2.7 连续函数.ppt

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1、2.7 连续函数连续函数一一.连续函数的概念连续函数的概念二二.函数的间断点函数的间断点三三.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 客观世界中的许多现象和事物不仅是运动变化的客观世界中的许多现象和事物不仅是运动变化的,而而且其运动变化的过程往往是连续不断地且其运动变化的过程往往是连续不断地.比如日月行空、比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等岁月流逝、植物生长、物种变化等.这些现象反映在函数这些现象反映在函数关系上关系上,就是所谓的函数连续性就是所谓的函数连续性.下面我们先引入增量的下面我们先引入增量的概念概念,再介绍函数连续的概念及连续函数的相关性质再介绍函

2、数连续的概念及连续函数的相关性质.一、连续函数的概念一、连续函数的概念 定义定义2.7.1 设变量设变量 x 从从 它的一个初值它的一个初值 x0 变到变到 终值终值 x 时时,终值与初值的差终值与初值的差 x-x0，称为变量，称为变量 x 在在 x0 处的处的增量增量(或或改变改变量量)，记作，记作 x.为函数对应的增量为函数对应的增量(或改变量或改变量).如果函数如果函数y=(x)在点在点 x0 处的某一个邻域内有定义处的某一个邻域内有定义,当当x+x 属于这邻域内时属于这邻域内时,函数函数 y 相应的从相应的从 f(x0)变到变到 f(x0+x)，称，称即即oxyy=(x)xy则称函数则

3、称函数(x)在在 x0 处处连续连续.称称 x0 为为连续点连续点.如下图所示如下图所示.定义定义2.7.2 设函数设函数(x)在在 x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,如果如果定义定义2.7.2 设函数设函数(x)在在 x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,若若则称函数则称函数(x)在在 x0 处连续处连续.称称 x0为连续点为连续点.从而有函数在一点连续的等价定义从而有函数在一点连续的等价定义:注注 由函数的左极限和右极限的定义由函数的左极限和右极限的定义,我们引出函数的左我们引出函数的左,则称函数则称函数(x)在在x0 处处左连续左连续;则称函数则称函数(x)在在 x0 处处右连续

4、右连续.若若连续和右连续的概念连续和右连续的概念.我们知道，我们知道，定理定理2.7.1 函数函数(x)在在 x0 处连续的充要条件是处连续的充要条件是(x)在在 x0相应地有如下结论：相应地有如下结论：处既左连续又右连续处既左连续又右连续.存在的充要条件是存在的充要条件是 例例1 讨论函数讨论函数在在 x=0处的连续性处的连续性.解解则有则有成立成立.由定义由定义2.7.2知知,函数函数(x)在在 x=0 处连续处连续.例例2 讨论函数讨论函数在点在点x=0,x=1处是否连续处是否连续.解解 在点在点x=0处处,因为因为所以所以,f(x)在点在点 x=0处不连续处不连续.因为在点因为在点x=

5、1处处,又又所以所以f(x)在点在点 x=1处连续处连续.例例3 已知已知函数函数在点在点x=0处连续，求处连续，求b的值的值.解解由于由于且且又因为又因为f(x)在点在点 x=0处连续，故处连续，故即即 若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内的每一点都连续内的每一点都连续,则称函则称函数数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续;若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续,且在左端点且在左端点 a 右连右连续续,在右端点在右端点 b 左连续左连续,则称函数则称函数(x)在闭区间在闭区间a,b 内连内连续续.是其定义域区间内的连续函数是其定义域区间内的连续函数.可以证

6、明可以证明,基本初等函数在其定义域区间内都是连续的基本初等函数在其定义域区间内都是连续的.所谓定义域区间所谓定义域区间,是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.例如例如 如果函数在区间如果函数在区间 I上连续上连续,则称函数是则称函数是 I上的连续函数上的连续函数,且且称称 I为连续区间为连续区间.连续函数的图形是一条点点相连而无断点连续函数的图形是一条点点相连而无断点的曲线的曲线.(2)(x)在在 x0 处虽处虽有定有定义义,但但 不存在不存在;设函数设函数(x)在在x0 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义.当下列条件之一当下列条件之一成立时，则称函数成立时，则称函数(x)在

7、在 x0 处处不连续不连续,并称并称 x0 为函数的不连为函数的不连续点或续点或间断点间断点.(1)(x)在在 x0 处没有定义处没有定义;(3)(x)在在 x0 处虽处虽有定有定义义,且且 存在存在,但但 依据函数在间断点处的左、右极限是否都存在，通常依据函数在间断点处的左、右极限是否都存在，通常二二.函数的间断点函数的间断点把函数的间断点划分为两类把函数的间断点划分为两类.设点设点 x0是函数是函数(x)的间断点的间断点.第一类间断点第一类间断点：可去间断点可去间断点,跳跃间断点跳跃间断点,第二类间断点第二类间断点：左右极限都存在的间断点；左右极限都存在的间断点；左右极限至少有一个不存在的

8、间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点：无穷间断点无穷间断点,振荡间断点振荡间断点,例例4故点故点 x=0是函数是函数f(x)的间断点的间断点.例例5 例例6 例例7三三.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性1.连续函数的运算连续函数的运算在在 处也连续处也连续.由连续函数的定义和极限的四则运算法则由连续函数的定义和极限的四则运算法则,有有 定理定理2.7.2 若函数若函数 与与 在同一个区间在同一个区间I上有定义且上有定义且均在点均在点 处连续，则函数处连续，则函数定理定理2.7.4 如果函数如果函数y=f(x)在其定义区间在其定义区间 是连续且单调增加是连续且

9、单调增加(或减少或减少),则它的反函数则它的反函数 在在 上也连续且单调增加上也连续且单调增加例如例如(或减少或减少).例如函数例如函数 在闭区间在闭区间 上是连续的单增函数，上是连续的单增函数，其反函数其反函数 也是连续单增函数也是连续单增函数.2.初等函数的连续性初等函数的连续性 因为基本初等函数在其定义域区间内是连续的因为基本初等函数在其定义域区间内是连续的,由连续函数由连续函数的四则运算与复合运算法则以及初等函数的定义的四则运算与复合运算法则以及初等函数的定义,得到一个得到一个重要的结论：重要的结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间

10、所谓定义区间,是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.例如例如在其定义区间内都是连续函数在其定义区间内都是连续函数.例例8解解 例例9 求求 解解于是于是解解例例1010归纳求极限的常见方法归纳求极限的常见方法:2.利用重要极限利用重要极限过程过程,常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数.来化简来化简.记住结论记住结论:型的求极限型的求极限3.利用函数的连续性利用函数的连续性4.利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换.5.利用数列求和公式和基本极限利用数列求和公式和基本极限.比如比如6.利用对数方法求幂指函数极限利用对数方法求幂指函数极限例例11 求求解解7.利用极限存在准则利用极限存在准则,证明极限的存在证明极限的存在,并求极限并求极限.例例12解解解得解得