2013-2014南昌大学大一第一学期高数考试试卷及答案(5页).doc

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1、-2013-2014南昌大学大一第一学期高数考试试卷及答案-第 5 页一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设对任意x，总有j(x)f(x)g(x)，且，则 ( )A.存在且等于零 B.存在但不一定等于零C.一定不存在 D.不一定存在2. x=0是函数的( )A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.振荡间断点3.下列函数的弹性函数不为常数的为( )，其中a, b, a为常数A. y=ax+b B. y=ax C. D. y=xa4.若函数f(x)在点x可微，则当Dx0时，Dy-dy较之dy为( )无穷小A.同阶 B.等价 C.低阶 D.高阶5.设f(x)在区间a, b上连续，则在

2、区间a, b上( )A.不一定有界 B.不一定连续 C.不一定可积 D.一定可导二、填空题（每空3分，共15分）1.若函数f(x)的定义域为D=，则f(arcsinx)的定义域为_2._3.若在x=0处可导，则b=_4.设函数f(x)在(-,+)上连续，则=_5.=_三、求下列极限（每题6分，共12分）1.求极限 2.求极限四、求下列各题（每题6分，共12分）1.设y=(lnx)x，求y2.求由参数方程所确定的函数的二阶导数五、求下列不定积分（每题6分，共12分）1. 2.六、求下列定积分（每题6分，共12分）1. 2.七、应用题（每题8分，共16分）1.某产品的总成本C（万元）的边际成本为生

3、产量x（百台）的函数C(x)=1，总收益R（万元）的边际收益为生产量x（百台）的函数R(x)=6-x，（1）求生产量等于多少时，总利润最大？（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？2.求由抛物线y+1=x2与直线y=1+x所围图形的面积。八、证明题（6分）设f(x)，g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，试证：存在x(a, b)，使得f (x)=g(x)一、1.D 2.A 3.A 4.D 5.D二、1. 2. 2 3. 1 4. f(x)dx 5. 2三、1.原式=2.原式=四、1.方程两边取对数，

4、得lny=xln(lnx)则2.五、1.令，则x=t2，dx=2tdt原式=2.原式=六、1.原式=2.原式=七、1.(1)L(x)=R(x)-C (x)=6-x-1=5-x令L(x)=0，得x=5(2)总利润减少了万元2.联立得交点(-1, 0), (2, 3)则八、构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，由题设F(a)=F(b)=0又f(x)，g(x)在(a, b)内具有相等的最大值不妨设x1x2，x1, x2(a, b)，f(x1)=M=，g(x2)=M=若x1=x2，令c=x1，则f(x1)-g(x2)=F(c)=0若x1x2，则F(x1)=f(x1)-g(x1)0，F(x2)=f(x2)-g(x2)0由闭区间上连续函数的性质，$cx1, x2(a, b)，F(c)=0在a, c, c, b上分别利用罗尔定理，$x1(a, c), x2(c, b)，使得F (x1)=F (x2)=0再对F (x)在x1, x2上利用罗尔定理，$x(x1, x2)(a, b)，使得F (x)=0，即f (x)=g(x)