的坐标表象12/28/2022612/28/2022712/28/20228Pauli原理12/28/20229以上式知，若以上式知，若k k1 1=k=k2 2,则则 即此种态不存在，即此种态不存

3、在，PauliPauli原理。（不能有两个全同的原理。（不能有两个全同的FermiFermi子处于同一个子处于同一个但粒子态）但粒子态）12/28/20221012/28/20221112/28/2022122.2N个全同粒子体系的波函数个全同粒子体系的波函数粒子数表象粒子数表象12/28/202213由上得知：Fermi子Bose子12/28/202214Slater行列式行列式 全同粒子具有不可分辨性全同粒子具有不可分辨性全同多粒子体系的波函数必须满足全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性交换对称性 费米子费米子交换反对称交换反对称泡利不相容原理泡利不相容原理 玻色子玻色子交换对称交换对

4、称12/28/202215坐标表象带来的繁琐坐标表象带来的繁琐12/28/202216为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产生算符和湮灭算符生算符和湮灭算符12/28/202217引入：考虑一维谐振子的Hamilton量，H=1/2P2+1/2x212/28/20221812/28/20221912/28/202220推广到N维谐振子的情况有：12/28/202221Bose子体系12/28/202222Fermi子体系的描述12/28/20222312/28/20222412/28/20222512/28/20222612/28/202227

5、2.1 Bose2.1 Bose算符表示算符表示12/28/2022282.2.1 Bose子子单单体算符体算符引入思路：由坐标表象下算符的矩阵元表示及平均值计算，推广至粒子数表象下。若两种情况下算符矩阵元和平均值一致，则说明粒子数表象可代替坐标表象。12/28/20222912/28/20223012/28/20223112/28/20223212/28/20223312/28/20223412/28/20223512/28/20223612/28/20223712/28/20223812/28/20223912/28/20224012/28/20224112/28/20224212/28/

6、20224312/28/20224412/28/20224512/28/20224612/28/20224712/28/2022482.4 坐标表象与二次量子化1.坐标表象12/28/20224912/28/20225012/28/20225112/28/20225212/28/20225312/28/20225412/28/20225512/28/202256二次量子化二次量子化12/28/202257=12/28/20225812/28/20225912/28/20226012/28/20226112/28/20226212/28/202263=12/28/202264=12/28/202

7、26512/28/20226612/28/20226712/28/20226812/28/202269与与FermiFermi子相同子相同+号来源于号来源于BoseBose子子的交换对称性的交换对称性多个多个BoseBose子处于同子处于同一个单粒子态一个单粒子态12/28/202270一般结论一般结论对称性确保满足全同性对称性确保满足全同性不可分辨性不可分辨性费米子体系波函数的反对称性费米子体系波函数的反对称性确保满足泡利不相容原理确保满足泡利不相容原理12/28/202271一、粒子数表象的由来一、粒子数表象的由来上述结论启发人们采用上述结论启发人们采用粒子数表象粒子数表象引入粒子的引入粒

8、子的产生产生和和消灭算符消灭算符以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算这种方法就叫做这种方法就叫做二次量子化方法二次量子化方法12/28/202272二、粒子的真空态；产生消灭算符二、粒子的真空态；产生消灭算符产生算符的定义产生算符的定义真空态真空态定义；归一化条件定义；归一化条件单个粒子的状态单个粒子的状态N个粒子的状态个粒子的状态12/28/202273二、粒子的真空态；产生消灭算符二、粒子的真空态；产生消灭算符消灭算符的定义消灭算符的定义作用于真空态的效果作用于真空态的效果产生和消灭算符互为厄米共轭；产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米非厄米12/28/202

9、274一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系产生算符表示状态应与产生算符表示状态应与Slater行列式等价行列式等价产生算符的对易关系产生算符的对易关系消灭算符的对易关系消灭算符的对易关系12/28/202275一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系态矢量的正交归一化态矢量的正交归一化产生算符与消灭算符之间的对易关系产生算符与消灭算符之间的对易关系12/28/202276一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系N个费米子处于个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示个单粒子态的

10、态矢量表示态矢量表示态矢量表示厄米共轭厄米共轭反对易关系反对易关系12/28/202277一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系利用对易关系计算利用对易关系计算 一般地，有一般地，有12/28/202278一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系同理可得同理可得12/28/202279一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系总粒子数算符总粒子数算符进而得到进而得到12/28/202280二、力学量的表示二、力学量的表示单粒子算符单粒子算符例：单粒子动能算符例：单粒子动能算符

11、N个粒子体系的动能算符个粒子体系的动能算符在粒子数表象中的表达式在粒子数表象中的表达式其中矩阵元的含义其中矩阵元的含义12/28/202281二、力学量的表示二、力学量的表示双粒子算符双粒子算符例：两个粒子相互作用位能算符例：两个粒子相互作用位能算符 N个粒子体系总的相互作用位能算符个粒子体系总的相互作用位能算符 在粒子数表象中的表达式在粒子数表象中的表达式其中矩阵元的含义其中矩阵元的含义12/28/202282二、力学量的表示二、力学量的表示力学量表达式的由来力学量表达式的由来要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到 单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元

12、单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元有有一个态不相同的情况一个态不相同的情况 双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元有有一个态不相同的情况一个态不相同的情况12/28/202283二、力学量的表示二、力学量的表示力学量表达式的由来力学量表达式的由来在粒子数表象下用上述力学量计算的结果在粒子数表象下用上述力学量计算的结果与此完全一致与此完全一致12/28/2022842.4维克定理维克定理Wick Theorem12/28/202285一、正规积与收缩一、正规积与收缩正规积正规积定义：定义：FermiFermi子产生或湮灭算符，算符乘积子产生或湮灭算符，算符乘积ABC

13、DABCD的正规乘积记为的正规乘积记为:ABCD:ABCD:,:,(a)(a)作用于真空态上为作用于真空态上为0 0的算符放在右边。不为的算符放在右边。不为0 0 的算符放在左边的算符放在左边（b b）任何两个算符交换出现一个负号）任何两个算符交换出现一个负号按此定义，正规积在真空态下的平均值为按此定义，正规积在真空态下的平均值为0 0，即，即:ABCD=0:=012/28/202286一、正规积与收缩一、正规积与收缩收缩收缩两算符乘积的收缩乘积正规积两算符乘积的收缩乘积正规积定义：定义：12/28/202287二、二、Wick定理定理n个产生算符与个产生算符与m个消灭算符的交叉乘积个消灭算符

14、的交叉乘积在真空态上的平均值在真空态上的平均值当当n+m=奇数，为零奇数，为零当当n+m=偶数，为一切可能的收缩乘积之和偶数，为一切可能的收缩乘积之和 例：例：12/28/202288三、三、Wick定理的应用定理的应用利用利用Wick定理，可以方便地计算矩阵元定理，可以方便地计算矩阵元 计算单粒子（单体）算符的矩阵元计算单粒子（单体）算符的矩阵元列表计算收缩列表计算收缩12/28/202289三、三、Wick定理的应用定理的应用 计算单体算符的矩阵元（续）计算单体算符的矩阵元（续）代入单粒子位能算符矩阵元表达式代入单粒子位能算符矩阵元表达式12/28/202290三、三、Wick定理的应用定

15、理的应用 计算双粒子（二体）算符的矩阵元计算双粒子（二体）算符的矩阵元代入双粒子位能算符矩阵元表达式代入双粒子位能算符矩阵元表达式12/28/2022912.5 Hartree-Fock 自洽场Hartree方法中，为计及全同粒子波函数的交换对称性。Fock考虑了Fermi子的多体波函数的交换反对称性。应用：原子中的电子壳模型思路：q表象 粒子数表象12/28/202292坐标表象下H-F自洽场考虑由N个的全同Fermi子体系，Hamilton量表示为：12/28/202293交换项：波函数交换反对称性交换项：波函数交换反对称性12/28/202294二次量子化下H-F12/28/202295