概统 6-3.ppt

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1、23 3 区间估计区间估计n 单个正态总体的置信区间单个正态总体的置信区间n 两个正态总体均值及方差的置信区间两个正态总体均值及方差的置信区间 n 单侧置信区间单侧置信区间3但是点估计也有明显的缺点，就是没有提供关于估计精度但是点估计也有明显的缺点，就是没有提供关于估计精度的任何信息的任何信息.前面我们讨论了参数的点估计，这一估计方法是用一个统前面我们讨论了参数的点估计，这一估计方法是用一个统计量计量 作为未知参数作为未知参数 的估计，一旦给定了样本观测值就的估计，一旦给定了样本观测值就能算出能算出 的估计值的估计值.在使用中较为直观，也较为方便在使用中较为直观，也较为方便.为了解决上面的问题

2、，我们常需要估计出未知参数的一个为了解决上面的问题，我们常需要估计出未知参数的一个可能范围，这个范围在数轴上就是一个区间，我们希望给可能范围，这个范围在数轴上就是一个区间，我们希望给出两个区间端点（都是随机变量），用此两端点所构成的出两个区间端点（都是随机变量），用此两端点所构成的区间（是随机区间）来估计参数区间（是随机区间）来估计参数 ，使这个随机区间以比，使这个随机区间以比较大的概率套住较大的概率套住 的真值，这就是区间估计的问题的真值，这就是区间估计的问题.4设总体分布中含有一个未知参数设总体分布中含有一个未知参数 ，由样本，由样本 确定的两个统计量确定的两个统计量 及及，对于给定的，对

3、于给定的 ，满足，满足 称随机区间称随机区间 为为 的置信水平为的置信水平为 的的置信区间置信区间.分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限,若若 越越小小，就越就越大大，覆盖住覆盖住 的的可能性可能性就就越大越大.同时，同时，区间区间 的长度就的长度就越大越大，区间过大，区间估计，区间过大，区间估计没意义没意义了了.正确提法正确提法：在给定的较大的置信水平：在给定的较大的置信水平 下，使下，使称为称为置信水平置信水平.平均长度最小平均长度最小的区间估计为的区间估计为最好的最好的区间估计区间估计.5一一 单个正态总体的置信区间单个正态总体的置信区间 1.单个正态总体单个正态总体均值

4、均值 的置信区间的置信区间 设总体设总体 ，为为 的样本，给定的样本，给定置信水平为置信水平为 ，分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差.1 已知已知由由 是是 的一个无偏估计，又的一个无偏估计，又由第二章知由第二章知 由正态分布表可知，对给定的由正态分布表可知，对给定的 ，一定存在，一定存在一个值一个值 ，使，使6即即 的分布不依赖的分布不依赖于任何于任何未知参数，有未知参数，有 这样，我们就得到了关于这样，我们就得到了关于 的一个置信水平为的一个置信水平为的置的置信区信区间间72 未知未知方差未知时，考虑能否用方差未知时，考虑能否用 的无偏估计的无偏估计来代替参数来代替参数 ，由

5、第五章定理四知，由第五章定理四知 因而对给定的置信水平因而对给定的置信水平 ，可由，可由 分布表查出分布表查出 分位数分位数 的数值，根据分位数的定义可知的数值，根据分位数的定义可知 8于是关于于是关于 的一个置信水平为的一个置信水平为 的置的置信区信区间为间为 即即9例例1 1 某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（单位：个，测得直径（单位：mm）如下）如下14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布，若设滚珠直径服从正态分布，若 求直径均值的置信水平为求直径均值

6、的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.(1)已知滚珠直径的标准差已知滚珠直径的标准差 ;(2)未知标准差未知标准差 解解102.单个正态总体单个正态总体方差方差 的置信区间（的置信区间（未知未知）设样本设样本 来自正态总体来自正态总体 均未知均未知,由于样本方差由于样本方差 是是 的无偏估计，随机变量的无偏估计，随机变量，由，由可得可得 的置信水平为的置信水平为 的的置信区间为置信区间为11例例2 2 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 服从正态分布服从正态分布 其中其中 未知，未知，寿命试验，测得寿命数据如下（单位：寿命试验，测得寿命数据如下（单位：h）1502

7、 1480 1485 1511 1514 1527 1603 14801532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540 求灯泡寿命方差求灯泡寿命方差 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解解 今随机的抽取今随机的抽取16只灯泡进行只灯泡进行12二二 两正态总体均值及方差的置信区间两正态总体均值及方差的置信区间 1.两个总体两个总体均值差均值差 的置信区间的置信区间设正态总体设正态总体 与与 相互独立，相互独立，和和 分别为总体分别为总体 的样本的样本.分别为总体分别为总体 和和 的样本均值，的样本均值，分别为总体分别为总体 和和 的样本方差的样本

8、方差.构造总体均值差构造总体均值差 的区间估计的区间估计.131 均为已知均为已知因为因为所以，统计量所以，统计量 得得 关于的置信水平为关于的置信水平为 的置信区间为的置信区间为*142 ，但，但 未知未知由由*式得式得 用用 的无偏估计的无偏估计 代替代替得得 关于的置信水平为关于的置信水平为 的置信区间为的置信区间为 未知未知从而从而15例例3 3 有二个建筑工程队，第一对有有二个建筑工程队，第一对有10人，平均每人每人，平均每人每月完成月完成50m2的住房建筑任务，标准差的住房建筑任务，标准差S1=6.7m2；第二；第二对有对有12人，平均每人每月完成人，平均每人每月完成43m2的住房

9、建筑任务，的住房建筑任务，标准差标准差S2=5.9m2.试求试求 的置信水平为的置信水平为0.95的置信的置信区间区间.解解 16相互独立，相互独立，2.两个总体两个总体方差比方差比 的置信区间的置信区间设正态总体设正态总体 与与 和和 分别为总体分别为总体 的样本的样本.分别为总体分别为总体 和和 的样本均值，的样本均值，分别为总体分别为总体 和和 的样本方差的样本方差.构造总体方差比构造总体方差比 的区间估计的区间估计.均未知均未知17由第五章定理七知由第五章定理七知 的分布已知且其中不含任何未知参数，由的分布已知且其中不含任何未知参数，由 得得 关于的置信水平为关于的置信水平为 的置信区

10、间为的置信区间为 18例例4 4 某自动机床加工同类套筒，假设套筒的直径服从某自动机床加工同类套筒，假设套筒的直径服从正态分布，现从两个不同班次正态分布，现从两个不同班次A班和班和B班的产品中各抽班的产品中各抽取取5个套筒，测得它们的直径（单位：个套筒，测得它们的直径（单位：cm）分别为）分别为 A班：班：2.066，2.063，2.068，2.060，2.067B班：班：2.058，2.057，2.063，2.059，2.060试求两班所加工的套筒直径的方差比试求两班所加工的套筒直径的方差比 的置的置信水平为信水平为0.90的置信区间的置信区间.解解 19三三 单侧置信区间单侧置信区间在上述

11、讨论中，对于未知参数在上述讨论中，对于未知参数 ，我们给出两个统计，我们给出两个统计量量 ，得到，得到 的双侧置信区间的双侧置信区间 ，而在一些实，而在一些实际问题中，我们只关心置信际问题中，我们只关心置信上限上限或或下限下限例如，对于元件、设备的寿命问题，希望平均寿命例如，对于元件、设备的寿命问题，希望平均寿命越长越好，而不能过短，所以我们关注的是平均寿越长越好，而不能过短，所以我们关注的是平均寿命的下限，此时置信区间可采用命的下限，此时置信区间可采用 的形式的形式与之相反，对产品的次品率等问题，我们关注的是它与之相反，对产品的次品率等问题，我们关注的是它的上限，置信区间可设为的上限，置信区

12、间可设为 的形式的形式这就引出了这就引出了单侧置信区间单侧置信区间的概念的概念20设总体分布中含有一个未知参数设总体分布中含有一个未知参数 ，由样本，由样本 确定的两个统计量确定的两个统计量 及及，对于给定的，对于给定的 ，满足，满足 称随机区间称随机区间 为为 的置信水平为的置信水平为 的的置信区间置信区间.分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限,称为置信水平称为置信水平.若若 越越小小，就越就越大大，覆盖住覆盖住 的的可能性可能性就就越大越大.同时，同时，区间区间 的长度就的长度就越大越大，区间过大，区间估计，区间过大，区间估计没意义没意义了了.正确提法正确提法：在给定的较大

13、的置信水平：在给定的较大的置信水平 下，使下，使 平均长度最小平均长度最小的区间估计为的区间估计为最好的最好的区间估计区间估计.21设设 是来自总体是来自总体 的一个样本，对于的一个样本，对于 给定的给定的 若统计量若统计量 满足满足称随机区间称随机区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置单侧置信区间信区间，称称 为为 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信下限单侧置信下限信区间信区间，又若统计量又若统计量 满足满足 称随机区间称随机区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置单侧置称称 为为 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信上限单侧置信上限22例例5 5 从一批灯泡中随机地

14、抽取从一批灯泡中随机地抽取20只做寿命试验，计算只做寿命试验，计算得得 （h），），.设灯泡寿命服从正态分布，设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命的平均值求灯泡寿命的平均值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置的单侧置信下限与单侧置信区间信下限与单侧置信区间.解解 23本节结束，谢谢！本节结束，谢谢！24例例1 1 某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（单位：个，测得直径（单位：mm）如下）如下14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布，若设滚珠直径服从正态分布

15、，若(1)已知滚珠直径的标准差已知滚珠直径的标准差 ;(2)未知标准差未知标准差 求直径均值的置信水平为求直径均值的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解解由题可知由题可知（1）计算得计算得 25从而关于从而关于 的一个置信水平为的一个置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为（2）关于关于 的一个置信水平为的一个置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为 26例例2 2 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 服从正态分布服从正态分布 其中其中 未知，今随机的抽取未知，今随机的抽取16只灯泡进行只灯泡进行寿命试验，测得寿命数据如下（单位：寿命试验，测得寿命数据如下（

16、单位：h）1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 14801532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540 求灯泡寿命方差求灯泡寿命方差 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解解 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为 27例例3 3 有二个建筑工程队，第一对有有二个建筑工程队，第一对有10人，平均每人每人，平均每人每月完成月完成50m2的住房建筑任务，标准差的住房建筑任务，标准差S1=6.7m2；第二；第二对有对有12人，平均每人每月完成人，平均每人每月完成43m2的住房建筑任务，的住房建筑任务，

17、标准差标准差S2=5.9m2.试求试求 的置信水平为的置信水平为0.95的置信的置信区间区间.解解 设两个总体相互独立且服从正态分布设两个总体相互独立且服从正态分布.查查 分布表得分布表得 因为因为 ，28所以关于所以关于 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为 29解解 例例4 4 某自动机床加工同类套筒，假设套筒的直径服从某自动机床加工同类套筒，假设套筒的直径服从正态分布，现从两个不同班次正态分布，现从两个不同班次A班和班和B班的产品中各抽班的产品中各抽取取5个套筒，测得它们的直径（单位：个套筒，测得它们的直径（单位：cm）分别为）分别为 A班：班：2.066，2.063

18、，2.068，2.060，2.067B班：班：2.058，2.057，2.063，2.059，2.060试求两班所加工的套筒直径的方差比试求两班所加工的套筒直径的方差比 的置的置信水平为信水平为0.90的置信区间的置信区间.30查表得查表得 于是，得于是，得 的置信水平为的置信水平为0.90的置信区间为的置信区间为 由题意由题意31例例5 5 从一批灯泡中随机地抽取从一批灯泡中随机地抽取20只做寿命试验，计算只做寿命试验，计算得得 （h），），.设灯泡寿命服从正态分布，设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命的平均值求灯泡寿命的平均值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置的单侧置信下限与单侧置信区间信下限与单侧置信区间.解解 方差方差 未知，未知，即即从而从而 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信下限为的单侧置信下限为 32的置信水平为的置信水平为 的单侧置信下限为的单侧置信下限为 的置信区间为的置信区间为即这批灯泡的平均寿命大于即这批灯泡的平均寿命大于1634.81小时小时