Bezier曲线B样条曲线.ppt

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1、第第5 5章章 曲线与曲面的生成与计算曲线与曲面的生成与计算5 5.1 .1 曲线的参数表示曲线的参数表示 5 5.2 Bezier.2 Bezier、B B样条曲线的生成样条曲线的生成5 5.3 .3 曲面的参数表示曲面的参数表示 5 5.4 Bezier.4 Bezier、B B样条曲面的生成样条曲面的生成曲线和曲面曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。例如：在实际工作中有着广泛的应用。例如：实验、统计数据如何用曲线表示。实验、统计数据如何用曲线表示。设计、分析、优化的结果如何用曲线、曲面表示。设计、分析、优化

2、的结果如何用曲线、曲面表示。汽车、飞机等具有曲面外形的产品怎样进行设计，才汽车、飞机等具有曲面外形的产品怎样进行设计，才能使之美观且物理性能最佳。能使之美观且物理性能最佳。由于实际问题不断对曲线、曲面有许多新的要求，近二十由于实际问题不断对曲线、曲面有许多新的要求，近二十年来，有关曲线曲面的研究文章、专著层出不穷。在实际工作年来，有关曲线曲面的研究文章、专著层出不穷。在实际工作中，中，人们常用曲线有人们常用曲线有Bezier、B样条、非均匀有理样条、非均匀有理B样条样条(Nurbs)、圆锥曲线、等距线、过度线等；常用的曲面有、圆锥曲线、等距线、过度线等；常用的曲面有Bezier曲面、曲面、B样

3、条曲面、样条曲面、Coons曲面等曲面等。曲线与曲面的生成与计算曲线与曲面的生成与计算 在本章中，我们将主要介绍在本章中，我们将主要介绍曲线曲面的参数表示曲线曲面的参数表示,Bezier,Bezier,B B样条曲线以及样条曲线以及BezierBezier、B B样条曲面的概念和特征样条曲面的概念和特征。在具体讲述上面知识之前，有必要了解一下如下几个概念在具体讲述上面知识之前，有必要了解一下如下几个概念的区别和联系。的区别和联系。1曲线绘制曲线绘制：这类问题归结为已知曲线方程，要求画出曲线：这类问题归结为已知曲线方程，要求画出曲线2曲线插值曲线插值：由实验、观测或计算得到了若干个离散点组成的点

4、列，要：由实验、观测或计算得到了若干个离散点组成的点列，要求用求用光滑的曲线光滑的曲线把这些离散点连结起来。把这些离散点连结起来。3曲线逼近曲线逼近：在曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用一曲线逼近：在曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用一曲线逼近这个折线轮廓，这类问题称为曲线逼近。这个折线轮廓，这类问题称为曲线逼近。（注：曲线插值与曲线逼近的区别：逼近不要求曲线通过数据点）（注：曲线插值与曲线逼近的区别：逼近不要求曲线通过数据点）4曲线拟合曲线拟合：曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法是生成的曲曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法是生成的曲线、曲面达到某些设计要求线、曲面达到某些

5、设计要求。曲线与曲面的生成与计算曲线与曲面的生成与计算v曲线、曲面可以有显式、隐式和参数表示，但从计算机曲线、曲面可以有显式、隐式和参数表示，但从计算机图形学和计算几何的角度来看，还是使用参数表示较好，图形学和计算几何的角度来看，还是使用参数表示较好，因为采用参数方法表示曲线和曲面，可以将其形状从特定因为采用参数方法表示曲线和曲面，可以将其形状从特定坐标系的依附性中解脱出来，很容易借助计算机得以实现。坐标系的依附性中解脱出来，很容易借助计算机得以实现。v一个动点的轨迹可以用位置向量一个动点的轨迹可以用位置向量P来描述，如下图所示：来描述，如下图所示：XYZ0u1u2u6.1 曲线的参数表示曲线

6、的参数表示曲线的参数表示曲线的参数表示注：这里讨论的动点轨迹注：这里讨论的动点轨迹是在三维空间中所表是在三维空间中所表示的曲线，平面轨迹示的曲线，平面轨迹曲线只是一种特殊情曲线只是一种特殊情况况向量向量P与时间与时间t有关：有关：P=P(t),就是说就是说P是时间是时间t的函数。用的函数。用坐标表示为坐标表示为：若把参数若把参数t换成一个普通意义的参数换成一个普通意义的参数u，则曲线的参数形式，则曲线的参数形式为：为：例如：例如：是一条空间曲线的参数形是一条空间曲线的参数形式。式。注：这是一条以点注：这是一条以点(0,1,3)为起点，为起点，(3,2,5)为终点的线段为终点的线段5.1 曲线的

7、参数表示曲线的参数表示v参数的含义：参数的含义：时间，距离，角度，比例等等；时间，距离，角度，比例等等；规范参数区间规范参数区间00，11：归一化；：归一化；矢量表示：矢量表示：切矢量（导函数）：切矢量（导函数）：v例：已知直线段的端点坐标：例：已知直线段的端点坐标：，则此直线段，则此直线段的参数表达式为：的参数表达式为：相应的相应的x,yx,y坐标分量为：坐标分量为：切矢量为：切矢量为：直线斜率：直线斜率：5.1 曲线的参数表示曲线的参数表示Bezier曲线和曲线和B样条曲线都是一种自由曲线。样条曲线都是一种自由曲线。自由曲线自由曲线是指一条无法用标准代数方程来描述的曲线是指一条无法用标准代

8、数方程来描述的曲线。在实际中，自。在实际中，自由曲线应用十分广泛，比如轮船身外形放样时的样条曲线，由曲线应用十分广泛，比如轮船身外形放样时的样条曲线，汽车、飞机及各种产品的外形曲线都可以看成是自由曲线。汽车、飞机及各种产品的外形曲线都可以看成是自由曲线。计算机产生这种曲线的方法通常有两类：计算机产生这种曲线的方法通常有两类：（1）插值的方法插值的方法：要求生成的曲线通过每个数据点，即：要求生成的曲线通过每个数据点，即型值点。曲线插值方法有多项式插值、分段多项式插值和型值点。曲线插值方法有多项式插值、分段多项式插值和样条函数插值等。样条函数插值等。（2）拟合的方法拟合的方法：要求生成曲线靠近每个

9、数据点（型值：要求生成曲线靠近每个数据点（型值点），但不一定要求通过每个点。拟合的方法一般有最小点），但不一定要求通过每个点。拟合的方法一般有最小二乘法、二乘法、Bezier方法和方法和B样条方法等。样条方法等。下面主要介绍工程上流行应用的下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲线曲线和和B样条曲线样条曲线。Bezier、B样条曲线的生成5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成vBezier曲线是由法国雷诺汽车公司的曲线是由法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier于于20世世纪纪70年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表示法，这

10、种方法的特点是：示法，这种方法的特点是：控制点的输入与曲线输出之间控制点的输入与曲线输出之间的关系明确，使设计人员比较直观地估计给定条件与设计的关系明确，使设计人员比较直观地估计给定条件与设计出的曲线之间的关系出的曲线之间的关系。当设计人员（用户）使用交互手段。当设计人员（用户）使用交互手段改变输入控制点，就能很方便地在屏幕上改变拟合曲线的改变输入控制点，就能很方便地在屏幕上改变拟合曲线的形状与代表它的多项式的次数以迎合设计要求。形状与代表它的多项式的次数以迎合设计要求。vBezier曲线是指用曲线是指用光滑参数曲线段逼近一折线多边形光滑参数曲线段逼近一折线多边形，它不要求给出导数，只要给出数

11、据点就可以构造曲线，而它不要求给出导数，只要给出数据点就可以构造曲线，而且曲线次数严格依赖确定该段曲线的数据点个数。且曲线次数严格依赖确定该段曲线的数据点个数。贝塞尔（贝塞尔（Bezier）曲线）曲线5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v曲线的形状依赖于该多边形的形状，即由一组多边折线（该曲线的形状依赖于该多边形的形状，即由一组多边折线（该多边折线称为特征多边形）的顶点唯一地定义出来，且只有多边折线称为特征多边形）的顶点唯一地定义出来，且只有该多边形第一个顶点和最后一个顶点在曲线上。该多边形第一个顶点和最后一个顶点在曲线上。BezierBezier曲曲线及其特征多边形如下图线及

12、其特征多边形如下图三次三次Bezier曲线和特征多边形曲线和特征多边形 注：上图是由四个控制点形成的三次注：上图是由四个控制点形成的三次BezierBezier曲线，曲线的形状曲线，曲线的形状依附于该特征多边形的形状。且特征多边形的第一条边线依附于该特征多边形的形状。且特征多边形的第一条边线和最后一条边线分别表示曲线在第一个顶点和最后一个顶和最后一条边线分别表示曲线在第一个顶点和最后一个顶点的切线方向点的切线方向5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成vBezier曲线分为开放型和封闭型两类：曲线分为开放型和封闭型两类：首尾控制点不想同首尾控制点不想同为为开放型开放型，首尾控制点想

13、同为，首尾控制点想同为封闭型封闭型。如下图所示：。如下图所示：封闭型封闭型Bezier曲线曲线开放型开放型Bezier曲线曲线图图Bezier曲线的类型曲线的类型5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成(1)Bezier曲线的定义曲线的定义Bezier曲线是由一组折线来定义的，且第一点和最后曲线是由一组折线来定义的，且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起一点在曲线上，第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处的切线方向。点和终点处的切线方向。Bezier曲线通常由特征多边形的曲线通常由特征多边形的n+1个顶点定义一个个顶点定义一个n次多项式，即给定

14、空间次多项式，即给定空间n+1个点的位置个点的位置矢量矢量Pi（i=0，1，2，n），），则则Bezier参数曲线上各点坐标参数曲线上各点坐标的参数方程式的参数方程式(插值公式插值公式)是是：其中参数其中参数t的取值范围为的取值范围为0,1,i是有序集是有序集0n中的一个整中的一个整数值，表示顶点顺序号。数值，表示顶点顺序号。n是多项式次数，也是曲线次数。是多项式次数，也是曲线次数。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v通常由通常由n+1个顶点确定的曲线为个顶点确定的曲线为n次曲线。在上述式中，次曲线。在上述式中，Pi 是是特征多边形第特征多边形第i个顶点的坐标个顶点的坐标（x

15、i,yi）,是伯恩斯坦是伯恩斯坦（Bernstein）多项式，称为）多项式，称为n次次Bernstein基函数基函数，定义如下：，定义如下：其中：其中：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v性质性质1：正性正性(2)Betnstein基函数的性质基函数的性质 v性质性质2：端点性质端点性质 v性质性质3：权性权性 Pr:Pr:由二项式定理可知：由二项式定理可知：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v性质性质4：对称性对称性v性质性质5：递推性递推性即即高一次的高一次的Betnstein基函数可以由基函数可以由两个低一次两个低一次Betnstein调和函数线性组合

16、而成。调和函数线性组合而成。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v性质性质6：导函数导函数 因为将因为将对参数对参数t求导得：求导得：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v性质性质7：最大值最大值 在在处达到最大值处达到最大值v性质性质8：积分积分 5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成(3)Bezier曲线的性质曲线的性质v性质性质1：端点及端点切线：端点及端点切线1.Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点。点和最后一个顶点。由式子由式子可得出可得出Bezier曲线两端点的

17、值曲线两端点的值这说明，这说明，Bezier曲线必须通过特征多边形的起点和终点曲线必须通过特征多边形的起点和终点5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成2.Bezier曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的第一条边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的n倍。倍。由由Bezier基函数的基函数的导函数性质导函数性质可知，对可知，对求导可得：求导可得：于是在起始点，于是在起始点，其余项均为其余项均为0，故有，故有5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成在终止点，在终止点，其余

18、项均为其余项均为0，故有，故有例如：如下图所示，对于四次例如：如下图所示，对于四次Bezier曲线，曲线，n=4有有1.Bezier曲线的起点和终点分别曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点后一个顶点2.Bezier曲线在起点和终点处的曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，且切矢的模长边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的分别为相应边长的n倍。倍。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v性质性质2：对称性：对称性假如保持假如保持n次次Bezier曲线诸顶点的位置不变，而把次

19、序颠倒曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为过来，即下标为i的点改为下标为的点改为下标为n-i的点，则此时曲线仍不的点，则此时曲线仍不变，只不过是曲线的走向相反而已如下图所示。变，只不过是曲线的走向相反而已如下图所示。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v这一性质证明如下。由伯恩撕坦多项式可以导出：这一性质证明如下。由伯恩撕坦多项式可以导出：记次序颠倒以后的顶点为记次序颠倒以后的顶点为，则有，则有此时，由控制顶点此时，由控制顶点，构造出新的，构造出新的Bezier曲线为曲线为，则，则这个性质说明这个性质说明Bezier曲曲线在起点和终点处具有线在起点和终点处具有相同的

20、几何性质。相同的几何性质。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v性质性质3：凸包性：凸包性由由Bezier基函数的基函数的权性质权性质可知可知，且，且，这一结果说明当，这一结果说明当t在区间在区间0,1变化时，对某一个变化时，对某一个t值，值，P(t)是特征多边行各项顶点是特征多边行各项顶点Pi的的加权平均，权因子依次是加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味着在几何图形上，意味着Bezier曲线曲线P(t)在在t属于属于0,1中各点是中各点是控制点控制点Pi的的凸线性组合凸线性组合，即曲线落在，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如下构成的凸包之中，如下图所示图所示。（1）Bez

21、ier曲线凸包性曲线凸包性注：也就是说，当特征多边行注：也就是说，当特征多边行为凸时，为凸时，Bezier曲线也是凸的；曲线也是凸的；当特征多边行有凸有凹时，其当特征多边行有凸有凹时，其曲线的凸凹形状与之对应，且曲线的凸凹形状与之对应，且在其凸包范围内。在其凸包范围内。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成（2）Bezier曲线凸包性曲线凸包性v性质性质4：几何不变性：几何不变性这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。由这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。由Bezier曲线的定义知，曲线的定义知，曲线的形状和位置由其特征多边形的顶点曲线的形状和位置由其特征多边形的顶点

22、Pi(i=0,1,n)唯一确定，与坐标系的选取无关，这就是唯一确定，与坐标系的选取无关，这就是几何几何不变性。不变性。即：即：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v由由Bezier曲线的定义曲线的定义(4)几个低次几个低次Bezier曲线曲线v1）一次）一次Bezier曲线曲线当当n=1时为一次时为一次Bezier曲线，此时曲线，此时P(t)为一次多项式，有两个为一次多项式，有两个控制点，则控制点，则我们可以推出一次、二次以及三次我们可以推出一次、二次以及三次Bezier曲线的数学表达曲线的数学表达式，工程上应用较多的是三次式，工程上应用较多的是三次Bezier曲线。下面依次讨

23、论：曲线。下面依次讨论：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成注：这表明一次注：这表明一次Bezier曲线是连接起点曲线是连接起点P0和和终点终点P1的直线段。的直线段。v这表明这表明二次二次Bezier曲线是一段抛物线曲线是一段抛物线，其矩阵形式为：，其矩阵形式为：v2）二次）二次Bezier曲线曲线当当n=2时为二次时为二次Bezier曲线，此时曲线，此时P(t)为二次多项式，有为二次多项式，有三个控制点，则三个控制点，则5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v3）三次）三次Bezier曲线曲线当当n=3时为三次时为三次Bezier曲线，此时曲线，此时P(t)为

24、三次多项式，有四为三次多项式，有四个控制点，由于三次个控制点，由于三次Bezier曲线是用曲线是用3根折线定义的根折线定义的3阶曲阶曲线，则有：线，则有：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成用矩阵表示为：用矩阵表示为：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v在上式中，可以看出：在上式中，可以看出：4-2式称为三次式称为三次Bezier曲线的调和函数，构成如下图所示曲线的调和函数，构成如下图所示的的4条曲线。条曲线。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成这这4条曲线均为三次曲线，形成条曲线均为三次曲线，形成Bezier曲线的一组基。曲线的一组基。任任何

25、三次何三次Bezier曲线都是这曲线都是这4条曲线的线性组合条曲线的线性组合。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成例如：例如：10次次Bezier曲线的调和函数如下，构成如下图所示的曲线的调和函数如下，构成如下图所示的11条曲线。条曲线。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v一般的，对于一般的，对于n次次Bezier曲线，用矩阵形式可表示为：曲线，用矩阵形式可表示为：其中其中T为为(n+1)X(n+1)的方阵，第的方阵，第i列的各元素为基函数列的各元素为基函数中按中按t的降幂排列时的各个系数。的降幂排列时的各个系数。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线

26、的生成v解：解：vStep1:由公式由公式计算对应不计算对应不同同t值下值下的值，如下表所示。的值，如下表所示。例例1 1：假定：假定：是一个是一个BezierBezier曲线特征多边形顶点的位置，画出三次曲线特征多边形顶点的位置，画出三次BezierBezier曲线。曲线。(5)Bezier曲线计算举例曲线计算举例5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成vStep2:求出不同求出不同t值下值下P(t)的值：的值：00.00340.0430.1250.2750.614100.05740.2390.3750.4440.325000.3250.4440.3750.2390.574010

27、.6140.2750.1250.0430.0034000.150.350.50.650.851 t不同不同t值下值下的值的值5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v根据以上这些点坐标就可画出三次根据以上这些点坐标就可画出三次Bezier曲线，具体图形曲线，具体图形如下图所示。如下图所示。v注：上述注：上述的取值和个数都不唯一。的取值和个数都不唯一。注：注：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成图图三次三次Bezier曲线曲线注：根据曲线方程画出曲线一注：根据曲线方程画出曲线一般是般是先计算出曲线上一系列的先计算出曲线上一系列的点或适当靠近的点，然后依次点或适当靠近的

28、点，然后依次将这些点用直线连起来，得到将这些点用直线连起来，得到一条由折线表示的近似曲线。一条由折线表示的近似曲线。只要这些点靠得足够近和足够只要这些点靠得足够近和足够密，看起来就是一条足够光滑密，看起来就是一条足够光滑的曲线的曲线。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成2.参考程序为：参考程序为：例例2 2：上机编程绘制一三次：上机编程绘制一三次BezierBezier曲线段曲线段.1.为了编程绘制为了编程绘制Bezier曲线段，将其矢量形式曲线段，将其矢量形式变成分量形式：变成分量形式：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成BezierCurve()int x,

29、y,n;float i,dt,t;char msg80;typedef struct Vpoints float x;float y;VERpoints;VERpoints Vertex4=50,50,150,150,300,130,350,50;float n;5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成 dt=1/(float)n;for(i=0;i=n;i+)t=i*dt;x=Vertex0.x*(1-t)*(1-t)*(1-t)+Vertex1.x*3*t*(1-t)*(1-t)+Vertex2.x*3*t*t*(1-t)+Vertex3.x*t*t*t;y=Vertex0.y

30、*(1-t)*(1-t)*(1-t)+Vertex1.y*3*t*(1-t)*(1-t)+Vertex2.y*3*t*t*(1-t)+Vertex3.y*t*t*t;if(i=0)moveto(x,y);lineto(x,y);5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成 line(Vertex0.x,Vertex0.y,Vertex1.x,Vertex1.y);line(Vertex1.x,Vertex1.y,Vertex2.x,Vertex2.y);line(Vertex2.x,Vertex2.y,Vertex3.x,Vertex3.y);sprintf(msg,%s%d%s%d,

31、%d%s,P,0,(,50,50,);outtextxy(x0,y0,msg);sprintf(msg,%s%d%s%d,%d%s,P,1,(,150,150,);outtextxy(x1,y1,msg);sprintf(msg,%s%d%s%d,%d%s,P,2,(,300,130,);outtextxy(x2,y2,msg);sprintf(msg,%s%d%s%d,%d%s,P,3,(,350,50,);outtextxy(x3,y3,msg)；5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成3.运行结果：绘制一三次运行结果：绘制一三次Bezier曲线段如下图所曲线段如下图所示。示。

32、图图三次三次Bezier曲线曲线5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v根据公式根据公式（6）绘制绘制Bezier曲线及生成程序曲线及生成程序其中：其中：v我们就可以绘制我们就可以绘制Bezier曲线，但是为了得到满意的效果，曲线，但是为了得到满意的效果，要反复调整，修改控制点。一般过程先按设计要求用手勾要反复调整，修改控制点。一般过程先按设计要求用手勾画出一条曲线的草图，然后选定曲线上的几个控制点，绘画出一条曲线的草图，然后选定曲线上的几个控制点，绘制制Bezier曲线。曲线。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v看是否相符合，再调整控制点，修改与手工所作的曲线

33、差看是否相符合，再调整控制点，修改与手工所作的曲线差异，再按修改后的控制点画异，再按修改后的控制点画Bezier曲线，反复进行，有时曲线，反复进行，有时还需要增加控制点，直到符合要求为止。上述过程再计算还需要增加控制点，直到符合要求为止。上述过程再计算机上进行交互式的绘图很方便。如图机上进行交互式的绘图很方便。如图(a)、(b)、(c)、(d)所示：所示：图图-4.13(a)P0P6P4P4P0P6图图-4.13(b)5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成生成Bezier曲线程序曲线程序本程序可用来绘制任意个控制点的本程序可用来绘制任意个控制点的Bezier曲线，当用曲线，当用户

34、输入控制点的坐标位置后，屏幕显示特征多边形，并户输入控制点的坐标位置后，屏幕显示特征多边形，并生成逼近它的生成逼近它的Bezier曲线。如果用户要进行修改，曲线。如果用户要进行修改，P0P0P6P6P4P4图图-4.13(c)图图-4.13(d)5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v则输入修改顶点序号和新的坐标位置，程序按修改后的控则输入修改顶点序号和新的坐标位置，程序按修改后的控制点绘制制点绘制Bezier曲线。用户可反复调整、修改直到满意。曲线。用户可反复调整、修改直到满意。运行效果如下图所示：运行效果如下图所示：图图-4.14生成生成4次次Bezier曲线曲线5.2 Be

35、zier、B样条曲线的生成样条曲线的生成（7）Bezier曲线的光滑连接曲线的光滑连接v在几何设计中，一条在几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，在实际使用中，一般不超过难，在实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续

36、条件连续条件（其关键问题是如何保证连接处具有连续性其关键问题是如何保证连接处具有连续性）。下。下面讨论两段面讨论两段Bezier曲线在接点处的连续条件。曲线在接点处的连续条件。v设两条设两条Bezier曲线分别为曲线分别为n次次P(t)和和m次次Q(t)。相应控制点。相应控制点为为Pi(i=0,1,.,n)和和Qi(i=0,1,.,m)，它们在接点处为，它们在接点处为Pn=Q0，且令，且令如下图所示。如下图所示。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v由由Bezier曲线性质曲线性质v可得可得：图图Bezier曲线的光滑连接曲线的光滑连接5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条

37、曲线的生成n要保证曲线在连接点处的一阶导数连续，即要保证曲线在连接点处的一阶导数连续，即n则由则由如图是三次如图是三次Bezier曲线的连接曲线的连接.其中一条曲线由顶点其中一条曲线由顶点P1、P2、P3、P4控制控制,另一条曲线由顶点另一条曲线由顶点P4、P5、P6、P7控制控制,P4是是两条曲线的公共顶点。两条曲线的公共顶点。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v当当P3、P4、P5三个顶点共线时，这两条三次三个顶点共线时，这两条三次Bezier曲线曲线就在顶点就在顶点P4处互相切连接，在切点处具有一阶导数连续性，处互相切连接，在切点处具有一阶导数连续性，而而P3、P4、P

38、5是它们的公切线是它们的公切线级连续（斜率连续）级连续（斜率连续）级连续（位置连续）级连续（位置连续）Pn=Q0条件条件条件条件图图-4.16三次三次Bezier曲线连接曲线连接5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v计算计算Bezier曲线上的点，可用曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用曲线方程，但使用deCasteljau提出的递推算法则要简单得多。提出的递推算法则要简单得多。v如图所示，设如图所示，设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不是一条抛物线上顺序三个不同的点。过同的点。过P0和和P2点的两切线交于点的两切线交于P1点，在点点，在点P02的切线交的切线交

39、P0P1和和P2P1于于P01和和P11，则如下比例成立：，则如下比例成立：(8)Bezier曲线的递推曲线的递推(deCasteljau)算法算法图抛物线三切线定理图抛物线三切线定理这是所谓抛物线的三切这是所谓抛物线的三切线定理。线定理。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v当当P0，P2固定，引入参数固定，引入参数t，令上述比值为，令上述比值为t:(1-t)，即有：，即有：图图抛物线三切线定理抛物线三切线定理例如：例如：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成当当t从从0变到变到1，第（，第（1）、（）、（2）式就分别表示控制二边形的第）式就分别表示控制二边形的

40、第一一、二条边，它们是两条一次二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将（曲线。将（1）、（）、（2）式）式代入第（代入第（3）式得：）式得：当当t从从0变到变到1时，它表示了时，它表示了由三顶点由三顶点P0、P1、P2三点定义三点定义的一条二次的一条二次Bezier曲线曲线，记为，记为P02。图图抛物线三切线定理抛物线三切线定理t 从从0变到变到15.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v这表明：这二次这表明：这二次Bezier曲线曲线P02可以定义为分别由前两个可以定义为分别由前两个顶点顶点(P0,P1)和后两个顶点和后两个顶点(P1,P2)决定的一次决定的一次Bezier曲线

41、曲线的线性组合，即的线性组合，即。v同理，由四个控制点定义的三次同理，由四个控制点定义的三次Bezier曲线曲线P03可被定义可被定义为分别由为分别由(P0,P1,P2)和和(P1,P2,P3)确定的二条二次确定的二条二次Bezier曲曲线的线性组合。线的线性组合。如下图所示：如下图所示：图抛物线三切线定理图抛物线三切线定理t 从从0变到变到15.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v依次类推，由依次类推，由(n+1)个控制点个控制点Pi(i=0,1,.,n)定义的定义的n次次Bezier曲线曲线P0n可被定义为分别可被定义为分别由前、后由前、后n个控制点定义的两个控制点定义的两条

42、条(n-1)次次Bezier曲线曲线P0n-1与与P1n-1的线性组合：的线性组合：图图Bezier曲线上的点曲线上的点P03记为：记为：记为：记为：由此得到由此得到Bezier曲线的递推计算公式：曲线的递推计算公式：5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v这便是著名的这便是著名的deCasteljau算法算法。用这一递推公式，在。用这一递推公式，在给定参数下，求给定参数下，求Bezier曲线上一点曲线上一点P(t)非常有效。上式中：非常有效。上式中：Pi0=Pi是定义是定义Bezier曲线的控制点曲线的控制点，P0n即为曲线即为曲线P(t)上具上具有参数有参数t的点的点。deC

43、asteljau算法稳定可靠，直观简便，算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法曲线的基本算法和标准算法。和标准算法。v当当n=3时，时，decasteljau算法递推出的算法递推出的Pik呈直角三角形，呈直角三角形，对应结果如图所示。从左向右递推，对应结果如图所示。从左向右递推，最右边点最右边点P03即为曲即为曲线上的点线上的点。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成例子：已知例子：已知递推计算公式为：递推计算公式为：图图 n=3时，时，Pin的递推关系的递推关系P12是一个是一个Bezier曲线特征多边形顶

44、点曲线特征多边形顶点的位置，画出三次的位置，画出三次Bezier曲线。曲线。Step1:假设假设t=1/35.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成图图 n=3时，时，Pin的递推关系的递推关系P12Step2:假设假设t=1/35.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成图图-4.19 n=3时，时，Pin的递推关系的递推关系P12Step3:假设假设t=1/3同理：可求出当同理：可求出当t取为不同值时取为不同值时对应的三次对应的三次Bezier曲线上曲线上的点的点的坐标。的坐标。5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成v这一算法可用简单的几何作这一算法可用简单

45、的几何作图来实现。给定数图来实现。给定数，就把定义域分成长度为就把定义域分成长度为t:(1-t)的两段。的两段。1.依次对原始控制多边形每一依次对原始控制多边形每一边执行同样的边执行同样的定比分割定比分割，所，所得分点就是第一级递推生成得分点就是第一级递推生成的中间顶点的中间顶点Pi1(i=0,1,.,n-1)，2.对这些中间顶点构成的控制对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点割，得第二级中间顶点Pi2(i=0,1,.,n-2)。3.重复进行下去，直到重复进行下去，直到n级递级递推得到一个中间顶点推得到一个中间顶点P0n即为即为所求曲线上的点所求曲线上的点P(t)，如右所，如右所示。示。图图几何作图法求几何作图法求Bezier曲线上曲线上一点（一点（n=3，t=1/4）5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成注：如右图注：如右图-4.21所所示，示，4次次Bezier曲线曲线的递推算法依次生的递推算法依次生成的成的中间顶点序列中间顶点序列有三级有三级，如右图。，如右图。图图-4.214次次Bezier曲线的递推算法曲线的递推算法5.2 Bezier、B样条曲线的生成样条曲线的生成